4.3 课时2 运用完全平方公式因式分解-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦“运用完全平方公式因式分解”核心知识点，通过教材母题变式（如“9x²+mxy+16y²是完全平方式求m”）衔接整式乘法，搭建从识别公式结构到灵活分解的学习支架，梳理“特征辨析—直接应用—综合提公因式与公式法—实际问题解决”的知识脉络。 资料特色在于分层设计与核心素养融合，基础题（如判断因式分解正误的选择题）夯实运算能力，变式题（如含(a-b)整体代换的分解）培养推理意识，综合题（如三角形三边关系判断形状）发展抽象能力与模型意识。通过“分解因式—简便计算—几何面积—最值问题”递进，引导学生用数学眼光观察规律，用数学语言表达关系，既提升学生解题与应用能力，也为教师提供梯度教学资源，助力高效课堂。

课时2　运用完全平方公式因式分解 用完全平方公式分解因式　　 (教材母题变式)已知9x2＋mxy＋16y2是完全平方式，则常数m等于(D) A．12 B．±12 C．24 D．±24 (浙江温州期末)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2＋6x＋9 (内蒙古包头期末)关于x的二次三项式x2－ax＋36能用完全平方公式分解因式，则a的值是(D) A．－6 B．±6 C．12 D．±12 下列因式分解正确的是(D) A．a2－b2＝(a－b)2 B．x2＋2x－1＝(x－1)2 C．4x2＋4xy＋y2＝(x＋2y)2 D．m2＋6mn＋9n2＝(m＋3n)2 分解因式：x2y2－2xy＋1＝(xy－1)2． 分解因式： (1)4a2－20ab＋25b2； 解：4a2－20ab＋25b2＝(2a－5b)2. (2)9(a－b)2＋42(a－b)＋49. 解：9(a－b)2＋42(a－b)＋49 ＝[3(a－b)＋7]2 ＝(3a－3b＋7)2. 用完全平方公式分解因式的应用　　 若正方形的面积是25x2＋10xy＋y2(x>0，y>0)，则该正方形的边长为5x＋y． 用简便方法计算： (1)992＋198＋1； 解：992＋198＋1 ＝992＋2×99×1＋12 ＝(99＋1)2 ＝10 000. (2)2042＋204×192＋962. 解：2042＋204×192＋962 ＝2042＋2×204×96＋962 ＝(204＋96)2 ＝90 000. 综合应用提公因式法和公式法分解因式　 分解因式2x2－4x＋2的最终结果是(B) A．2x(x－2) B．2(x－1)2 C．2(x2－2x＋1) D．(2x－2)2 把下列各式因式分解： (1)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)； 解：x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1) ＝(y2－1)(x2＋2x＋1) ＝(x＋1)2(y＋1)(y－1). (2)(x2－1)2－6(x2－1)＋9. 解：(x2－1)2－6(x2－1)＋9 ＝(x2－1－3)2 ＝(x2－4)2 ＝(x＋2)2(x－2)2. 已知x－y＝3，xy＝－2，求x3y－2x2y2＋xy3的值． 解：原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2. 当x－y＝3，xy＝－2时， 原式＝－2×32＝－2×9＝－18. 多项式a2＋4与下列单项式的和不能因式分解的是(D) A．－4a B．－5 C．4a D．5 已知a＝2b－5，则代数式a2－4ab＋4b2－5的值是(B) A．－30 B．20 C．－10 D．0 已知a≠b，若M＝a2－ab，N＝ab－b2，则下列说法正确的是(C) A．M≥N B．M≤N C．M>N D．M<N 已知a2＋25b2＝6a－10b－10，则a＋5b的值为2. 先分解因式，再求值：4m3n－12m2n2＋9mn3，其中m＝2，n＝1. 解：原式＝mn(4m2－12mn＋9n2) ＝mn[(2m)2－12mn＋(3n)2] ＝mn(2m－3n)2. 当m＝2，n＝1时， 原式＝2×1×(2×2－3×1)2＝2. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝12a＋16b＋20c－200，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC是直角三角形． 理由如下：由a2＋b2＋c2＝12a＋16b＋20c－200可得a2－12a＋36＋b2－16b＋64＋c2－20c＋100＝0， ∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0， ∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10. ∵62＋82＝102， ∴△ABC是直角三角形． [核心素养]【方法呈现】我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．根据任意数的平方为非负数，把一个多项式进行局部因式分解可以求解代数式的最小值(或最大值)问题． 例如：x2＋4x＋5＝(x2＋4x＋4)－4＋5＝(x＋2)2＋1. ∵(x＋2)2≥0， ∴(x＋2)2＋1≥1. 当(x＋2)2＝0时，(x＋2)2＋1的值最小，最小值是1， ∴x2＋4x＋5的最小值是1. 【尝试应用】 (1)直接写出(x－1)2＋3的最小值：3； (2)求代数式x2＋10x＋32的最小(或最大)值，并写出相应的x的值； 【拓展提高】 (3)用一根长为12 m的铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 解：(2)x2＋10x＋32 ＝(x2＋10x＋25)－25＋32 ＝(x＋5)2＋7. ∵(x＋5)2≥0，∴(x＋5)2＋7≥7， ∴当(x＋5)2＝0，即x＝－5时，(x＋5)2＋7的值最小，最小值是7. (3)设长方形的长为x m，则宽为(6－x)m. 围成的长方形的面积是x(6－x)＝(－x2＋6x)m2， －x2＋6x＝－(x2－6x＋9)＋9＝－(x－3)2＋9. ∵－(x－3)2≤0，∴－(x－3)2＋9≤9， ∴当－(x－3)2＝0，即x＝3时，－(x－3)2＋9的值最大，最大值是9，此时6－x＝3. 答：当这根铁丝围成边长为3 m的正方形时面积最大，最大面积是9 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $