专练7 与四边形有关的探究题(阶段小测+题型专练)-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）

(2)设购买A种茶叶m盒，则购买B种茶叶(100-m)盒。 ,280m+260(100-m)≤27800， 根据题意，得 a≥2(10-m, 解得60≤m≤90. 设销售完两种茶叶获得的利润为W元，则W=(350-280)m+ (350-260)(100-m)=-20m+9000. :-20<0,∴.W随m的增大而减小 .60≤m≤90 .当m=60时，W的值最大，W最大=-20×60+9000= 7800,此时100-60=40（盒）. 答：该店购买A种茶叶60盒，B种茶叶40盒，可使销售完 两种茶叶获得的利润最大，最大利润是7800元. 3.解：(1)0.18 (2)设BC段的函数解析式为y=mx+n(m≠0)， 把(90,0.12)和(120,0.18)代入y=mx+n,得 r90m+n=0.12, m=0.002, 解得 L120m+n=0.18, n=-0.06, ∴.线段BC对应的一次函数解析式为y=0.002x-0.06. (3)设AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 把(30,0.15)和(60,0.12)代入，得 r30k+b=0.15, rk=-0.001 解得 60k+b=0.12, b=0.18, ∴.AB段的函数解析式为y=-0.001x+0.18. 「y=-0.001x+0.18, x=80, 联立 解得 y=0.002x-0.06, y=0.1. 答：该汽车的行驶速度是80km/h时，该汽车的耗油量最 低，最低是0.1L/km. 4.解：(1)设A品牌的新能源小轿车每台需要a万元，B品牌 的新能源小轿车每台需要b万元， r4a-3b=16 a=10, 根据题意，得 解得 3b-2a=4, b=8. 答：A品牌的新能源小轿车每台需要10万元，B品牌的新能 源小轿车每台需要8万元， (2)设购买A品牌小轿车m台，则购买B品牌小轿车(20- m)台. 根据题意，得10m+8(20-m)≤180，解得m≤10， ∴.最多购买A品牌小轿车10台. 参考答案及解析 (3)根据题意，得3.6m+3(20-)≥65，解得m≥空 25 “m≤10,3≤m≤10且m为整数，m=9或10. 设总的购车费用为w万元， 则0=10m+8(20-m)=2m+160. .2>0,∴.0随m的减小而减小 m=9或10，.当m=9时，w的值最小，20-9=11（台）， .∴.购买A品牌小轿车9台、B品牌小轿车11台最省钱. 专练五函数图象信息题 1.D2.D3.B4.C5.C6.34 专练六特殊平行四边形中的最值、定值问题 1.c2.c3.A453g 5 6.解：(1)12 (2)PE+PF的值不发生变化.PE+PF=48 (3)如答图，连接DP :S△ADP=S△ACD+S△CDP, .AD PE-2XAC BD+2CD PF, x10PE=宁×号x16x12+分x10Pp, 1 .2 ..PE-PF=48 E D 0 C B 6题答图 专练七与四边形有关的探究题 1.(1)证明：：在正方形ABCD中，AB=AD,∠ABG=∠ABE= ∠ADF=90° 又.BG=DF,∴.△ABG≌△ADF, ∴.AF=AG,∠BAG=∠DAF 四边形ABCD为正方形，∴.∠BAD=90°. .·∠EAF=45°，.∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∴.∠BAG+∠BAE=∠GAE=45°=∠EAF. ·45. 同步练测·八年级数学·下册 又AE=AE,.△AGE≌△AFE,∴.GE=EF .GE=GB BE=DF+BE,.'.EF=BE DF. (2)解：EF=DF-BE.证明如下： 如答图，在边CD上取点G,使DG=BE,连接AG,则有 △ABE≌△ADG,.BE=DG. 同(1)可证得△AEF≌△AGF, .EF=GF, ∴.EF=DF-DG=DF-BE. B 1题答图 2.(1)解：AE=EF=AF. (2)证明：如答图①，连接AC.易得△ABC和△ACD都是等 边三角形， ∴.∠B=∠ACF=∠BAC=60°，AB=AC ,∠EAF=60°，.∴.∠BAE=∠CAF=60°-∠CAE, ∴.△ABE≌△ACF,∴.BE=CF A D B E C 2题答图① 2题答图② (3)解：如答图②，连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,则 ∠AHB=90°. 易得△ABC和△ACD都是等边三角形， .∠ABC=∠ACD=60°，AB=AC, .∴.∠ABE=∠ACF=180°-60°=120°. .·∠E4F=∠BMC=60° ..∠EAB=∠FAC=60°-∠BAF 又AB=AC,△ABE≌△ACF,∴BE=CF .·∠AHB=90°，∠ABH=60°，.∠BAH=30° BM=AB=2AM=VAB-B丽F=V④-2-25 ·46. ·∠EAB=15°，.∠AEH=∠ABH-∠EAB=45°， .∠EAH=∠AEH=45°，.EH=AH=25, ∴.CF=BE=EH-BH=25-2. .:FM⊥BC,..∠CMF=90° ∠FCM=∠ACF-∠ACB=60°，∴.∠CFM=30°， .CM=7CF--1. ∴.FM=√CF2-CM2=√(2CM)2-CM=5CM=3-5. 3.(1)①证明：在正方形ABCD和正方形A1B1C10中，AB= BC,OA=0B,∠A0B=∠A1OC1=90°，∠A0E=∠B0F 在△AE0和△BFO中， ,∠OAE=∠0BF=45°， OA=OB. L∠AOE=∠BOF .△AEO≌△BFO(ASA). ②解：AE2+CF2=EF2 (2)解：AE2+CF2=EF2.证明如下： 如答图，延长EO交CD于点G,连接FG. D 0 B B 3题答图 O是矩形ABCD对角线的交点， .0是AC的中点，∴.A0=C0. 又，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB∥CD, ∴.∠BA0=∠DC0,∠AE0=∠CGO, ∴.△AE0≌△CC0,.AE=CG,OE=0G. 在矩形A1B1C10中，∠A10C1=90°，∴.EF=FG. 在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2,AE2+CF2=EF2 4.（1)证明：.四边形ABCD是矩形， .AE∥CF,.∠EAO=∠FCO. 又：EF垂直平分AC,.∠A0E=∠C0F=90°，A0=0C, .△EAO≌△FCO,∴.OE=OF, .四边形AFCE为平行四边形 又.·EF⊥AC,.平行四边形AFCE为菱形 (2)解：如答图①，过点F作FH⊥AD于点H. ,·将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴.AF=CF,∠AFE=∠EFC. 在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2, .(4-BF)2=BF2+9 BF=名A=CF=g 8 ·AD∥BC,∴.LAEF=∠EFC=∠AFE, Mc=AP=空 ,·∠B=∠BAD=∠AHF=90°， .四边形ABFH是矩形 AB=FH=3,AM=BF=子BA= 4, Vm+丽=√g+9=只， ∴.四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF 7.25.1543 =3+8+8+4=4 D' ED B F C 4题答图① (3)解：如答图②，过点A作AN⊥BC,交CB的延长线于点 N,过点F作FM⊥AD于点M. 四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°， .∠ABC=135°，∠ABN=45. AN⊥BC,.∠ABN=∠BAN=45°， AN=BN-=竖B-2 将口ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， .AF=CF,∠AFE=∠EFC. AD∥BC,.∠AEF=∠EFC=∠AFE,AE=AF AF2=AN2+NF2,.AF2=4+(6-AF)2, .AF-10AAF10 .·AN∥MF,AD∥BC .四边形ANFM是平行四边形 参考答案及解析 AW⊥BC,.四边形ANFM是矩形，.AN=MF=2. 在Rt△AMF中， AM=-MF:√g-4=号， ·.ME=AE-AM= 2 在Rt△MFE中，EF=√ME2+MF产=√g+4=20 4 3 D' M\ED B F 4题答图② 专练八一次函数与几何图形综合 1.解：(1)A(0,6),B(4,0),P(2,3) (2)如答图，过点P作PF⊥OA于点F. .·将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ,∠OQE=90°， L0QP=2∠00E=45,QF= 点P(2,3),∴.QF=PF=2,OF=3,.OQ=5. 点A(0,6),.A0=6,∴.AQ的长为6-5=1. 0 B 1题答图 2.解：(1)：直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B, 当x=0时，y=4;当y=0时，x=-2, ∴B(0,4),A(-2,0) :C是OB的中点， ,C(0,2) (2)0A=2,0C=2,BC=0B-0C=4-2=2, Sae=Bc.0A:分=2x2x号-2 S△ACD=S△ABC, SANCAD OGADx2x2 ·47.专练七 与四边 1.【模型解读】如图①，在正方形ABCD中，E,F 分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，我们把 这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模 型”问题时，截长补短是一种常用的方法 【证明体验】 (1)如图①，连接EF,为了证明结论“EF=BE+ DF”,小明延长CB到点G,使BG=DF,连 接AG,就证明了结论，请按小明的思路写 出证明过程； 【类比延伸】 (2)如图②，当∠EAF的两边分别与CB,DC 的延长线交于点E,F,连接EF,试探究线 段EF,BE,DF之间的数量关系，并证明. D 1题图① 1题图② 形有关的探究题 2.已知四边形ABCD是菱形，AB=4,∠B=60°， ∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点 E,F,且∠EAF=60°. 【特殊情况】 (1)如图①，当E是线段CB的中点时，直接写 出线段AE,EF,AF之间的数量关系； 【类比探究】 (2)如图②，当E是线段CB上任意一点时（点 E不与点B,C重合)，求证：BE=CF; 【拓展提升】 (3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且 ∠EAB=15°时，过点F作FM⊥BC,垂足 为M,求FM的长 2题图① 2题图② A 2题图③ 23 同步练测·八年级数学·下册 3.几何探究 【课本再现】 (1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点 0,0又是正方形ABC0的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，边A0与边 AB相交于点E,边C,O与边CB相交于点 F.在实验与探究中，小新发现无论正方形 AB1C1O绕点O怎样转动，AE,CF,EF之 间一直存在某种数量关系，小新发现通过 证明△AEO≌△BFO即可推导出来.请帮 助小新完成下列问题： ①求证：△AEO兰△BFO; ②连接EF,则AE,CF,EF之间的数量关 系是 【类比迁移】 (2)如图②，矩形ABCD对角线的交点O是矩 形ABC,0的一个顶点，A10与AB相交 于点E,CO与CB相交于点F,连接EF, 矩形AB,C10可绕着点0旋转，猜想AE, CF,EF之间的数量关系，并进行证明. 3题图① 3题图② 280 4.【探究发现】 (1)如图①，矩形ABCD的对角线AC的垂直 平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求 证：四边形AFCE是菱形； 【类比应用】 (2)如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边 AD,BC于点E,F,将矩形ABCD沿EF翻 折，使点C的对应点与点A重合，点D的 对应点为D',若AB=3,BC=4,求四边形 ABFE的周长； 【拓展延伸】 (3)如图③，直线EF分别交口ABCD的边AD, BC于点E,F,将口ABCD沿EF翻折，使点 C的对应点与点A重合，点D的对应点为 D',若AB=2N2,BC=4,∠C=45°，求EF 的长 D' ED B F 4题图① 4题图② D ED BF 4题图③