第1章 整式的乘法（复习讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第一章 整式的乘法（复习讲义） 整式乘法单元复习讲义通过分点梳理与表格对比构建知识体系，系统呈现同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方及整式乘法法则，用表格归纳单项式与多项式乘法的法则与实质，清晰展现知识点内在逻辑与重难点分布。讲义亮点在于分层设计与素养导向，培优篇聚焦幂的运算、整式化简等基础题型，拔尖篇设置逆向运算、规律探究等综合题，如利用幂的运算比较大小培养推理意识，结合几何背景理解乘法公式发展几何直观，助力分层教学与学生自主提升。 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 题型一 同底数幂的乘法 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算： (1)． (2)． (3)． 题型二 幂的乘方 【例1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式2-2】计算：． 题型三 积的乘方 【例1】若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【变式3-1】3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 题型四 单项式乘单项式 【例1】下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】计算： ． 【变式4-2】现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 题型五 单项式乘多项式 【例1】计算： （    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，则 ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)． 题型六 多项式乘多项式 【例1】若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】计算： ． 【变式6-2】嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 题型七 平方差公式 【例1】下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若，，则的值为 ． 题型八 完全平方公式 【例1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【变式8-1】若，则 ． 【变式8-2】先化简，再求值：，其中，． 基础巩固通关测 1．若，，则的值是（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 2．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 3．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 7．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 8．计算：＝ ． 9．计算： 10．计算： ． 11．计算： ． 12．已知（，均为常数），则 ． 13．已知，求的值． 14．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 15．计算 (1) (2) 16．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 19．（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 能力提升进阶练 1．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 4．化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 5．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 6．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则a，b的值可能分别是（    ） A．2，7 B．，7 C．2， D．， 7．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．计算的结果是 ． 10．定义新运算：，则的运算结果是 ． 11．计算的结果为 ． 12．计算： ． 13．代数式是一个完全平方式，则 ． 14．（1）计算：． （2）若，，求的值． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1)； (2)． 17．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 18．先化简，再求值：，其中． 19．代数式： (1)当时，求代数式的值； (2)如果代数式的值等于10时，求x的值． 20．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘法（复习讲义） 整式乘法单元复习讲义通过分点梳理与表格对比构建知识体系，系统呈现同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方及整式乘法法则，用表格归纳单项式与多项式乘法的法则与实质，清晰展现知识点内在逻辑与重难点分布。讲义亮点在于分层设计与素养导向，培优篇聚焦幂的运算、整式化简等基础题型，拔尖篇设置逆向运算、规律探究等综合题，如利用幂的运算比较大小培养推理意识，结合几何背景理解乘法公式发展几何直观，助力分层教学与学生自主提升。 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 题型一 同底数幂的乘法 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 结果为 ． 故选D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式． 利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算． 【详解】解： 故选：D． 【变式1-2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．直接根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 题型二 幂的乘方 【例1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数运算法则，将已知条件转化为同底数幂的形式，然后计算所求表达式． 本题考查了幂的运算，熟练运用幂的运算是解题关键． 【详解】∵ ， ， ∴ ． 故选：B． 【变式2-1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【变式2-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则正确计算即可． 【详解】解： ． 题型三 积的乘方 【例1】若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 【变式3-1】3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂和积的乘方运算等知识，通过指数运算法则逐一验证各选项即可得出答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 单项式乘单项式 【例1】下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的运算，积的乘方，掌握好相关知识是关键． 根据整式的加法和乘法运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A：，但右边为，故A错误； B：，但右边为，故B错误； C：，但右边为，故C错误； D：，右边为，故D正确． 故选：D． 【变式4-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，先计算积的乘方，再将两个单项式相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式4-2】现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 题型五 单项式乘多项式 【例1】计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 【变式5-1】已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂的乘除），熟练掌握整式乘除的运算法则是解题的关键． （1）是单项式乘单项式，将系数与同底数幂分别相乘； （2）是单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项再相加； （3）先算乘方，再依次进行乘除运算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 题型六 多项式乘多项式 【例1】若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 【变式6-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 题型七 平方差公式 【例1】下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形式为的乘法，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数． 【详解】解：选项A：，不符合平方差公式的形式； 选项B：，第二项不同，不符合平方差公式的形式； 选项C：，符合平方差公式的形式； 选项D：，不符合平方差公式的形式； 故选：C． 【变式7-1】若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 【详解】解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 【变式7-2】若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 题型八 完全平方公式 【例1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 【变式8-1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 【变式8-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 基础巩固通关测 1．若，，则的值是（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查幂运算：利用指数运算法则，将拆分为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 2．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法逆用，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 3．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据合并同类项法则、幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则以及单项式乘以单项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能合并，故错误； B、∵， ∴与右边不符，故错误； C、∵， ∴正确； D、∵， ∴与右边不符，故错误， 故选：C． 5．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 6．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，整体代入法求代数式的值． 先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后由得出代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选C． 7．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 8．计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘， 先根据幂的乘方运算，再根据同底数幂相乘法则计算，注意负号的处理和指数法则的应用． 【详解】解：原式． 故答案为：． 9．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了指数运算和单项式乘法，解题的关键是注意运算顺序和同底数幂的乘法法则．先计算指数部分，再运用同底数幂的乘法法则进行运算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则，是解题的关键．应用分配律将单项式与多项式相乘即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．已知（，均为常数），则 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，求完全平方式中的字母系数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 展开左边完全平方式，根据多项式恒等条件，比较对应项系数，得到关于t和k的方程，求解t后代入求k． 【详解】解：左边，右边， 所以， 所以，， 由， 解得：或， 当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：10或． 13．已知，求的值． 【答案】 【分析】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 14．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加是解题的关键． 15．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算积的乘方和单项式乘以单项式，然后合并同类项； （2）用单项式乘以多项式的每一项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（）；（）， 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算单项式乘以单项式，积的乘方，然后合并同类项即可； （）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后把，代入计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式 ． 18．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、二元一次方程组的应用，解题关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出，的值． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出，的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 由得，代入得， 解得， ， ． （2）解：由（1）得． 19．（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）①根据完全平方公式即可得到结论；②根据完全平方公式即可得到结论． 【详解】解：（1） ； 故答案为：，； （2）①，， ， ； ②，， ， ． 能力提升进阶练 1．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 3．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 4．化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式并合并同类项进行化简． 【详解】解：原式， 化简结果为x， 故选：B． 5．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 6．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则a，b的值可能分别是（    ） A．2，7 B．，7 C．2， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项，由此得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：D． 7．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示两个图形的面积即可． 【详解】解：将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形阴影部分，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，将这两个长方形拼成一个长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 8．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键． 根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断． 【详解】解：由图可知大正方形图案边长为，面积为， 、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意； 、，故B正确，不符合题意； 、由，， 得：，故C错误，符合题意； D、得：，则，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用同底数幂乘法、积的乘方法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解新定义并正确计算是解题的关键． 根据新运算的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 11．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需运用系数相乘和同底数幂相乘的法则进行计算． 【详解】解：； 故答案为． 13．代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或19 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式，代数式为完全平方式时，其形式应为，比较系数求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，且， ∴可设为， 比较中间项系数，得， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或19． 14．（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则与幂的运算法则是解题的关键． （1）先用同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）将变形为，再将看作一个整体，利用单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 19．代数式： (1)当时，求代数式的值； (2)如果代数式的值等于10时，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则化简，合并同类项后再代入求值即可； （2）根据题意可得，解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的值是． 20．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①5；② 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和转化，熟练对公式变形是解题关键． （1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到； （3）①由（2）公式可变形得，代入求出的值即可； ②令，，从而得到，由可得，利用（2）公式求出的值即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $