第3章 投影与视图（复习课件）数学湘教版九年级下册

单元复习课件 第3章 投影与视图 湘教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 4.运用三视图的知识解决实际问题。 1．掌握本章的重要知识，能灵活解决视图的相关问题. 。 2．通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数学思想，转化思想的过程，加深对本章知识的理解. 3.回顾本章知识点，构建知识体系。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、投影 1.投影:光线照射物体，把物体映成它的影子叫作投影。 2.平行投影：由于太阳距离地球很远，从太阳射到地面的光线可以看成平行光线，因此这种投影称为平行投影。 3.中心投影：如果光线从一点发出（如灯泡、电影放映机、幻灯片的光线），这样的投影称为中心投影。 物体 投影面 平行的投影线 投影 物体 投影面 点光源 投影 考点串讲 考点一、投影 4.平行投影与中心投影的区别与联系： 区别 联系 平行投影 中心投影 投影线互相平行， 形成平行投影。 投影线集中于一点，形成中心投影。 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子.（即都是投影） 考点串讲 考点一、投影 5.正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，就称为“正投影”. 正投影 （1）正投影属于平行投影； （2）当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 考点串讲 2．正棱柱：底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱。底面有几边，就叫直几棱柱。 考点二、直棱柱和圆锥的侧面展开图 1．直棱柱：（1）两个底面互相平行；（2）侧面均为矩形；（3）侧棱垂直于底面。 3．直棱柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧棱长（高）；面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高。 考点串讲 考点二、直棱柱和圆锥的侧面展开图 4．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的侧棱长（高）；面积=直圆柱的底面周长×圆柱的高。 5．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长； （1）圆锥侧面积公式： （为底面圆半径，为母线长） （2）圆锥全面积公式： （为底面圆半径，为母线长） （3）弧长 P O A 母线 高 l 考点串讲 考点三、三视图 名称 概念 性质 主视图 从前往后看，自几何体的前方向后进行正投影，在正面投影面上得到的视图称为主视图。 1.主视图、左视图、俯视图都是几何体在某个方向的正投影； 2.从不同的方向观察几何体，得到的三视图可能是不同的。 左视图 从左往右看，自几何体的左侧向右进行正投影，在侧面投影面上得到的视图称为左视图。 俯视图 从上往下看，自几何体的上方向下进行正投影，在水平投影面上得到的视图称为俯视图。 从上面看 从左面看 从正面看 主视图 主视图 左视图 左视图 俯视图 注意：画三视图时，俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边。 考点串讲 考点三、三视图 主视图 俯视图 左视图 高 宽 宽 长 （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2） 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； （3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”． 考点串讲 几何体 主视图 左视图 俯视图 考点三、三视图 常见几何体的三视图： 考点串讲 题型一、平行投影 例1 （24-25九年级上·全国·课后作业）下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．投影仪 B．手电筒 C．太阳 D．路灯 解：太阳光线所形成的投影是平行投影， 故选：C． 解析：考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． C 题型剖析 题型一、平行投影 方法总结： 概念的理解。投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 题型剖析 题型一、平行投影 练一练 （24-25七年级上·全国·课后作业）下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 解：A、皮影戏中的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； B、不同时间下的树影，属于平行投影，本选项符合题意； C、路灯下的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； D、舞台上的影子，属于中心投影，本选项不符合题意；故选：B． 解析：考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． B 题型剖析 题型二、中心投影 例2 （24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是（   ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．月亮 解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，故选：D． D 解析：考查了中心投影的知识，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．找到不是灯光的光源即可． 方法总结： 概念的理解。投影是中心投影的方法是看光线是否是一个点发出的的，如果光线是一个点发出的的，所得到的投影就是中心投影． 题型剖析 题型二、中心投影 练一练 （2024·湖南·模拟预测）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 解析：考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为．故选：B． 题型剖析 题型三、直棱柱及其展开图相关计算 例3 （2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 B 解：包装盒体积 故选：B 题型剖析 题型三、直棱柱及其展开图相关计算 方法总结： 第一步：分析展开图的边长数据，确定长方体的长、宽、高。 第二步：代入体积公式计算体积，并换算为容积单位（ml）。 第三步：根据题目给出的比例（如每 100ml 的含量），计算最终结果。 题型剖析 题型三、直棱柱及其展开图相关计算 练一练 （2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个长方体的表面展开图中四边形是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是 ． 解：如图，四边形是正方形，， 立方体的高为：， ， 原长方体的体积是：． 故答案为：12． 12 解析：考查了几何体的展开图，利用已知图形得出各边长是解题关键．利用正方形的性质以及图形中标注的长度得出，进而得出长方体的长、宽、高进而得出答案． 题型剖析 题型四、圆锥的有关计算 例4 （2024·内蒙古呼和浩特·二模）圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）． 解析：考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．求出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和扇形面积公式，即可求解． 题型剖析 题型四、圆锥的有关计算 例4 （2024·内蒙古呼和浩特·二模）圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）． 解：该圆锥底面周长， ∵母线长为， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为， ∴，解得：，即展开图（扇形）的圆心角是， 圆锥的全面积， 故答案为：，． 160 题型剖析 题型四、圆锥的有关计算 方法总结： 第一步：根据圆锥底面直径求出底面半径 。 第二步：利用 “底面周长 = 扇形弧长” 的等式，求出侧面展开图的圆心角 n。 第三步：分别计算侧面积（）和底面积（），相加得到全面积。 题型剖析 题型四、圆锥的有关计算 练一练 （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为 （结果保留）． 解析：考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 题型剖析 题型五、三视图 例5 （2024·内蒙古包头·模拟预测）如图是一件经典款的六柱鲁班锁，它起源于中国古代建筑的榫卯结构，是用6根长短相同且有凸凹部分的长方体木条制作的一件可拼可拆的十字立方体．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 解题思路：考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 解：这个六柱鲁班锁的三视图为： 这个六柱鲁班锁的左视图与俯视图相同，主视图与俯视图和左视图不相同． 故选：C． 题型剖析 题型五、三视图 方法总结： 第一步：明确题目给定的主视方向。 第二步：分别想象从主视、左视、俯视三个方向看到的平面图形。 第三步：对比三个视图的形状、线条和方块布局，找出相同或不同的视图。 题型剖析 解：立体图形的主视图，左视图为三角形，俯视图为有对角线的正方形， 这个立体图形是四棱锥， 故选：C． 题型五、三视图 练一练 （2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．五棱锥 解题思路：考查由三视图得到立体图形，根据主视图，左视图为三角形，俯视图为有对角线的正方形，即可解题． 题型剖析 题型六、根据三视图求几何体的表面积、体积 例6 （24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是．故选：C． C 解题思路：考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 题型剖析 方法总结： 第一步：根据三视图的形状（矩形、圆、三角形等），判断几何体的类型（圆柱、圆锥、棱柱等）。 第二步：从三视图的尺寸标注中，提取几何体的关键参数（如半径、高、棱长等）。 第三步：代入对应几何体的侧面积（或表面积、体积）公式进行计算。 题型六、根据三视图求几何体的表面积、体积 题型剖析 练一练 24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 解题思路：考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． 题型六、根据三视图求几何体的表面积、体积 圆锥 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 题型剖析 题型七、分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 例7 （24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 解题思路：考查了三视图．解决本题的关键是根据左视图显示的各个位置小立方体的数量在俯视图中标出相应的位置小立方体的数量可以能的情况． 题型剖析 题型七、分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 例7 （24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 解：当几体需要小立方块最多时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； 当几体需要小立方块最少时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； ． 故答案为： ． 题型剖析 方法总结： 第一步：根据俯视图，确定底层小立方块的数量和位置分布。 第二步：根据左视图，确定每一列允许的最大层数。 第三步：计算最多数量（所有可堆叠位置都堆到最大层数）。 第四步：计算最少数量（仅满足左视图层数要求即可，尽可能少堆叠）。 第五步：根据题目要求，计算最大值与最小值的和或差。 题型七、分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 题型剖析 练一练 （2024·四川成都·模拟预测）由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的最大值为 ． 解：如图所示： 即的最大值为：． 故答案为：13． 题型七、分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 解题思路：考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数． 题型剖析 题型八、最短路线问题 例8 （23-24九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 解题思路：考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出结果即可． 题型剖析 题型八、最短路线问题 例8 （23-24九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得：， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：，故答案为：． 题型剖析 题型八、最短路线问题 方法总结： 第一步：计算圆锥底面周长，得到侧面展开图的弧长。 第二步：利用弧长公式求出展开图扇形的圆心角。 第三步：在展开图中确定起点和终点的位置，连接成线段。 第四步：用勾股定理或余弦定理计算线段长度，即为最短路径。 题型剖析 练一练 （24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 题型八、最短路线问题 解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 题型剖析 1. （2024九年级·全国·竞赛）某同学的身高是米，在阳光下量得他的影子长是米，且同一时刻量得身旁的旗杆的影子长为米，那么旗杆的高度应该为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 解：设旗杆的高度为米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴米， ∴设旗杆的高度为米， 故选：． 考查投影 针对训练 2. （2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， 考查中心投影的应用 针对训练 ， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 考查中心投影的应用 针对训练 3. （2024七年级上·全国·专题练习）小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 考查几何体的展开与折叠 针对训练 考查几何体的展开与折叠 （1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 针对训练 4. （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 考查圆锥的计算 针对训练 考查圆锥的侧面展开图 （1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 针对训练 5. （24-25九年级上·广东深圳·期中）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） 考查简单组合体的三视图 解：从左边看是一个圆中间有一个点，右边的圆柱看不到应该画虚线，可得选项C的图形． 故选：C． 针对训练 6. （24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是实心零件的二种视图，求该零件的表面积． 考查三视图求面积 解：由三视图可得：此几何体为圆柱体和长方体的组合体， 该零件的表面积． 答：该零件的表面积． 针对训练 7. （23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ． 考查由三视图判断小正方体的个数 解：由左视图和俯视图可知， ∴小正方体的最少个数为（个）， 故答案为：9． 9 针对训练 8. （2024九年级上·江苏·专题练习）圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 考查圆锥的计算 解：将圆锥侧面沿剪开展平，连接，则就是所求绳子长． 由得， 作，则，， ∴， ∴，，∴． 针对训练 物体 （立体图形） 投影 中心投影 平行投影 正投影 （视图） 主视图 俯视图 左视图 三视图 想象 光照 点光源 平行光线 光线垂直于投影面 由前向后看 由上向下看 由左向右看 直棱柱、圆锥的侧面展开图 课堂总结 感谢聆听! $