9.3.3向量平行的坐标表示（2知识点+5考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.3.3向量平行的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量平行的坐标表示 设向量，，则． 当时，由于与任意向量平行，故恒成立．即对任意向量都有：． （25-26高一·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 知识点2：定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 （1）如图，设是直线上两点，点是不同于的任意一点，则存在一个实数，使，叫作点分线段所成的比，点叫作线段以定比为的定比分点． （2）点的位置与的范围的关系 ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． 2、定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，，，，则， ∴（这个公式叫作线段定比分点的坐标公式），故点． 3、定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． （1）中点坐标公式：设，的中点为，则，． （2）重心坐标公式：在中，，，，则的重心的坐标为． （2025高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 题型一：由坐标判断向量是否共线 【例1】（2025高三·江西南昌·专题练习）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-1】（25-26高三·辽宁·月考）已知向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可求，，即可判断A；根据模长公式判断B；由垂直的坐标表达式判断C，进而判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 【变式1-2】【多选】（25-26高三·安徽浙江·月考）已知向量，，则下列命题为真命题的是（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】ACD 【分析】结合向量共线的坐标运算，举例判断AB；利用向量垂直的坐标运算判断CD. 【详解】当时，，，，故，故A正确； 因为，，所以时，与不共线，故B错误； 向量，，则，即， 所以当或时，，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式1-3】（25-26高三·广东佛山·月考）若向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】D 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式计算即可判断；对于C，利用向量垂直的坐标公式计算即可判断；对于D，结合数量积的坐标运算，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因，则， 又，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，则， 又，由，可得不成立，故C错误； 对于D，因， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 题型二：由向量共线（平行）求参数 【例2】（广西2026届高三1月份适应性测试数学试题）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 【变式2-1】（辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一学期期末考试数学试题）已知平面向量，，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得， 所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得； （2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解. 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例3】（25-26高二·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 【变式3-1】（25-26高二·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 【变式3-2】（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 题型四：线段的定比分点计算 【例4】【多选】（2025高一·广东东莞·期中）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 【变式4-1】（2025高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【变式4-2】（2025高一·陕西西安·期中）已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可. 【详解】因为点，向量，， 所以，， 设，则， ， 因为，所以，解得，所以. 故答案为： 【变式4-3】（2025高一·海南省直辖县级单位·月考）设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）直接根据求解； （2）分和两种情况，利用向量的坐标运算求解； （3）设，利用向量的坐标运算列方程求解. 【详解】（1）当是线段的中点时， ， ； （2）①当时， ， ， 得点的坐标为：； ②当时， , ， 得点的坐标为：； （3）设 , 又，, ， 即点的坐标是. 题型五：由坐标解决线段平行和长度问题 【例5】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 【变式5-1】（2025高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 【变式5-2】（2025高一·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 【变式5-3】（2025高一·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出t的值 (2)设梯形，且，，求点坐标； (3)若点满足：，且，求点坐标． 【答案】(1)不存在 (2) (3)或. 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，列出方程组求解判断. （2）根据给定条件，利用相等向量列式求解. （3）利用数量积的坐标表示、模的坐标表示列出方程组求解. 【详解】（1）假设存在常数使得成立，则， 即，解得，此方程组无解， 所以不存在常数使得成立. （2）设，依题意，，， 而，则，即，解得， 所以点. （3）设，则，， 依题意，，解得或， 所以点的坐标为或. 一、单选题 1．（2025高一·重庆綦江·期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标运算得出，再根据向量线性运算的坐标表示以及求模公式计算. 【详解】由题意可得，，得，则， 所以，则. 故选：A. 3．（25-26高一·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（25-26高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 5．（25-26高三·安徽阜阳·月考）已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可求出，根据平行关系和垂直关系可建立方程组，即可解出. 【详解】设 ，， 由 ，可得， 由 得， 所以， 联立得 解方程组可得， 所以. 故选： 二、多选题 6．（25-26高三·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 7．（25-26高三·辽宁抚顺·月考）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【分析】根据向量共线求的值，可判断AB的真假；根据向量垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 8．（25-26高三·甘肃·月考）（多选题）已知向量，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，可判定A正确，B错误；利用向量垂直的坐标表示，可判定C正确，D错误. 【详解】若，可得，解得，所以A正确，B错误； 若，可得，解得或，所以C正确，D错误． 故选：AC. 9．（25-26高三·安徽·月考）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高三·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标运算判断C；利用向量线性坐标运算及模的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，向量，，则，即，，可知A正确； 对于B，， ，若，可得，即，所以时，，因此B正确； 对于C， ，，则，得， 平方化简得，此时，显然矛盾，所以不存在，使得，因此C错误； 对于D，若向量，，，则，可得； 当时，，平方化简得，因为，所以方程有解， 即，使得，因此D正确. 故选：ABD 11．（2025·辽宁·模拟预测）已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 【答案】BC 【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项. 【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误； 对于B.设，由，则， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C.，，， 所以，故C正确； 对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（2026·上海）已知，，若，则 . 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 13．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 14．（2026·河北沧州·模拟预测）已知向量，，若，且，则 ． 【答案】 【分析】根据求出的值，结合进行验证，最后代入求值即可. 【详解】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 15．（25-26高三·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 四、解答题 16．（25-26高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 17．（2025高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3.3向量平行的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量平行的坐标表示 设向量，，则． 当时，由于与任意向量平行，故恒成立．即对任意向量都有：． （25-26高一·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 知识点2：定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 （1）如图，设是直线上两点，点是不同于的任意一点，则存在一个实数，使，叫作点分线段所成的比，点叫作线段以定比为的定比分点． （2）点的位置与的范围的关系 ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． 2、定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，，，，则， ∴（这个公式叫作线段定比分点的坐标公式），故点． 3、定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． （1）中点坐标公式：设，的中点为，则，． （2）重心坐标公式：在中，，，，则的重心的坐标为． （2025高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型一：由坐标判断向量是否共线 【例1】（2025高三·江西南昌·专题练习）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（25-26高三·辽宁·月考）已知向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】【多选】（25-26高三·安徽浙江·月考）已知向量，，则下列命题为真命题的是（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【变式1-3】（25-26高三·广东佛山·月考）若向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量是 题型二：由向量共线（平行）求参数 【例2】（广西2026届高三1月份适应性测试数学试题）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】（辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一学期期末考试数学试题）已知平面向量，，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式2-2】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-3】（25-26高一·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例3】（25-26高二·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（25-26高二·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【变式3-2】（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：线段的定比分点计算 【例4】【多选】（2025高一·广东东莞·期中）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【变式4-2】（2025高一·陕西西安·期中）已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（2025高一·海南省直辖县级单位·月考）设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 题型五：由坐标解决线段平行和长度问题 【例5】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【变式5-1】（2025高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【变式5-2】（2025高一·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【变式5-3】（2025高一·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出t的值 (2)设梯形，且，，求点坐标； (3)若点满足：，且，求点坐标． 一、单选题 1．（2025高一·重庆綦江·期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 3．（25-26高一·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·安徽阜阳·月考）已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高三·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高三·辽宁抚顺·月考）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 8．（25-26高三·甘肃·月考）（多选题）已知向量，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 9．（25-26高三·安徽·月考）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．（25-26高三·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 11．（2025·辽宁·模拟预测）已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 三、填空题 12．（2026·上海）已知，，若，则 . 13．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，若，则 . 14．（2026·河北沧州·模拟预测）已知向量，，若，且，则 ． 15．（25-26高三·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 四、解答题 16．（25-26高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 17．（2025高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $