9.4向量应用（2知识点+8考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.4向量应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量在几何中的应用 1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：． （3）求夹角问题，利用夹角公式：． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或． （2025高一·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 知识点2：向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上． 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解． 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合． （2024高二·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 题型一：用向量证明线段垂直 【例1】（2025高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】（2025高一·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式1-2】（2025高三·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【变式1-3】（2025高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 题型二：用向量证明平行 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【变式2-1】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【变式2-2】（2025高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【变式2-3】（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 题型三：利用向量求线段的长度 【例3】（2025高三·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式3-1】（2025·山东临沂·模拟预测）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-2】【多选】（2025高一·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 题型四：利用向量求夹角 【例4】（2025高一·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-1】（2025高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【变式4-2】（2025高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 题型五：向量与几何最值问题 【例5】（2025高三·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【变式5-1】（25-26高三·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则 .若是线段上的一个动点，则的最小值为 . 【变式5-2】（25-26高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（25-26高三·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：力的合成问题 【例6】（25-26高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 【变式6-2】（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】【多选】（2025高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 题型七：速度与位移的合成问题 【例7】（25-26高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一·全国·假期作业）船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ． 【变式7-2】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025高一·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 题型八：功和动量的计算 【例8】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式8-1】（2025高一·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【变式8-2】（2025高一·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式8-3】（2025高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 2．（25-26高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 3．（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 6．（25-26高三·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 7．（2025·浙江金华·模拟预测）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 8．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 9．（2025高二·江苏南京·月考）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（2025高一·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 三、填空题 12．（25-26高三·北京·月考）已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为 .    13．（25-26高三·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 14．（2025高三·湖南岳阳·开学考试）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．（25-26高三·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为 . 16．（25-26高三·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 四、解答题 17．（2025高一·山东菏泽·期末）已知点，向量，，． (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 18．（25-26高三·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 20．（25-26高一·海南·开学考试）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步或，有两种路径可以选择，如图所示：    若某点可以表示为（为整数），则称为可达点． 已知：向量的加法：；向量的数乘：． (1)分析可达点中、满足的函数关系，判断是否为可达点，并说明理由． (2)证明：若是可达点，则也是可达点． (3)若某些可达点满足，求在所有满足条件的可达点中，最小的点及此时的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.4向量应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量在几何中的应用 1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：． （3）求夹角问题，利用夹角公式：． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或． （2025高一·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      知识点2：向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上． 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解． 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合． （2024高二·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 题型一：用向量证明线段垂直 【例1】（2025高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 【变式1-1】（2025高一·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. 故选：B 【变式1-2】（2025高三·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 【变式1-3】（2025高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 题型二：用向量证明平行 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 【变式2-1】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【变式2-2】（2025高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【答案】证明见解析 【分析】可作平行四边形，分别是的中点，分别交于点，然后设，根据三点共线得出，同理可得，即可证明． 【详解】已知：平行四边形，分别是的中点，分别交于点；求证：是的三等分点． 证明：如图，设，， 因为三点共线， 所以，即， 所以，同理可得， 所以是的三等分点． 【变式2-3】（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 题型三：利用向量求线段的长度 【例3】（2025高三·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·山东临沂·模拟预测）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【变式3-2】【多选】（2025高一·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 题型四：利用向量求夹角 【例4】（2025高一·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（2025高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（2025高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 【变式4-3】（2025高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 题型五：向量与几何最值问题 【例5】（2025高三·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 取中点为，如图， 则， 此时. 所以的最小值为7. 故答案为：7 【变式5-1】（25-26高三·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则 .若是线段上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值. 【详解】①， 又，， 则：，且 原式， 解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 【变式5-2】（25-26高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 【变式5-3】（25-26高三·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 题型六：力的合成问题 【例6】（25-26高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据，先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 【变式6-3】【多选】（2025高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 题型七：速度与位移的合成问题 【例7】（25-26高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 【变式7-1】（25-26高一·全国·假期作业）船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸，①可根据勾股定理直接求得，②根据正弦函数的定义求得即可. 【详解】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸. 因为垂直河岸方向的分速度越大，过河时间越短，而垂直河岸的分速度由船的静水速度提供. 所以船的实际速度是静水速度与水流速度的合速度， 所以根据勾股定理得km/h. 设实际速度方向与水流速度方向的夹角为， 则. 故答案为：①km/h②. 【变式7-2】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 【变式7-3】（2025高一·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 题型八：功和动量的计算 【例8】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 【变式8-1】（2025高一·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 【变式8-2】（2025高一·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【变式8-3】（2025高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 2．（25-26高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 3．（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 4．（2025高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 5．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 6．（25-26高三·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 7．（2025·浙江金华·模拟预测）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 二、多选题 8．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 9．（2025高二·江苏南京·月考）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据题中向量等式，可推得，所以在正六边形的对角线上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断C、D. 【详解】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC 10．（2025高一·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高三·北京·月考）已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为 .    【答案】/ 【分析】由题得到，从而求出的最小值即可得解. 【详解】由题可得， 则的最小值为的最小值，设为d， 则. 故答案为： 13．（25-26高三·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 【答案】 2 /2.25 【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解及传令兵所走的路程即可. 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 14．（2025高三·湖南岳阳·开学考试）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 15．（25-26高三·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 则，， 故 ， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：. 16．（25-26高三·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题 17．（2025高一·山东菏泽·期末）已知点，向量，，． (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求得的坐标，根据数量积为0列方程求解即可； （2）设，由题意，由此即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为，所以， 得； （2）设，因为点在线段的延长线上且， 所以， 所以，解得：， 所以点的坐标为. 18．（25-26高三·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【详解】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 20．（25-26高一·海南·开学考试）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步或，有两种路径可以选择，如图所示：    若某点可以表示为（为整数），则称为可达点． 已知：向量的加法：；向量的数乘：． (1)分析可达点中、满足的函数关系，判断是否为可达点，并说明理由． (2)证明：若是可达点，则也是可达点． (3)若某些可达点满足，求在所有满足条件的可达点中，最小的点及此时的值． 【答案】(1)，不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用向量向量的加法和向量的数乘运算可求得，代入点的坐标，可得结论； （2）构造：，进而计算可得，可得结论； （3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，可得，进而计算可求得结论. 【详解】（1）， 得，即． ． 即． 所有可达点满足． 代入点，有，故不是可达点． （2）由为可达点可知，． 构造：．将表达为的形式， 有， 解得． 故． 即仍为可达点． （3）． 令，即． 由是整数可知，， 即． 不妨设，则有． 即． 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，解不等式有． 时，． 此时点坐标为， 最短步长为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $