4.1.2 三角形内角和与外角课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第四章 三 角 形 4.1.2 三角形内角和与外角 教学目标 01 掌握三角形内角和定理，并会解决简单的问题. 02 03 会按角的大小对三角形进行分类. 掌握三角形的外角的概念及性质，并会解决简单的问题. 新知导入 三角形的内角和是多少度？小学阶段是如何证明的？ 回 顾 三角形的内角和等于180°. 37° 53° 90° 方法1：用量角器测量 90°+37°+53°=180° 方法2：折叠法 折叠 方法3：剪拼法 剪拼 新知讲解 探究一 三角形的内角和 任画一个△ABC，将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度，则边AB经过点C，并可得到直线A´B´，如图. 证明：延长BC,在BC延长线上取点D,过点C作AB的平行线CE,即CE∥ AB. 则 ∠ECD=∠B， ∠ACE=∠A. 又∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°， D E ∴∠BCA+∠A+∠B =180°. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 还有其他方法 得出此结论吗? 证法一：过点A作BC的平行线DE,即DE∥ BC，如图. ∴ ∠DAB=∠B， ∠EAC=∠C. 又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C =180°. 证法二：选边BC所在直线上一点D，过点D作DE∥AC，DF∥AB，如图. ∴ ∠FDC=∠B， ∠DFC=∠A， 又∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠C+∠A+∠B =180°. 其他证法 D E D E F ∠EDB=∠C， ∠EDF=∠DFC. ∴∠EDF=∠A， 多种方法证明三角形内角和等于 180°的核心： 归 纳 转化思想：借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 典型例题 例3 .在△ABC 中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 只知道数量关系如何求解呢？ 几何问题（和差倍分）借助方程来解，这是一个重要的数学思想. 解： 设∠B=x°，则∠A=（3x）°，∠C =(x+ 15)°， 从而 3x + x + （x + 15）＝180 解得：x＝33 ∴ 3x=99，x + 15＝48 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 议一议 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？你的依据是什么？ 三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 新知讲解 1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；如图1. 图1 2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；如图2. 图2 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；如图3. 图3 图4 探究二 三角形的分类 新知讲解 三角形的外角 探究三 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD. 把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 思考：外角∠ACD与三角形ABC的三个内角分别有什么位置关系和数量关系？ 对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角. 议一议 试一试1：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，你能找出∠ACD与内角∠A，∠B之间有什么数量关系吗? 解：∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180° ∴ ∠ACD=180°-∠ACB，∠A +∠B=180°-∠ACB. ∴∠ACD=∠A +∠B. 由此得到： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系呢？ 互补 议一议 试一试2：与同学交流下列问题，并尝试归纳得出的结论. (1)三角形的外角具有哪些特征? (2)三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系? （1）三角形的外角的特征： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 议一议 试一试2：与同学交流下列问题，并尝试归纳得出的结论. (1)三角形的外角具有哪些特征? (2)三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系? （2）三角形的外角的与三角形三个内角之间的大小关系： ①三角形的每一个外角和与它相邻的内角互补. ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 典型例题 例4 .如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数. 解：∵∠ADB=∠C+∠CAD， ∴∠CAD=∠ADB−∠C=98°−70°=28°. 又∵∠BAD=∠CAD， ∴∠BAD=28°. ∴∠B = 180°−∠ADB−∠BAD=54°. 课堂小练 2.如图， 在△ABC中，∠A=80°， ∠B=40 °，D，E 分别是AB，AC上的点， 且DE∥BC， 则∠AED的度数是（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 1.下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么? （1） 3°， 150°， 27° （ ） （2）60°， 40°， 90° （ ） （3）30°， 60°， 50° （ ） 是 不是 不是 B 3.某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3=110°，则∠1比∠2大（　　）． A．50°　　　　 B．60°　　　　 C．70°　　　　 D．80° 4.在 △ABC 中，若 ∠A=∠B+∠C ，则此三角形是 . 5.如图，是某机械加工厂加工的一种零件示意图，其中AB∥ ED， ∠B=34°， ∠BCD=53°，则∠D等于（　　） A．34°　　　 　B．19°　　　　 C．53°　　　　 D．87° C 直角三角形 B 板书设计 4.1 认识三角形（2） --三角形的内角和与外角 1.三角形的内角和： …… 2.三角形的分类： …… 3.三角形的外角： …… 【习题讲解书写部分】 …… 作业布置 基础层作业 A 级 1.在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形　　 B．直角三角形　　 C．钝角三角形　　 D．无法确定 2.一个零件的形状如图所示，按规定 ∠A 应等于 90° ， ∠B ， ∠D 应分别是 20° 和 30°.聪明的李叔叔断定,当 ∠BCD= ______时这个零件合格． C 140° 提高层作业 B 级 3.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，若∠BOC=110°，则∠A=（　　） A．30°　　　　B．40°　　　　C．55°　　　　D．60° B 4.如图，在△ABC中，∠ABC=82°,∠C=58°,BD⊥AC于D，AE平分∠CAB， BD与AE交于点F，求∠AFB． 解：∵∠CAB+∠ABC+∠C=180°，∠ABC=82°,∠C=58° ∴∠CAB=40°. ∵AE平分∠CAB ∴∠DAF= ∠CAB =20°. ∵BD⊥AC，即∠ADB=90° ∴∠AFB=∠ADB+∠DAF=90°+20°=110°. 拓展层作业 C 级 5.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为"三倍角三角形"。例如，三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是"三倍角三角形" （1）△ABC中，∠A=35°,∠B=40°,△ABC是"三倍角三角形"吗？为什么？ 解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下： ∵∠A=35°，∠B=40°， ∴∠C=180°−∠A−∠B=105°=3∠A， ∴△ABC是“三倍角三角形”. 5.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为"三倍角三角形"。例如，三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是"三倍角三角形" (2）若△ABC是"三倍角三角形"，且∠B=60°，求△ABC中最小内角的度数. 解：∵∠B=60°， ∵∠A+∠C=120°， 设最小的角为x， ①当60°=3x时，x=20°， ②当x+3x=120°时，x=30°， 答：△ABC中最小内角为20°或30°. Lavf60.16.100 $