第1章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）数学浙教版新教材八年级下册

第一章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 5．对于实数a、b，若，则（    ） A． B． C． D． 6．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． A．0 B．1 C．2 D．3 8．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 9．如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的值为（   ） A．5 B．7 C． D． 10．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 12．已知，则 ． 13．一个三角形的三边长度分别是、、，则这个三角形的周长是 ． 14．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 15．计算： ． 16．计算：＝ ． 2、 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）小华学习《实数》一章后，进行了如下探究： ①，，和都是36的算术平方根，而36的算术平方根只有一个，所以． ②，，和都是400的算术平方根，而400的算术平方根只有一个，所以_______=_______×_______． (1)请仿照①帮助小华完成②的填空． (2)猜想当，时，，，之间有怎样的数量关系，并举例验证你的猜想． (3)运用以上结论，计算． 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 21．（10分）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 22．（10分）如图，在文化公园有一个用于表演秦腔的长方形舞台，其长为米，宽为米．为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的总面积． 23．（10分）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 24．（10分）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 2．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：∵ ，且非同类二次根式不能合并，∴ A错误； ∵ ，∴ B错误； ∵ ，∴ C错误； ∵ ，∴ D正确． 故选：D． 4．已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．对于实数a、b，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，利用二次根式的性质化简，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二次根式的结果为非负数，列出不等式求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 6．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 7．已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 8．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 9．如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的值为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；由运算程序图可直接代值进行求解即可． 【详解】解：当时，由运算程序图可得：； 故选C． 10．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则，将和相乘后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，解题关键是理解二次根式有意义的条件． 先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再把x的值代入等式求出y的值，再代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 把代入原式得， ∴． 故答案为：． 13．一个三角形的三边长度分别是、、，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式．将三角形三边长化为最简二次根式并相加即可． 【详解】解：，，， ∴三角形的周长为 ． 故答案为：． 14．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 16．计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键．将分式中的分子分别除以分母进行化简，然后进行减法运算 【详解】解： 故答案为：． 2、 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（8分）小华学习《实数》一章后，进行了如下探究： ①，，和都是36的算术平方根，而36的算术平方根只有一个，所以． ②，，和都是400的算术平方根，而400的算术平方根只有一个，所以_______=_______×_______． (1)请仿照①帮助小华完成②的填空． (2)猜想当，时，，，之间有怎样的数量关系，并举例验证你的猜想． (3)运用以上结论，计算． 【答案】(1)，， (2)，举例验证见解析 (3) 【分析】本题考查算术平方根的运算，解题的关键是通过类比发现规律． （1）类比的示例，即可得出答案； （2）举例时，找出两个可以完全开方的数即可； （3）运用前面的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：，，． （2）解：猜想． 举例：，，和都是144的算术平方根，而144的算术平方根只有一个， ∴． 答：当，时，，，之间的数量关系为． （3）解： 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 20．（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 21．（10分）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1) (2)一 (3)见解析 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； （3）解： ． 22．（10分）如图，在文化公园有一个用于表演秦腔的长方形舞台，其长为米，宽为米．为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的总面积． 【答案】装饰后长方形舞台的总面积是140平方米 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据长方形舞台，其长为米，宽为米．在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，则表达出，，再把数值代入长方形舞台的总面积进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 长方形舞台的总面积 （平方米） 答：装饰后长方形舞台的总面积是140平方米． 23．（10分）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（10分）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $