专题02 二次根式的运算（十二大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题02 二次根式的运算（十二大题型） 【题型1二次根式的乘法】................................................................1 【题型2 二次根式的除法】...............................................................4 【题型3二次根式的乘除法混合】..........................................................8 【题型4 最简二次根式的判断】...........................................................10 【题型5 化为最简二次根式】.............................................................12 【题型6 同类二次根式】.................................................................14 【题型7 二次根式的加减运算】...........................................................16 【题型8 二次根式的混合运算】...........................................................18 【题型9 分母有理化】...................................................................21 【题型10 已知字母的值，化简求值】......................................................26 【题型11 比较二次根式的大小】..........................................................28 【题型12 二次根式的应用】..............................................................29题29型2 】.求二次根式的值题型1二次 题型6 复合二次根式的化简 题型1二次根式的乘法 1．计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用二次根式乘法法则及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式乘法法则及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 2．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了混合运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再计算加法． 【详解】解： 3．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． （3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及乘法运算，平方差公式，掌握公式和计算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则计算； （2）利用平方差公式进行二次根式的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2 二次根式的除法 1．计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 先将除法化成乘法，再运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型3二次根式的乘除法混 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 2.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算． （1）根据二次根式乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算：   【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ； 另一种解法： 原式 ． 题型4 最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A：，被开方数10的因数中不含完全平方数，且不含分母， ∴是最简二次根式，符合题意； B：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； C：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； D：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 【详解】解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意； B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意； C：，含平方因子，非最简，不符合题意； D：含分母，非最简，不符合题意； 故选：B． 3．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 4．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 5．若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， ∴ 故选：D． 题型5 化为最简二次根式 1．把化简为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．把化成最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可． 【详解】解： ， 故答案为： 4．化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行化简即可； （2）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （3）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （4）根据二次根式的除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型6 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是指：二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； 故选：B． 2．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 3．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的定义．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内数相同．先将化简为，再检查各选项化简结果，比较被开方数是否为3． 【详解】∵ ， A． ，被开方数为30，不符合题意； B． ，被开方数为2，不符合题意； C． ，被开方数为6，不符合题意； D． ，被开方数为3，符合题意； ∴ 与同类的是D 故选：D． 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，完全平方公式的非负性等知识点． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此建立方程，根据非负性求解，再验证解是否满足最简二次根式的条件，最后代入计算所求表达式的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 故选：D． 题型7 二次根式的加减运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将二次根式化简后再合并即可得到答案； （2）原式分别计算算术平方根、立方以及绝对值，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及加减运算，求一个数的立方根，解题的关键是掌握二次根式的化简法则及运算法则． 先对二次根式进行化简，求出立方根，然后再进行加减运算． 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的加减，实数的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各项，再相加即可； （2）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减． 【详解】（1）原式 （2）原式 ． 题型8 二次根式的混合运算 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简各二次根式，然后进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据二次根式的性质和乘法法则计算，再进行加减运算即可； （2）原式先根据完全平方公式和二次根式的性质计算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可； （3）运用二次根式的混合运算法则计算即可； 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型9 分母有理化 1．分母有理化： ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 2．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 3．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 9 (2) 2 【分析】本题考查分母有理化，完全平方公式，已知字母的值，求代数式的值． （1）通过分母有理化，对原式进行转化，计算即可； （2）通过分母有理化，可得，由完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． 4．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 5．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 题型10 已知字母的值，化简求值 1．化简求值：当，时，求的值； 【答案】20 【分析】本题主要考查了分母有理化，代数式求值，完全平方公式分解因式，分母有理化求出x、y的值，则可求出的值，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 2．已知，． (1)求； (2)若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算等知识，掌握二次根式的运算是关键； （1）把多项式化简，再代入即可求解； （2）由题意可求得a与b的值，可计算出，再代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵， ∴x、y的整数部分为1， ∴， ∴， ∴． 3．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 4．已知：，． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，完全平方公式及代数式的化简． （1）将，代入，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）将，代入，然后利用完全平方公式进行计算并化简即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 5.已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，二次根式的混合运算，先对 进行分母有理化，得到 ，然后计算分子 的值为 2，分母 的值为 ，最后求分式的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ． 题型11 比较二次根式的大小 1．比较大小：（1）     （2） 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 2．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 3．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 4.比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 题型12 二次根式的应用 1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为 ， ∵ ， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为 ， 故选：D 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积 ． 故选：A． 3．如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的面积公式以及二次根式的化简，熟练掌握圆的面积公式（表示面积，表示半径）和二次根式的化简方法是解题的关键．先根据深色部分半径求出深色部分面积，再结合浅色圆环面积得到整个截面面积，最后根据圆的面积公式求出截面半径． 【详解】解：因为深色部分的半径为， 所以深色部分的面积为． 又因为浅色圆环部分的面积为， 所以截面的面积为， 所以截面的半径为， 故选：D． 4．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 6．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算（十二大题型） 【题型1二次根式的乘法】...............................................................1 【题型2 二次根式的除法】.............................................................. 2 【题型3二次根式的乘除法混合】..........................................................3 【题型4 最简二次根式的判断】...........................................................4 【题型5 化为最简二次根式】.............................................................4 【题型6 同类二次根式】.................................................................5 【题型7 二次根式的加减运算】...........................................................5 【题型8 二次根式的混合运算】...........................................................6 【题型9 分母有理化】...................................................................7 【题型10 已知字母的值，化简求值】......................................................8 【题型11 比较二次根式的大小】..........................................................9 【题型12 二次根式的应用】.............................................................10题29型2 】.求二次根式的值题型1二次 题型6 复合二次根式的化简 题型1二次根式的乘法 1．计算： （1）；     （2）． 2．计算：； 3．计算： (1)． (2)． (3)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)． 题型2 二次根式的除法 1．计算． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) 4． 计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5．计算： (1)； (2)； (3)． 题型3二次根式的乘除法混 1．计算：． 2.计算：． 3．计算： (1)． (2)． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：   题型4 最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 题型5 化为最简二次根式 1．把化简为最简二次根式，结果是 ． 2．把化成最简二次根式为 ． 3．化简： ． 4．化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 题型6 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 题型7 二次根式的加减运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： 3．计算：； 4．计算：； 5．计算： (1) (2) 题型8 二次根式的混合运算 1．计算：． 2．计算： (1)； (2) 3．计算： (1)； (2)． 4．计算 (1)； (2) 5．计算： (1) (2) (3) 题型9 分母有理化 1．分母有理化： ， ． 2．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 3．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 4．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 5．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 题型10 已知字母的值，化简求值 1．化简求值：当，时，求的值； 2．已知，． (1)求； (2)若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 3．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 4．已知：，． 计算： (1)； (2)． 5.已知，求的值． 题型11 比较二次根式的大小 1．比较大小：（1）     （2） 2．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 3．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4.比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 题型12 二次根式的应用 1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 4．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $