4 题型四 几何综合探究题-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何综合探究、分类讨论、动点问题等核心考点，紧密对接中考说明，分析5年3考等考点权重，归纳点的位置/形状不确定、图形变换等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题示例+变式训练+解题策略”模式，如通过新疆中考23题“点的对应关系不确定”实例，示范分类讨论法，培养推理意识与几何直观。含中考真题解析、易错点分析，帮助学生掌握构造全等/相似、转化思想等技巧，助力中考冲刺，为教师提供系统复习指导。

《二轮重难题型培优》 数学 第二部分 新疆重难题型攻关 题型四　几何综合探究题(5年3考) 分类讨论—针对新疆中考23题 考向1　点的对应关系不确定 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点.点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，点Q在线段AC上以x cm/s的速度由点C向点A运动.两点同时出发，当△BPD与△CPQ全等时，求x的值. 解：∵AB＝AC＝12 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点， ∴BD＝×12＝6 cm. 设点P，Q的运动时间为t s，则BP＝2t cm，PC＝(8－2t)cm. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ①当△BDP≌△CPQ时，BD＝PC，BP＝CQ，∴6＝8－2t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝2，∴点Q的运动速度x＝2÷1＝2(cm/s)； ②当△BDP≌△CQP时，BP＝PC，BD＝CQ＝6， ∵BC＝8 cm，∴BP＝4 cm，∴t＝4÷2＝2(s)， ∴点Q的运动速度x＝6÷2＝3(cm/s).综上所述，x的值为2或3. 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，E为CD的中点，P为边AB上一个动点，连接AE，PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，若△PQE与△ADE相似，求AP的长. ∵AP·AD＝AE·PQ，∴PQ＝AP. ∵在Rt△APQ中，AQ2＋PQ2＝AP2， ∴(5－QE)2＋PQ2＝AP2，∴(5－PQ)2＋PQ2＝AP2， ∴(5－×AP)2＋(AP)2＝AP2，解得AP＝. 解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，E为CD的中点，PQ⊥AE， ∴DE＝4，∠D＝∠PQE＝90°，∴AE＝＝5. ①当△PQE∽△ADE时， ∴＝，∴＝，即QE＝PQ. ②当△PQE∽△EDA时， ∴＝，∴QE＝PQ.由①得PQ＝AP， ∵在Rt△APQ中，AQ2＋PQ2＝AP2， ∴(5－×AP)2＋(AP)2＝AP2， 解得AP＝4或AP＝－(舍去)， 综上所述，AP的长为或4. 考向2　点的位置不确定 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为直线AC上一点，AE＝2CE，过点E 作EF⊥AC交直线CD 于点F，连接AF，求AF的长. 解：如图1，当点E在线段AC 上时， ∵正方形ABCD的边长为2，∴∠ACF＝45°，AC＝2. ∵AE＝2CE，∴AE＝，CE＝. 图1 ∵EF⊥AC，∴EF＝CE＝，∴AF＝＝. 如图2，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得AE＝4，EF＝2， ∴AF＝＝2. 综上所述，AF的长为或2. 图2 【变式2】如图，已知△ABC是等边三角形，点D在射线AB上运动(不与点A，B重合)，连接CD，点E在直线BC上，且CD＝DE.若DE和DF关于直线AB对称，连接BF，探究BC，BD，BF之间的数量关系，并证明. 解：BC＝BD＋BF或BF＝BD＋BC， 证明如下：如图1，当点D在线段AB上时， 过点D作DG∥AC交BC于点G.∵△ABC是等边三角形， 图1 ∴∠BDG＝∠A＝60°，∠BGD＝∠BCA＝60°， ∴∠DBG＝∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形， ∴∠EBD＝∠CGD＝120°，BD＝BG.又∵DE＝DC， ∴∠DEB＝∠DCG.在△BDE和△GDC中，， ∴△BDE≌△GDC(AAS)，∴BE＝GC.又∵DE和DF关于直线AB对称， ∴BE＝BF＝GC，∴BC＝BG＋GC＝BD＋BF. 如图2，当点D在线段AB延长线上时， 过点D作DH∥AC交直线BC于点H. 同理得△BDH为等边三角形， ∴BD＝BH，∠EHD＝∠CBD＝120°. 又∵CD＝DE，∴∠E＝∠DCB. 在△DHE和△DBC中，， 图2 ∴△DHE≌△DBC(AAS)，∴EH＝BC. 又∵DE和DF关于直线AB对称， ∴BF＝BE＝BH＋EH＝BD＋BC. 综上所述，BC＝BD＋BF或BF＝BD＋BC. 图2 考向3　图形的形状不确定 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝12，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，连接BF.当△BDF是直角三角形时，求AD的长. 解：∵∠ABC＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°. 由折叠得∠FDE＝∠ADE＝60°， ∴∠BDF＝180°－60°－60°＝60°. 当∠BFD＝90°时，如图1， 图1 ∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴BD＝2DF. 由折叠得DF＝AD，∴BD＝2AD， ∴3AD＝AB＝12，∴AD＝4. 当∠DBF＝90°时，如图2，同理可得AD＝DF＝2BD， ∴3BD＝AB＝12，∴BD＝4，∴AD＝8. 综上所述，AD的长为4或8. 图2 【变式3】如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝6，E是边BC上的一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，连接DF，当△ADF为等腰三角形时，求BE的长. 解：由翻折得AF＝AB＝5，BE＝EF. 当AF＝DF时，如图1，此时点F在AD的垂直平分 线上，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N， 则AM＝AD＝3，∴FM＝＝4. 图1 ∵四边形ABCD为矩形，∴易得四边形ABNM是矩形， ∴∠BNM＝90°，MN＝AB＝5.∴FN＝MN－FM＝1. 设BE＝EF＝x，则EN＝3－x. 在Rt△ENF中，EN2＋FN2＝EF2，∴(3－x)2＋1＝x2， 解得x＝，∴BE＝. 当AD＝DF时，如图2，过点F作FP⊥AD于点P，延长PF交BC于点Q.设AP＝y，则DP＝6－y. ∵AF2－AP2＝DF2－DP2，∴52－y2＝62－(6－y)2， 解得y＝，∴AP＝，∴PF＝＝. ∵△ABE沿AE翻折得△AFE，∴∠AFE＝90°， 图2 ∴易得△APF∽△FQE，∴＝＝.∵BQ＝AP＝， ∴＝.∵BE＝EF，∴BE＝12－. 综上所述，BE＝或12－. 考向4　图形的位置不确定 (2025江西改编)如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB'，折痕与边BC交于点P.当AB'与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，求∠APB的度数. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°. 由折叠得∠PAB'＝∠PAB＝∠BAB'. 如图1，当∠BAB'＝15°时，∵∠PAB＝×15°＝7.5°， ∴∠APB＝90°－∠PAB＝82.5°. 如图2，当∠DAB'＝15°，且点B'在边AD下方时， ∵∠BAB'＝∠BAD－∠DAB'＝75°， ∴∠PAB＝×75°＝37.5°， ∴∠APB＝90°－∠PAB＝52.5°. 图1 图2 如图3，当∠DAB'＝15°，且点B'在边AD上方时， ∵∠BAB'＝∠BAD＋∠DAB'＝105°， ∴∠PAB＝×105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°－∠PAB＝37.5°. 综上所述，∠APB的度数是82.5°或52.5°或37.5°. 图3 【变式4】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD交于点O，将△BOC绕点B旋转得到△BO'C'，当A，B，O'三点共线时，求C'D的长. 解：如图1，当点O'在线段AB的延长线上时， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝2， ∴△BOC为等腰直角三角形，BC＝2，BD＝AB＝2. 由旋转得BC'＝BC＝2，C'，B，D三点共线， ∴C'D＝BC'＋BD＝2＋2. 图1 如图2，当点O'在线段AB上时， 同理可得C'D＝BD－BC'＝2－2. 综上所述，C'D的长为2＋2或2－2. 图2 与几何图形基本性质有关 　 在正方形ABCD❶中，M，N分别是射线AD，DC上的点，且∠MBN＝45°❷. (1)如图1，若点M在线段AD上，点N在线段CD上，试探究MN，AM，CN之间的数量关系❸ ，并说明理由； 图1 ❶正方形ABCD→四边相等，四角相等且都是直角； ❷∠MBN＝45°⇨∠MBN＝∠ABC⇨半角模型 (1)❸通过旋转与半角相邻的一个三角形(△BCN或△BAM)，构造全等三角形，求得线段关系； 解：MN＝CN＋AM. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°， 如图1，将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAH， 图1 ∴∠ABH＝∠CBN，AH＝CN，BH＝BN，H，A，M三点共线. ∵∠MBN＝45°，∴∠ABM＋∠CBN＝45°， ∴∠ABM＋∠ABH＝∠HBM＝45°. 又∵BM＝BM，∴△BHM≌△BNM(SAS)， ∴MN＝HM＝AH＋AM＝CN＋AM. (2)如图2，若点M在线段AD的延长线上，点N在线段DC的延长线上，试探究MN，AM，CN之间的数量关系❹，并说明理由； 图2 (2)❹通过旋转与半角相邻的一个三角形(△BCN)，构造全等三角形，求得线段关系； 又∵BM＝BM，∴△NBM≌△GBM(SAS)， ∴MN＝MG＝AM－AG＝AM－CN. 图2 解：MN＝AM－CN. 理由如下： 如图2，将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAG， ∴AG＝CN，BG＝BN，∠ABG＝∠CBN. ∵∠MBN＝∠CBN＋∠CBM＝45°， ∴∠ABG＋∠CBM＝45°，∴∠GBM＝45°，即∠MBN＝∠MGB. (3)如图3，BC＝2，射线BM，BN分别交正方形ABCD两个外角∠EAD，∠FCD的平分线于P，Q两点，连接PQ，当△PBQ是等腰三角形时❺，请直接写出PQ的长度. 备用图 图3 (3)❺△PBQ是等腰三角形，分三种情况讨论：BP＝BQ；PB＝PQ；PQ＝BQ. 【解法提示】分三种情况：①如图1，当BP＝BQ时，作∠PBA'＝∠PBA，且使BA'＝BA，连接PA'，QA'，延长BA'交PQ于点K.∵BP＝BP，∴△BAP≌△BA'P(SAS)，∴∠BAP＝∠BA'P＝135°，∴∠PA'K＝45°.∵∠MBN＝45°，∴∠ABP＋∠CBQ＝45°，∠PBA'＋∠A'BQ＝45°.∵∠PBA'＝∠PBA，∴∠CBQ＝∠A'BQ.∵四边形ABCD是正方形， 图1 解：PQ的长度为2或. ∴BA＝BC＝BA'.又∵BQ＝BQ，∴△BA'Q≌△BCQ (SAS)，∴∠BA'Q＝∠BCQ＝135°，∴∠KA'Q＝45°， ∴∠PA'Q＝90°，∴△PA'Q是直角三角形.∵∠PA'K＝ ∠PBA'＋∠BPA'＝45°，∠PBA'＋∠QBA'＝∠MBN＝45°，∴∠BPA'＝∠QBA'，同理∠PBA'＝∠BQA'.∵BP＝BQ，∴△BPA'≌△QBA'(ASA)，∴BA'＝QA'，PA'＝BA'，∴PA'＝QA'＝BA'＝BC＝2，∴ △PA'Q是等腰直角三角形，∴PQ＝PA'＝2；②如 图2，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴∠BPQ ＝90°，过P作PG⊥BE于点G，过Q作QK⊥BF于点K， GP与KQ的延长线交于点H，则四边形BGHK是矩形， ∴GH＝BK，BG＝KH，由一线三垂直全等模型可知， △BGP≌△PHQ(AAS)，∴BG＝PH，PG＝QH， 图1 图2 设AG＝x，CK＝y，则PG＝QH＝x，QK＝y，KH＝x＋y，PH＝BG＝x＋2，BK＝y＋2，∴GH＝PG＋PH＝2x＋2， ∴，解得，∴PH＝3，QH＝1. 在Rt△PHQ中，由勾股定理得PQ＝＝ ＝；③如图3，当PQ＝BQ时，同②得 PQ＝.综上所述，当△PBQ是等腰三角形时， PQ的长度为2或. 图2 图3 1.综合与探究：已知∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. (1)如图1，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，请探究线段OM，ON与PA的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：OM＋ON＝2PA.理由如下： 如图1，过点P作PC⊥OB于点C.易知四边形OAPC是矩形. 图1 ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC，∴四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC， 又∵∠MAP＝∠NCP＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN， ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP. (2)如图2，点M在射线OA上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，请再次探究线段OM，ON与PA的数量关系，并说明理由； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：OM＋ON＝2PA.理由如下： 如图2，过点P作PD⊥OB于点D，易知四边形OAPD是矩形. ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PD⊥OB， ∴PA＝PD，∴四边形OAPD是正方形， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴OA＝AP＝PD＝OD，∠APD＝90°. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠DPN. 又∵∠MAP＝∠NDP＝90°，AP＝DP， ∴△APM≌△DPN(ASA)，∴AM＝DN， ∴OM＋ON＝OA＋AM＋OD－DN＝OA＋OD＝2PA. (3)点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值. 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：①当M在线段AO上时，如图3，延长PA交射线 NM于点G. 由(2)知OM＋ON＝2AP， 设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x， ∴AM＝AO－OM＝x＝OM. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG(ASA)，∴AG＝ON＝3x. ∵AP∥OB，∴△ONF∽△PGF， ∴＝＝＝，∴＝； ②当M在AO的延长线上时，如图4，过点P作PC⊥OB于点C，延长PC交MN于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC， 又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN， ∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO. 图4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设OM＝y，则ON＝3OM＝3y，∴AO＝y，CN＝AM＝2y. ∵PC∥AO，∴△CGN∽△OMN， ∴＝，即＝，∴CG＝. ∵PC∥AO，∴△OMF∽△PGF， ∴＝＝＝，∴＝； 综上所述，的值为或. 图4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.如图1，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接BE，CE，CE＝BC，∠ECD的平分线与BE的延长线相交于点F，过点C作CM⊥BF于点M. (1)【问题发现】 判断△MCF的形状，并说明理由； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴∠MCF＝∠ECM＋∠ECF＝(∠BCE＋∠ECD)＝45°， ∴△CMF为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：△MCF为等腰直角三角形，理由如下： ∵CB＝CE，CM⊥BE， ∴∠BCM＝∠ECM. ∵∠DCF＝∠ECF， 图1 (2)【问题探究】 过点F作FG⊥FC交BA的延长线于点G，根据题意在如图2中补全图形，探究线段BG与线段BC的数量关系，并说明理由； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴BF＝BH，∠BHC＝∠BFG＝45°， ∴∠BFG＝∠H＝45°. ∵∠GBF＋∠FBC＝∠HBC＋∠FBC＝90°， ∴∠GBF＝∠CBH，∴△BFG≌△BHC(ASA)， ∴BG＝BC. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：补全图形如图1，BG＝BC，理由如下： 过点B作BH⊥BF交FC延长线于点H， 由(1)知：在Rt△CMF中∠MCF＝45°， 得∠MFC＝45°，∴△FBH为等腰直角三角形， (3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，AD＝5，连接GE，当△GEF是等腰直角三角形时，直接写出AB的值. 图2 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解法提示】①如图2，当∠EGF＝90°，过点G作GN⊥BF于点N.∵∠ABE＝∠BCM，BG＝BC.∵∠BMC＝∠BNG＝90°，∴△BGN≌△CBM(AAS)，∴BM＝GN.∵△GEF是等腰直角三角形，∴GN＝EN＝FN.∵BM＝EM，∴FN＝EN＝EM＝BM＝GN，设GN＝x， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：AB的值为3或4. 则BN＝3x，BE＝2x，∴BG＝＝x， ∴BC＝AD＝x.∵∠BNG＝∠BAE＝90°，∠ABE ＝∠GBN，∴△ABE∽△NBG，∴＝，∴AB＝ x，∴＝＝.∵AD＝5，∴AB＝3； ②如图3，当∠GEF＝90°时，则∠2＋∠3＝90°.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°＝∠1＋∠2，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴tan∠1＝tan∠3，∴＝，设BC＝BG＝a，AB＝b，AE＝x，则AG＝a－b， ∴＝，∴x2＝ab－b2①.∵AD∥BC，∴∠2＝∠4，∴cos∠2＝ 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 cos∠4，即＝，∴＝，∴x2＝2ax－ b2②，由①②，得2ax－b2＝ab－b2，解得x＝b，将x＝ b代入①，得b2＝ab－b2，整理，得＝，即＝，∴ AB＝4；综上，AB的值为3或4. 动点问题(含最值) (2025.23，2024.23) 　 (2025新疆23题13分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°❶，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点❷，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点. (1)当点D和点N分别是AC和BC 的中点❸时，求a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ❶可得到AB＝AC；∠B＝∠C；BC＝AC； ❷可得到AM＝BM. (1)❸可得到AD＝CD；BN＝CN； 解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC＝2. 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得AD＝AC＝，BN＝BC＝2， 故a＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当a＝时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似❹，求BN的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)❹相似的两个三角形点的对应关系不确定，∠B＝∠C，需分类讨论：△CDN∽△BMN；△CND∽△BMN； 即＝，此方程无解，不符合题意；②当△CND∽△BMN时，则＝，∴＝，解得x＝3＋(不符合题意，舍去)或x＝3－，∴BN＝3－，综上可得BN＝3－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：∵a＝，AD＝aBN，∴AD＝BN，设BN＝x，则AD＝x，CN＝BC－BN＝4－x.∵在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，∴AB＝AC＝2，CD＝AC－AD＝2－x.∵M是AB的中点，∴AM＝BM＝，∴∠B＝∠C＝45°，当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：①当△CDN∽△BMN时，则＝， (3)当a＝时，求MN＋ND的最小值❺. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)❺可得到AD＝BN，尝试在△ABC内部构造以AD为斜边的直角三角形AED⇨构造平行四边形EDNB⇨MN＋ND的最小值转化为BE＋MN的最小值，结合BN＝AE⇨转化为“逆等线模型”：旋转AB构造△AEB≌△BNF⇨BE＋MN的最小值转化为MN＋NF的最小值即可求解. 解：方法一(几何法)：∵a＝，AD＝aBN， ∴AD＝BN. 如图，以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE， 则∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝DE＝AE， ∴AE＝DE＝BN. ∵∠ADE＝∠C＝45°，∴DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN， 将AB绕点B旋转90度得到FB，连接NF，MF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE. 又∵AB＝BF，AE＝BN，∴△AEB≌△BNF(SAS)， ∴BE＝NF，∴DN＝NF，∴MN＋ND＝MN＋NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN＋ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，BM＝AB＝，BF＝2， 故MF＝＝， ∴MN＋ND的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：方法二(代数法)：如图，作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F. ∵BM＝， ∴BE＝ME＝1，设BN＝x， 则AD＝BN＝x，CD＝AC－AD＝2－x. ∵∠C＝45°， ∴DF＝CF＝CD＝2－x， ∴EN＝｜x－1｜，NF＝BC－BN－CF＝4－x－2＋x＝2， 由勾股定理可得MN＋ND＝＋＝ ＋， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 上式结果可看成点(x，0)到点(1，1)和点(2，2)的距离之和， 欲求和最小，根据“将军饮马”原理， 作点(1，1)关于x轴的对称点(1，－1)， 则MN＋ND的最小值为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.【问题发现】 (1)如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE，求的值； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∠CAB＝∠CDE＝45°， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED， ∴AC＝BC，CD＝CE. ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD，∴＝1. 【类比探究】 (2)如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE，求的值； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴＝＝，∴＝，∴＝， 又∵∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°， ∴tan∠ABC＝tan 30°＝＝，tan∠CED＝tan 30°＝＝， 图2 【拓展延伸】 (3)如图3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM，CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？ 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：若点D在线段AB上，如图1，由(2)知△ACD∽△BCE，＝， ∴∠CBE＝∠A＝60°，BE＝AD. ∵∠A＋∠CBA＝180°－∠ACB＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 ∴∠CBE＋∠CBA＝90°，∴∠ABE＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2. ∵∠ECD＝∠ABE＝90°，M是DE中点，∴CM＝BM＝DE. ∵△CBM是直角三角形，∴CM2＋BM2＝BC2＝(2)2， ∴BM＝CM＝(负值已舍去)，∴DE＝2， ∵△DBE是直角三角形，∴DB2＋BE2＝DE2， 即(4－AD)2＋(AD)2＝24， 解得AD＝＋1(负值已舍去)， ∴BE＝AD＝3＋. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若点D在线段BA的延长线上，如图2， 同理可得DE＝2，BE＝AD. ∵BD2＋BE2＝DE2，∴(4＋AD)2＋(AD)2＝24， ∴AD＝－1(负值已舍去)，∴BE＝AD＝3－， 综上所述，BE的长为3＋或3－. 图2 4.(2025贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合). 【问题解决】 (1)如图1，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝　　　度，线段BP与线段AC的位置关系是　 　　； 图1 30 BP⊥AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【问题探究】 (2)如图2，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ. ∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°， ∴∠AEB＝∠BQC＝150°， ∴∠BEC＝360°－150°－30°－60°＝120°， ∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∴∠EQC＝150°－60°＝90°， ∴∠ECQ＝90°－60°＝30°.∴CE＝2EQ＝2BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解： CE＝2BE， 理由：如图，把△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，连接EQ， ∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC.∴△BEQ为等边三角形， 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长. 图2 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设FG＝x，则EF＝BE＝2x，∴EG＝3x， ∴＝，∴AH＝. ∵AD∥BC，∴△APH∽△CPB，∴＝，∴＝＝. ∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5，AP＝5×＝2， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如图1，当P在线段OA上，记射线BP与AD交于点H. ∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH. ∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG， ∴△HAB∽△BEG，∴＝， 如图2，当点P在线段OC上时，延长AD交射线BP于点H，同理可得∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°， ∴△BAH∽△GEB， 设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝EG＝m， ∴＝＝＝，∴AH＝10， 同理可得△APH∽△CPB，＝＝2， AP＝5×＝，综上：AP的长为2或. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.动点P从点B出发，沿折线BC－CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动.作点A关于点P的对称点D，连接AD与BD.设点P的运动时间为t秒(t＞0). (1)当点P和点C重合时，求线段BD的长； 解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝＝5. 当点P和点C重合时. ∵BC⊥AC，点A关于点P的对称点D，∴AC＝CD，∴BC垂直平分AD， ∴BD＝AB＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当点P在边CA上运动时，若△BPD为等腰三角形，求t的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当DP＝BD时，如图2，由题意得PC＝t－3， AP＝AC－PC＝7－t，∴PD＝AP＝7－t， ∴CD＝PD－PC＝10－2t.∵DP＝BD，∴PD2＝BD2. ∵BD2＝BC2＋CD2，∴(7－t)2＝32＋(10－2t)2， 此方程无解，∴DP＝BD该情况不存在； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：①当BP＝BD时，如图1.∵BC⊥AC， ∴PC＝CD.由题意得PC＝t－3， ∴AP＝AC－PC＝7－t，PD＝2PC＝2t－6. ∵AP＝PD，∴7－t＝2t－6，∴t＝. 图1 ③当DP＝BP时，如图3， 由题意得PC＝t－3，AP＝AC－PC＝7－t， ∴BP＝DP＝AP＝7－t. ∵PB2＝PC2＋BC2，∴(7－t)2＝(t－3)2＋32，∴t＝. 综上，当△BPD为等腰三角形时，t的值为或. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)当点P在边BC上运动时，求△ABD周长的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如解图，延长AC至点D'，使CD'＝AC，取AB的中点M，连接MD'，交BC于点P，则此时△ABD周长最小. ∵BC垂直平分AD'，∴PA＝PD'.∵PA＝PD，∴PD＝PD'. ∵PA＝PD，AM＝MB，∴PM为△BAD的中位线，∴PM＝BD. 解图 ∴△ABD周长的最小值＝AD＋AB＋BD＝2(PA＋PM＋AM)＝2(PD'＋PM＋)＝2MD'＋5. 过点M作MN⊥AD'于点N. ∵BC⊥AC，∴MN∥BC. ∵AM＝BM，∴AN＝NC＝AC＝2，MN＝BC＝. ∴ND'＝NC＋CD'＝6， ∴MD'＝＝， ∴△ABD周长的最小值＝3＋5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处. 【初步感知】(1)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在Rt△EPF与Rt△ECF中.EP＝EC，EF＝EF， ∴Rt△EPF≌Rt△ECF(HL)， ∴FP＝FC. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明：如图1，连接EF， 由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE. ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°. ∵E为BC的中点，∴BE＝EC，∴PE＝EC， 【深入探究】(2)如图2，点M在线段CD上，CM＝4.点E在移动过程中，求PM的最小值； 图2 解：∵AP＝AB＝10，点E在移动过程中，AP＝10不变. ∴点P在以点A为圆心，10为半径的☉A的弧上， 如解图，连接AM， 当点P在线段AM上时，PM有最小值. ∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4， ∴DM＝6，∴AM＝＝＝5， ∴PM的最小值为AM－AP＝5－10. 解图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【拓展运用】(3)如图2，点N在线段AD上，AN＝4.点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是直角三角形时，求BE的长. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如图1，当∠NPD＝90°时，过点P作PH⊥AD于H，延长HP交BC于点G，连接PD，NP. ∵∠NPD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2. ∵∠PHN＝∠DHP，∴△PHN∽△DHP，∴＝，∴HP2＝HN·HD. ∵AN＝4，AD＝17，∴DN＝13， 设HN＝x，HD＝13－x，∴AH＝x＋4，HP2＝x(13－x). ∵AB＝10，∴AP＝AB＝10. ∵HP2＝AP2－AH2，∴HP2＝102－(x＋4)2， ∴x(13－x)＝102－(x＋4)2，解得x＝4， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4， ∴BG＝AH＝8，设BE＝m，则PE＝m，GE＝8－m， 在Rt△PGE中，PE2＝GE2＋PG2， ∴m2＝(8－m)2＋42，解得m＝5，即BE的长为5. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②如图2，当∠PND＝90°时，连接NP并延长，交BC于点H，连接PD，易得NH⊥BC于点H.∵AN＝4，AP＝AB＝10， ∴NP＝＝2，∴PH＝10－2， 易证△EPH∽△PAN，∴＝，即＝， 解得EP＝25－5，∴BE＝25－5. 综上所述，BE的长为5或25－5. 图2 与图形的变换有关 (2022.23涉及) 　 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，P为射线CA上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α❶，得到线段PD，连接DB，DC. (1)如图1，点P在线段CA上，当 α＝60°❷时，请探究PA与DC 之间的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 ❶△ABC，△PBD是等腰三角形，顶角∠BAC＝∠BPD，点P的位置不确定. (1)❷点P在线段CA上，位置确定，由α＝60°可知△ABC，△PBD是等边三角形，考虑寻找或构造全等三角形来证明线段数量关系； ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， 同理可得∠PBD＝60°，BD＝PB， ∴∠PBD＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC，∠PBD＝∠CBD＋∠PBC， ∴∠CBD＝∠ABP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：PA＝DC.理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 图1 在△CBD和△ABP中，， ∴△CBD≌△ABP(SAS)，∴PA＝DC. (2)如图2，点P在线段CA的延长线上，当α＝120°❸时，请再次探究PA与DC之间的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图2 (2)❸点P在线段CA的延长线上，位置确定，由α＝120°可知△ABC，△PBD是顶角为120°的等腰三角形，考虑寻找或构造相似三角形来证明线段数量关系； 即∠CBD＝∠ABP. ∵＝＝，∴△CBD∽△ABP， ∴＝＝，∴DC＝PA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：DC＝PA.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 同理可得∠PBD＝30°， ∴∠ABC＝∠PBD， ∴∠ABC＋∠ABD＝∠PBD＋∠ABD， 图2 (3)如图3，当α＝90°❹时，若AB＝4，BP＝2，请直接写出线段AD 的长. 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图3 (3)❹a.点P的位置不确定，需分类讨论：点P在线段CA上；点P在线段CA的延长线上； b.由α＝90°可知△ABC，△PBD是等腰直角三角形，考虑寻找或构造相似三角形来求解. 【解法提示】①如图1，当点P在线段AC上时，作AM⊥DC交DC的延长线于点M，∵BP＝2，AB＝4，∴AP＝＝＝2.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，＝.易知△CBD∽△ABP，∴∠BCD＝∠BAP＝90°，＝＝，∴CD＝AP＝2.∵∠ACD＝135°，∴∠ACM＝45°.∵AM⊥CM，AC＝4， ∴AM＝CM＝AC＝2，∴DM＝CM＋CD＝4， ∴AD＝＝＝2； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：AD的长为2或2. ②如图2，当点P在线段CA的延长线上时，作DN⊥PC于点N，同理可得CD＝2，易得∠PCD＝45°，∴DN＝CN＝CD＝2，∴AN＝AC－NC＝4－2＝2，∴AD＝＝＝2.综上所述，AD的长为2或2. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2025山西)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平. 猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BE＝BD＝B'D＝B'E， ∴四边形BDB'E是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：四边形BDB'E是菱形， 理由如下：由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE， ∵B'D∥BC， ∴∠B'DE＝∠BED， 图1 拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F. ①若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴B'D＝A'B'＝B'E，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴DE⊥A'E； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：DE⊥A'E，理由如下： 如图2，由(1)知四边形BDB'E是菱形， ∴BD＝B'E＝B'D.由折叠的性质得到AD＝A'D， ∵AD＝2BD， ∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E， ②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：5或.【解法提示】∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝12.当△A'FG是以A'F为腰、A'G为底的等腰三角形时，如图1，延长A'F交AB于点H，设AC，A'D的交点为M，可知FG＝A'F，∠C＝90°，A'D∥BC，∴∠AMD＝∠C＝90°，∴∠AMA'＝90°.由折叠的性质得∠A＝∠DA'F.∵∠AFH＝∠A'FG，∴∠AHF＝∠AMA'＝90°.∵∠A＝∠A，∴△AFH∽△ABC， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴＝＝，∴HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝ 3∶4∶5.∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝ ∠A'MF，∴△AHF≌△A'MF(AAS)，∴HF＝FM， AH＝A'M.设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，∴AM＝AF＋FM＝8x，∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，∴＝，即＝，∴AD＝10x，∴BE＝BD＝AB－AD＝15－10x，∴CE＝BC－BE＝10x－6.∵FG＝A'F＝5x，∴MG＝FG－FM＝2x，∴CG＝AC－AM－MG＝ 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12－8x－2x＝12－10x.∵A'D∥BC，∴△A'MG∽ △ECG，∴，∴，解得x＝1，∴A'F＝5x＝5； 当△A'FG是以A'F为腰、FG为底的等腰三角形时，如图2，则A'F＝A'G，同理，得HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝3∶4∶5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F，设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y，∴AM＝AF＋FM＝8y.∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，∴＝，即＝，∴AD＝10y，∴BE＝BD＝AB－AD＝ 15－10y，∴CE＝BC－BE＝10y－6.∵△A'FG是以 A'F为腰、FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴GM＝FM＝3y，∴FG＝GM＋FM＝6y，∴CG＝AC－AF－FG＝12－11y.∵A'D∥BC，∴△A'MG∽△ECG，∴＝，∴＝，解得y＝，∴A'F＝5y＝.综上，A'F的长为5或. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2025吉林省卷改编)(1)如图1，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G，请判断四边形DEGF的形状，并说明理由； 图1 解：四边形DEGF是菱形，理由如下： ∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF， ∴DE＝GE，DF＝GF.∵DF＝DE， ∴GE＝DE＝DF＝GF，∴四边形DEGF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)取图1中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图2，请判断四边形GFHN的形状，并说明理由； 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，∴DE＝AD，BM＝BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BM，DE∥BM. ∵四边形DEGF是菱形，∴DE＝FG，FG∥AD， ∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，∴四边形GFHN是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：四边形GFHN是平行四边形，理由如下： ∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM. ∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM， ∴四边形BMHN是菱形，∴NH∥BC. (3)在图2中，四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解法提示】由(2)知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时，如图1，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，易得四边形ETKG是矩形.∵∠A＝60°，∴∠AET＝30°，∴AT＝ AE.设AT＝x，则AE＝2x，∴ET＝ ＝x＝GK.∵E为AD中点，∴AD＝2AE＝4x， DE＝AE＝2x.∵四边形DEGF是菱形， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：四边形GFHN能成为轴对称图形，的值为或. ∴EG＝DE＝2x＝TK.∵四边形GFHN是矩形，∴∠GNH＝90°，∴∠GNK＝180°－∠GNH－∠HNB＝180°－90°－60°＝30°，∴KN＝GK＝×x＝3x.∵BN＝BM＝BC＝AD＝2x，∴AB＝AT＋TK＋KN＋BN＝x＋2x＋3x＋2x＝8x，∴＝＝； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当四边形GFHN是菱形时，如图2，延长FG交AB 于W，设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM ＝HM＝NH＝y，∵四边形GFHN是菱形，∴GF ＝FH＝NH＝GN＝y.∵EG∥CD∥AB，GF∥AD， ∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴AW＝EG＝y，GW＝AE＝y，∴GW＝GN，∴△GWN是等边三角形，∴WN＝GW＝y，∴AB＝AW＋WN＋BN＝y＋y＋y＝y，∴＝＝.综上所述，当四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或. 【初步研究】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，请探究AM与BN的数量关系，并说明理由； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 与图形形状变化有关 9.综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答. 解：AM＝BN.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠BAM＋∠AMB＝90°. ∵AM⊥BN， ∴∠AMB＋∠CBN＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴△ABM≌△BCN(ASA)， ∴AM＝BN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 【知识迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，请探究GH与EF的数量关系，并说明理由； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：GH＝EF.理由如下：如图1，过点E作EM⊥DC于点M，过点G作GN⊥BC于点N，记GN，EF的交点为K， ∵四边形ABCD是矩形，EM∥AD∥BC， GN∥AB∥DC， ∴EM⊥GN，EM＝AD＝BC，GN＝AB＝DC. 又∵EF⊥HG，∠GKF＝∠EKN，∴∠HGN＝∠MEF， ∴Rt△GNH∽Rt△EMF，∴＝＝＝， 即GH＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图1 【深入探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当＝时，请直接写出边AB的长. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：AB的长为12－6或12＋6.【解法提示】当CB＜AB时，如图2，过B作AD的平行线交DC的延长线于S，过A作AR⊥SB交SB延长线于R，∴∠S＝∠ADC＝90°＝∠R，∴四边形ARSD为矩形，∴AR＝SD.∵CB＝CD＝6，AC＝AC，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴AB＝AD，∴AC⊥BD，同(2)可得△DBS∽△ACD，∴＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴BS＝3，cos∠CBS＝＝，∴CS＝＝3，∠CBS＝60°，∴AR＝DS＝6＋3.∵∠CBS＋∠ABR＝90° ＝∠ABR＋∠BAR，∴∠BAR＝∠CBS＝60°， ∴AB＝＝2×(6＋3)＝12＋6. 图2 当CB＞AB时，如图3，过D作BC的平行线交BA的延长线于T，过C作CH⊥TD交TD的延长线于点H，同理可得AB＝AD，四边形TBCH为矩形，∠ADT＝60°＝∠DCH，∴CH＝CD＝3＝BT，设AB＝AD＝x，则AT＝x，∴x＋x＝3，解得x＝12－6，∴AB＝12－6.综上所述，AB的长为12－6或12＋6. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2025河南)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G. (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　　 　； OD＝CG＋OE 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形(无需尺规作图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在Rt△QOC和Rt△DOC 中，∵OC＝OC，CQ＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC(HL)，∴OQ＝OD. ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CQ⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG，∴OD＝OQ＝QE－OE＝CG－OE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：不成立，OD＝CG－OE， 证明：如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD. (3)拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若＝3，请直接写出的值. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图2 解：的值为或.【解法提示】①如图1，当0°＜∠AOB＜90°时，∵CG⊥DE，DE⊥OA，∴CG∥OE，∴△OEF∽△CGF，∴＝＝3，∴CG＝3OE，由(1)得OD＝CG＋OE，∴OD＝CG＋OE＝3OE＋OE＝4OE，∴DE＝＝＝OE.∵∠DCG＋∠CDG＝90°，∠ODE＋∠CDG＝90°，∴∠DCG＝∠ODE，又∵∠CGD＝∠DEO＝90°，∴△CDG∽△DOE，∴＝＝＝； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②如图2，当90°＜∠AOB＜180°时，∵CG⊥GF，GF⊥OE，∴CG∥OE，∴△OEF∽△CGF，∴＝＝3，∴CG＝3OE，由(2)得OD＝CG－OE，∴OD＝CG－OE＝3OE－OE＝2OE，∴DE＝＝＝OE，∵∠DCG＋∠CDG＝90°， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∠ODE＋∠CDG＝90°，∴∠DCG＝∠ODE， 又∵∠CGD＝∠DEO＝90°，∴△CDG∽△DOE， ＝＝＝.综上所述，的值为或. 代数几何综合 (2022.23) 11.(2022新疆23题)如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点(点D不与点O，C重合)，将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE. 备用图 (1)当AE⊥BC时，∠AEB＝　　　°； 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明； 备用图 解：∠AEB＝30°＋∠CAD.证明如下： ∵将△ACD沿AD折叠得到△AED， ∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAD. ∵∠ABC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝AE＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠BAE＝120°－2∠CAD， ∴∠AEB＝＝30°＋∠CAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式. 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在Rt△AOD中，AD2＝OD2＋AO2＝(2－x)2＋4＝x2－4x＋16， ∴y关于x的函数解析式为y＝x2－4x＋16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如图，连接OA， ∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴OA⊥BC. ∵∠ABC＝∠ACB＝30°，AC＝4， ∴AO＝2，OC＝2. ∵S△ACD＝DC·AO＝x，∴DC＝x. 12.(2025绥化改编)如图，在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG.(提示：依题意补全图形，并解答) 备用图 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)请判断BD与DG的位置关系，并利用图说明你的理由； 解：BD⊥DG，理由如下；在正方形ABCD和正方形AEFG中，可得AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG＝90°－∠DAE，∴△BAE≌△DAG(SAS)，∴∠ABE＝∠ADG.∵∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠ADG＋∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°，∴BD⊥DG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值　 　； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式.(不要求写出自变量x的取值范围) 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴AK＝AD－DK＝8－x，在Rt△AKE中，AE2＝EK2＋AK2＝(x)2＋(8－x)2＝x2－8x＋64， ∴S＝AE2＝x2－8x＋64； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：当点E在线段BD上时，如图2，过点E作EK⊥AD于点K.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝45°，∴△DEK为等腰直角三角形， ∴DK＝EK＝DE·sin45°＝x， 当点E在BD延长线上时，如图3，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L， 同理可得EL＝DL＝x，∴AL＝AD＋DL＝8＋x， 在Rt△ALE中，AE2＝EL2＋AL2＝(x)2＋(8＋x)2＝x2＋8x＋64，∴S＝AE2＝x2＋8x＋64； 综上，S与x的函数解析式为S＝x2－8x＋64或S＝x2＋8x＋64. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合与实践 13.(2025眉山)综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程. 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的 直线折叠，使点D落在B'C边上的点D'处，折痕交CD于 点F.将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F， 连接B'E，B'C，D'F. 【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系. 创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下： 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F＝∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB＝∠BCB'. 由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C＝∠BCB'， ∴①　　 　，∴CE∥B'F. 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②　　 　. 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一： ∠ECB'＝∠FB'C BE＝CF 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论. 方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论. 请补充上述过程中横线上的内容. 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由(1)知∠CB'D＝∠BCB'.又∵∠AB'E＋∠CB'D＝180°－∠EB'C＝90°，∠BCB'＋∠B'CF＝∠BCD＝90°，∴∠AB'E＝∠FCD'. 又∵∠A＝∠CD'F，AB'＝CD'，∴△AB'E≌△D'CF(ASA)， ∴B'E＝CF.∵BE＝B'E，∴BE＝CF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：方法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD. 由折叠的性质可知，∠EB'C＝∠B＝90°， B'D＝B'D'，BC＝B'C＝AD，∠D＝∠B'D'F＝90°，BE＝B'E， ∴AD－B'D＝B'C－B'D'，即AB'＝CD'，∠CD'F＝90°＝∠A， 图1 方法二：如图，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，则B'G∥AB∥CD. ∵CE∥B'F， ∴四边形CFB'G为平行四边形，∴B'G＝CF. ∵AB∥B'G， ∴∠B'GE＝∠BEC. 由折叠的性质可知，∠BEC＝∠B'EC，BE＝B'E， ∴∠B'GE＝∠B'EC，∴B'E＝B'G， ∴BE＝B'E＝B'G＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，连接D'G，当△B'D'G为直角三角形时，求出BE的长. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图1，当∠B'GD'＝90°时， ∴∠GB'D＋∠B'GD'＝180°，∴GD'∥AD∥BC， ∴∠D'GC＝∠ECB. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：∵B'G∥AB，∴∠A＝∠GB'D＝90°， 由(2)可知B'G＝B'E＝BE＝CF，CD'＝AB'，△AB'E≌△D'CF，∴D'F＝AE， 设BE＝x，则B'G＝B'E＝CF＝x，D'F＝AE＝AB－BE＝6－x， ∴CD'＝AB'＝＝， 当△B'D'G为直角三角形时，分情况讨论. 又∵∠GCD'＝∠ECB，∴∠CGD'＝∠GCD'， ∴D'G＝D'C＝. ∵B'G∥AB∥CD，∴∠GB'D'＝∠FCD'， ∴在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中，tan∠GB'D'＝tan∠FCD'， ∴＝，即：＝， ∴x(6－x)＝12x－36， 解得x＝3－3或x＝－3－3(舍去)； ∴BE＝3－3； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图2，当∠GD'B'＝90°时.∵∠B'D'F＝∠D＝90°， ∴∠GD'B'＋∠B'D'F＝180°，∴G，D'，F三点共线， ∴B'C⊥GF.∵四边形B'GCF是平行四边形，B'C⊥GF， ∴四边形B'GCF是菱形，∴∠GCD'＝∠FCD'. ∵∠GCD'＝∠GCB， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴∠GCD'＝∠GCB＝∠FCD'＝30°，∴＝sin30°＝， 设CF＝a，则DF＝D'F＝6－a， 则＝，解得a＝4，∴BE＝CF＝4； 综上所述，BE＝3－3或4. 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $