3 题型三 二次函数综合题-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦新疆中考二次函数综合题（5年2考），覆盖性质综合、几何图形综合、建系、角度、面积等核心子题型，结合2025乌鲁木齐校级一模等真题，分析考点权重，归纳“对称轴分类讨论”“韦达定理应用”等常考解题策略，对接中考说明要求。 课件亮点在于“真题精讲+解题突破+素养培养”模式，如通过二次函数最值问题示范“对称轴位置分类讨论”，培养数学思维中的推理能力，借助几何图形综合题的全等证明与方程思想，强化数学语言表达的模型观念。针对训练题涵盖易错点分析，帮助学生掌握得分技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升中考冲刺效率。

《二轮重难题型培优》 数学 第二部分 新疆重难题型攻关 题型三　二次函数综合题(5年2考) 二次函数性质综合题 (2021.23) 　 (2025乌鲁木齐校级一模)设二次函数y＝x2＋2mx－2m＋3❶(m为常数)的图象为f. 【特例感悟】 (1)当m＝2❷，－3≤x≤0❸时，二次函数y＝x2＋2mx－2m＋3(m为常数)的最小值是　　　，最大值是　　　； －5 －1 ❶抛物线开口向上；化为顶点式可得到对称轴； (1)❷可得到抛物线解析式、对称轴； ❸判断对称轴的位置：a在区间内：对称轴处取得最小值；离对称轴较远的点取得最大值；b在区间外：离对称轴较近的点取得最小值，离对称轴较远的点取得最大值； 【类比探索】 (2)当直线y＝－m(m＜0)与图象f在第一象限内交于A，B两点(点A在点B的左边)，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b❹，7a＝b，求在a≤x≤b范围内二次函数y＝x2＋2mx－2m＋3(m为常数)的最大值与最小值的差❺； (2)❹可联想到a，b是一元二次方程－m＝x2＋2mx－2m＋3的两个解； ❺同❸，利用对称轴，确定最值位置； ∴a＝1，b＝7，图象f的对称轴为直线x＝4， ∵1≤x≤7， ∴当x＝1或x＝7时，y最大，y最大＝x2－8x＋11＝72－56＋11＝4，当x＝4时，y最小＝－5. ∴最大值与最小值的差为4－(－5)＝9. 解：依题意得－m＝x2＋2mx－2m＋3，整理得x2＋2mx－m＋3＝0， 故a，b是其两实数根，∴a＋b＝－2m，ab＝3－m， 又∵b＝7a，∴，整理，得7m2＋16m－48＝0， 解得m＝－4或m＝(不符合题意，舍去)； 【纵深拓展】 (3)①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点 坐标； 解：∵y＝x2＋2mx－2m＋3＝x2＋2m(x－1)＋3， ∴当x＝1时，无论m为何实数，都有y＝4， 即定点坐标为(1，4)； ②当0≤x≤2时，二次函数y＝x2＋2mx－2m＋3(m为常数)的最大值为9❻，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离. (3)❻分类讨论对称轴位置：在区间左侧、在区间内、在区间右侧；由离对称轴较远的点取得最大值，代入数值判断解得的m是否符合要求. 解：当0≤x≤2时，图象f的对称轴与x轴的交点横坐标不能大于0小于2.理由如下：∵y＝x2＋2mx－2m＋3＝(x＋m)2－(m2＋2m－3)， ∴图象f的对称轴为直线x＝－m， 当0≤－m≤2时，抛物线开口向上，在0≤x≤－m时，y随x的增大而减小，函数在－m≤x≤2时y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最大值，y最大＝0＋2m×0－2m＋3＝9， 解得m＝－3，抛物线对称轴为直线x＝3， 当x＝2时，y有最大值，y最大＝4＋2m×2－2m＋3＝9， 解得m＝1，抛物线对称轴为直线x＝－1， y最大＝4＋2m×2－2m＋3＝9，解得m＝1， 抛物线对称轴为直线x＝－1符合题意， 当对称轴为直线x＝－m＞2时，函数在0≤x≤2时y随x的增大而减小，当x＝0时，y有最大值，y最大＝0＋2m×0－2m＋3＝9， 解得m＝－3，抛物线对称轴为直线x＝3符合题意， ∴定点(1，4)到直线x＝3和直线x＝－1的距离是2. ∴图象f的对称轴与x轴的交点横坐标不在大于0小于2的范围内. 由于抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－m＜0时， 函数在0≤x≤2时y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y有最大值， 1.(2025乌鲁木齐4月测评)抛物线y＝ax2＋bx－1，经过A(－1，5)，B(2，－1)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：将A(－1，5)，B(2，－1)代入y＝ax2＋bx－1， 得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－1. (2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若对于2＜x1＜3，m＜x2＜m＋1，都有y1＞y2，写出m的取值范围； 解：由抛物线解析式可知对称轴为直线x＝1. ∵2＜x1＜3， ∴x1关于对称轴对称点x1'范围为－1＜x1'＜0， 要满足在对于2＜x1＜3，m＜x2＜m＋1，都有y1＞y2， 则， ∴0≤m≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为3，将抛物线在A，B之间的部分(包含点A，B)记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移t(t＞0)个单位长度后与直线CD只有一个公共点，求t的取值范围. 解：∵点D横坐标为3，∴yD＝2×9－4×3－1＝5，∴D(3，5)， 令x＝0，得y＝－1，∴C(0，－1)， 设直线CD的解析式为y＝kx＋n，将C(0，－1)，D(3，5)代入，得，解得， ∴直线CD的解析式为y＝2x－1， 由题可知图象G的解析式为y＝2x2－4x－1＋t(－1≤x≤2，t＞0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ①如图1，当直线CD和图象G相切时， 令2x2－4x－1＋t＝2x－1，整理得2x2－6x＋t＝0， 此时Δ＝36－8t＝0，解得t＝； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②如图2，当图象G与CD只有一个交点时， 设点B平移后的对应点为B'，则B'(2，－1＋t)， 当B'落在CD上之前，此时图象G与直线CD只有一个交点，将B'(2，－1＋t)代入y＝2x－1得，－1＋t＝3， 解得t＝4，∴0＜t＜4； 综上，0＜t＜4或t＝. 图2 2.【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1，y1)，若图形F上存在一点N(x2，y2)，且满足当x1＝x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”. 【初步理解】(1)如图1，图形F为线段AB，点A(－1，2)，B(3，2). ①试判断点M(1.5，0)　 (填“是”或“不是”)线段AB的“垂近点”； 是 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②请在图中画出点M所有可能的位置.(用阴影部分表示) 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：M所有可能的位置，如解图所示. 解图 解：将y＝ax2＋2ax＋a－化成顶点式， y＝a(x＋1)2－， 当a＜0时，b＝－＋2＝， 当a＞0时，b＝－－2＝－， ∴b＝或b＝－. 【知识应用】(2)若图形F为直线y＝b，二次函数y＝ax2＋2ax＋a－图象上仅有一个“垂近点”，求b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图1 (3)如图2，若图形F为抛物线y＝x2－4，正方形ABCD的边长为2，中心(对角线的交点)为P(a，0)，如果正方形ABCD上存在“垂近点”，求出a的取值范围. 解：∵点P(a，0)是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴A(a－1，－1)，B(a＋1，－1)，C(a＋1，1)，D(a－1，1)， 设正方形上点M是抛物线y＝x2－4的“垂近点”，抛物线上存在点N(xN，yN)，使得当xM＝xN时，MN≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图2 当点P在y轴右侧时，a>0， 如图1，当点M与点D重合时，N(a－1，(a－1)2－4)， ∴MN＝(a－1)2－4－1＝2， 解得a＝1＋2或a＝1－2(舍)； 如图2，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2－4)， ∴MN＝－1－(a＋1)2＋4＝2， 解得a＝1或a＝－3(舍)； 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当点P在y轴左侧时，a＜0， 如图3，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2－4)， ∴MN＝(a＋1)2－4－1＝2， 解得a＝－1－2或a＝－1＋2(舍)； 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如解图4，当点M与点A重合时，N(a－1， (a－1)2－4)，∴MN＝－1－(a－1)2＋4＝2， 解得a＝－1或a＝3(舍)， ∴当1≤a≤1＋2或－1－2≤a≤－1时， 正方形ABCD上存在抛物线y＝x2－4的“垂近点”. 图4 3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(4，0)，B(－2，6)两点.点P(x0，y0)是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，且c ＝－4. (1)求抛物线的解析式； 解：∵c＝－4，∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－4， ∵抛物线过A(4，0)，B(－2，6)两点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4； (2)求线段PQ长度的最大值； 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将点A，B代入， 得，解得，∴y＝－x＋4， ∵点P(x0，y0)是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q， ∴P(x0，－x0＋4)，Q(x0，－3x0－4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴PQ＝－x0＋4－(－3x0－4)＝－(x0－1)2＋9， 由题意得－2≤x0≤4，且－1＜0， ∴当x0＝1时，线段PQ取得最大值为9； (3)若t≤x0≤t＋1，求x0取何值时线段PQ的长度最大(可用含t的代数式表示x0). 解：∵PQ＝－(x0－1)2＋9，－2≤x0≤4， ∴当t≥－2，t＋1≤1时， 即－2≤t≤0时，PQ的最大长度在x0＝t＋1处取得； 当t＜1，t＋1＞1时，即0＜t＜1时，PQ的最大长度在x0＝1处取得； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当t≥1，t＋1≤4时， 即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x0＝t处取得； 综上，x0＝t＋1或x0＝1或x0＝t. 4.(2025凉山州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点. (1)求抛物线的解析式； 解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过 A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：设直线AC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0). ∵A(－3，0)，C(0，－3)， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为y＝－x－3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图1，过点P作PE∥y轴交AC于点E，连接AP，CP， 设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，则E(p，－p－3)， ∴PE＝－p－3－(p2＋2p－3)＝－p2－3p＝－(p＋)2＋； 图1 ∵S△ACP＝S△APE＋S△CPE，∴S△ACP＝PE·(xE－xA)＋PE·(xC－xE)＝PE·(xC－xA)＝PE·[0－(－3)]＝PE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴当PE有最大值时，S△ACP有最大值. ∵PE＝－(p＋)2＋，－1＜0，－3＜p＜0， ∴当p＋＝0，即p＝－时，PE有最大值，最大值为， ∴S△ACP的最大值为×＝.∵A(－3，0)，C(0，－3)， ∴OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝3. 图1 设点P到直线AC的距离为h， ∴S△ACP＝AC·h＝h，∴h＝S△ACP. ∵当S△ACP有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为×＝， ∴点P到直线AC的最大距离为； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：存在点Q使AQ＝QD，点Q的坐标为(－1，－1)或(－1，2). 【解法提示】如图2，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于点H，过点D作DG⊥QH交直线QH于点G.∵抛物线解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴抛物线对称轴为直线x＝－1，∴H(－1，0)，∴OH＝1.∵A(－3，0)，∴AH＝－1－(－3)＝2.设点Q的坐标为(－1，q)， 则QH＝－q.由旋转的性质可得∠AQD＝90°. 又∵∠AHQ＝∠QGD＝90°，∴∠HAQ＋∠HQA ＝∠HQA＋∠GQD＝90°，∴∠HAQ＝∠GQD. 又∵AQ＝QD，∴△HAQ≌△GQD(AAS)， ∴DG＝QH＝－q，QG＝AH＝2， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴HG＝QH＋QG＝2－q，∴点D的横坐标为－1－(－q)＝－1＋q，纵坐标为－(2－q)＝q－2，∴D(－1＋q，q－2).∵点D在抛物线上，∴(－1＋q)2＋2(－1＋q)－3＝q－2，∴q2－2q＋1－2＋2q－3＝q－2，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或q＝2(舍去)，∴此时点Q的坐标为(－1，－1)； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图3，当点Q在x轴上方时，过点Q作RS∥x轴，分别过点A，点D作直线RS的垂线，垂足分别为R，S，设点Q的坐标为(－1，q)，∴∠R＝∠S＝90°.由旋转的性质可得∠AQD＝90°，∴∠RAQ＋∠RQA＝∠RQA＋∠SQD＝90°，∴∠RAQ＝∠SQD.又∵AQ＝QD，∴△RAQ≌△SQD(AAS)，∴QS＝AR＝q，DS＝QR＝－1－(－3)＝2， 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴点D的横坐标为－1＋q，纵坐标为q－2，∴D(－1＋q，q－2).∵点D在抛物线上，∴(－1＋q)2＋2(－1＋q)－3＝q－2，∴q2－2q＋1－2＋2q－3＝q－2，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴此时点Q的坐标为(－1，2).综上所述，存在点Q使AQ＝QD，此时点Q的坐标为(－1，－1)或(－1，2). 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二次函数与几何图形综合题 (2023.23) 5.【建系问题】(2025阿拉尔二模)综合与实践： 【问题提出】如图1，在△ABC中，∠A＝90°，D为AB的中点，点P沿折线D－A－C运动(运动到点C停止)，以DP为边在DP上方作正方形DPEF.设点P运动的路程为x，正方形DPEF的面积为y. 【初步感悟】(1)当点P在AD上运动时， ①若x＝，则y＝　　　； ②y关于x的函数关系式为　　　； 图1 3 y＝x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的函数图象，直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式(写出自变量的取值范围)； 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：由题意可知，当x＝2时，点P与点A重合， ∴AD＝2，此时y＝22＝4， 由题图2可知点P与点C重合时，y＝20，即CD2＝20， 在Rt△ACD中，AD2＋AC2＝CD2，即22＋AC2＝20， ∴AC＝4，当点P在AC上运动时，x＝AD＋AP＝2＋AP，∴AP＝x－2， ∴在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝22＋(x－2)2＝x2－4x＋8， ∴y＝x2－4x＋8， 即当点P在AC上运动时，y关于x的函数关系式为y＝x2－4x＋8(2≤x≤6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图2 【延伸探究】 (3)当y－x＝2时，AP的长为　　　，此时y关于x的函数图 象上点的坐标为　　 　； 0或1 (2，4)或(3，5) 图2 【解法提示】当0≤x＜2时，y＝x2，则y－x＝2时，x2－x＝2，解得x＝－1(舍去)或x＝2(舍去)；当2≤x≤6时，y＝x2－4x＋8，则y－x＝2时，x2－4x＋8－x＝2，解得x＝2或x＝3；当x＝2时，y＝4，此时AP＝0，当x＝3时，y＝5，此时AP＝1，∴当y－x＝2时，AP的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为(2，4)或(3，5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图1 (4)连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，求点A在△DFM内部时x和y的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图1 图2 解：由(2)知，AD＝2，AC＝4. 又∵D为AB的中点，∴AB＝4＝AC， 取AC的中点N，连接DN，如图， ∴AN＝AC＝2＝AD，DN是△ABC的中位线，∴DN∥BC. 又∵∠A＝90°，∴△ADN是等腰直角三角形. ∵四边形DPEF是正方形，∴△MDP是等腰直角三角形， 分析点P的运动规律可知，当点P运动到DP∥BC，即点P运动到点N处时，点A与点M重合， 点P在线段CN(不含点N)上运动时，点A在△DFM内部， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当点P运动到点N处时，x＝2＋2＝4， 此时y＝x2－4x＋8＝8； 当x＝6时，y＝62－4×6＋8＝20， ∴点A在△DFM内部时x的取值范围为4＜x≤6，y的取值范围为8＜y≤20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.【建系问题】(2024乌鲁木齐十三中四模)(1)【发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE； 图1 证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)【类比】如图2，在平面直角坐标系中，点C是x轴正半轴上一点，以AC为边作边长为2的等边△ABC，D是x轴上C点右边的点，以AD为边作等边△ADE，连接EC并延长，交y轴于点F. ①求A点坐标； 图2 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2. ∵AO⊥BC，∴OB＝OC＝1， ∴AO＝＝， ∴A(0，). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②求直线EF的函数解析式. 解：②∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图2 ∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝60°. ∵∠FOC＝90°，OC＝1，∴OF＝OC＝， ∴C(1，0)，F(0，－)， 设直线EF的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线EF的解析式为y＝x－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图2 (3)【拓展】如图3，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点，点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，C'点恰好落在抛物线的对称轴上，若有一点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数解析式. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：∵抛物线与x轴交于B(－1，0)，C(3，0)两点， ∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点H， 则H点的坐标为(1，0)，BH＝2， 由翻折得C'B＝CB＝4， 在Rt△BHC'中，C'H＝＝＝2， ∴点C'的坐标为(1，2)，tan∠C'BH＝＝＝， ∴∠C'BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C'BH＝30°， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在Rt△BHD中，DH＝BH·tan∠DBH＝2·tan 30°＝， ∴点D的坐标为(1，). 连接CC'，∵BC'＝BC，∠C'BC＝60°， ∴△C'CB为等边三角形.分类讨论如下： ①如图1，当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方， 连接BQ，C'P.∵△PCQ，△C'CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C'C，∠PCQ＝∠C'CB＝60°， ∴∠BCQ＝∠C'CP，∴△BCQ≌△C'CP(SAS)，∴BQ＝C'P. ∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C'P＝CQ＝CP. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又∵BC'＝BC，∴BP垂直平分CC'. 由翻折可知BD垂直平分CC'， ∴点D在直线BP上. 设直线BP的函数解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则，解得， ∴直线BP的函数解析式为y＝x＋. ②如图2，当点P在x轴的下方时. ∵△PCQ，△C'CB为等边三角形， ∴CP＝CQ，BC＝CC'，∠CC'B＝∠QCP＝∠C'CB＝60°， ∴∠BCP＝∠C'CQ， ∴△BCP≌△C'CQ(SAS)，∴∠CBP＝∠CC'Q. ∵BC'＝CC'，C'H⊥BC，∴∠CC'Q＝∠CC'B＝30°. ∴∠CBP＝30°， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB·tan∠CBP＝OB·tan 30°＝1×＝，∴点E的坐标为(0，－). 设直线BP的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则，解得， ∴直线BP的函数解析式为y＝－x－. 综上所述，直线BP的函数解析式为y＝x＋或y＝－x－. 7. 【角度问题】已知抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于点A(－1，0)，点B，交y轴于点C.点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线y＝ax2＋bx－3上.点E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 备用图 解：由题意得，C(0，－3)，∴D(2，－3)， ∵点A(－1，0)，D(2，－3)在抛物线 y＝ax2＋bx－3上，∴，解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3； ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4). (2)连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD.点N是射线CD上一动点，且满足CN＝CM.作射线CE，在射线CE上取一点G，使CG＝CO.连接GN，BN.求OM＋BN的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：由x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3， ∴B(3，0)，如解图，作EH⊥CN于H. ∵E(1，－4)，C(0，－3)，∴EH＝CH＝1， ∴∠ECH＝∠CEH＝45°. ∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠ECH. ∵CG＝OC，CM＝CN，∴△OCM≌△GCN(SAS)， ∴NG＝OM，∴OM＋BN＝NG＋BN≥BG，∴当B，N，G三点共线时，OM＋BN最小.∵∠BCG＝90°，BC＝3，CG＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴BG＝＝3，∴OM＋BN的最小值为3. (3)点P在抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴上，若 ∠OAP＋∠OCA＝45°，求点P的坐标. 解：如图，设EP交AB于F，作FW⊥BC于W. ∵E(1，－4)，∴F(1，0). ∵A(－1，0)，∴OA＝OF. ∵OC⊥AF，∴AC＝FC，∴∠FCO＝∠OCA. ∵∠OCB＝45°，∴∠FCO＋∠BCF＝45°. ∵∠OAP＋∠OCA＝45°，∴∠OAP＝∠BCF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解图 ∵BF＝OB－OF＝2，∠OBC＝45°，∴FW＝BW＝. ∵BC＝3，∴CW＝BC－BW＝2， ∴tan∠OAP＝tan∠BCF＝＝，∴＝， ∴PF＝AF＝1，∴P(1，1) 当点P在x轴下方时，由对称性可得P'(1，－1). 综上所述，点P的坐标为(1，1)或(1，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解图 图1 解：把点A(－2，0)，C(0，4)代入y＝ax2＋x＋c(a≠0)， 得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.【角度问题】如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4). (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一点，AD与BC交 于点E，且AE＝5DE，求点D的坐标； 图1 解：如解图1，过点D作DF∥AB交BC于点F， 当y＝0时，有－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝－2，x2＝3，∴B(3，0)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 代入点B(3，0)，C(0，4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解图1 得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4， 设点D的横坐标为t，则D(t，－t2＋t＋4)， ∴F(t2－t，－t2＋t＋4)，∴DF＝t－(t2－t)＝－t2＋t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解图1 ∵A(－2，0)，B(3，0)∴AB＝5.∵DF∥AB，∴△DEF∽△AEB， ∴＝，∴＝＝，∴－t2＋t＝1，解得t1＝1，t2＝2， ∴点D的坐标为(1，4)或(2，)； (3)如图2，已知点M(0，1)，抛物线上是否存在点P，使锐角∠MBP满足tan∠MBP＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 图2 解：存在点P，使tan∠MBP＝， ①如解图2，当PB在MB上方时，过点M 作IM⊥MB交PB于I，过I作IJ⊥y轴于J， 则tan∠MBI＝＝. ∵∠JMI＋∠JIM＝90°，∠JMI＋∠OMB＝90°， 解图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴∠JIM＝∠OMB.又∵∠IJM＝∠MOB＝90°， ∴△MIJ∽△BMO，∴＝＝，∴＝＝， ∴IJ＝，JM＝，∴OJ＝JM＋OM＝，∴I(，)， 设直线BI的解析式为y＝mx＋n，代入点B(3，0)，I(，)， 解图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得，解得，∴直线BI的解析式为y＝－x＋3， 联立解得或(不合题意，舍去)， ∴此时点P的坐标为(－，)； ②当PB在MB下方时，过点M作KM⊥MB交P'B于K， 过K作KL⊥y轴于L， 同理可得，点P的坐标为(－，－)， 综上所述，点P的坐标为(－，)或(－，－). 解图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.【面积问题】(2025宁夏)如图，抛物线y＝ax2－2x＋3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为－1. (1)求抛物线的表达式； 图1 解：∵抛物线顶点横坐标为－1， ∴由顶点公式x＝－，其中b＝－2，即－＝－1， ∴a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移m(m＞0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围； 图1 解：当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，即x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3或x＝1，故A(－3，0)， 当x＝0时，y＝3，故B(0，3)， 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 将点A(－3，0)，B(0，3)代入， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得，解得， ∴直线AB的表达式为y＝x＋3， 向上平移m个单位长度后，直线的表达式为y＝x＋3＋m， 与抛物线y＝－x2－2x＋3联立，得－x2－2x＋3＝x＋3＋m， 整理得x2＋3x＋m＝0， 抛物线与直线有交点时，Δ＝32－4×1×m＝9－4m≥0，解得m≤， 又m＞0， ∴m的取值范围为0＜m≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得S△PAD＝S△CAD.若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解法提示】抛物线对称轴为直线x＝－1.直线AB：y＝x＋3，当x＝－1时，y＝2，故D(－1，2).顶点C：当x＝－1，y＝－(－1)2－2×(－1)＋3＝4，故C(－1，4).∵点A(－3，0).∴S△CAD＝ CD·AE＝×(4－2)×2＝2，设P(x，y)在抛物 线上，y＝－x2－2x＋3，如图，①过点C作AB 的平行线，与抛物线交于点P，连接PA，PC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：存在，点P的横坐标为－2，，. 此时S△PAD＝S△CAD＝2(同底等高)，因OA＝OB，且PC∥AB，故可设直线PC的表达式为y＝x＋t，将点C(－1，4)代入求得t＝5，即PC的表达式为y＝x＋5，联立， 解得(另一解为点C的坐标值)， ∴点P的坐标为(－2，3)，即点P的横 坐标为－2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，因CD＝DE，即直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离，∴此时存在满足条件的点，由于直线P1P2相较于直线AB，向下平移了4个 单位长度，故表达式为y＝x＋1，联立， 消去y并整理得x2＋3x－2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴x＝，即点P1的横坐标为，点P2的横坐 标为，∴综上所述，存在，点P的横坐标为－2，，. 10.【面积问题】(2025苏州)如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC，M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上两点. (1)求直线BC对应函数的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 备用图 故解得 ∴直线BC对应函数的表达式为y＝－x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为(0，3). 令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3. 故点B的坐标为(3，0)， 设直线BC对应函数的表达式为y＝kx＋b， (2)试判断是否存在实数m使得y1＋2y2＝10.若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由； 解：不存在实数m使得y1＋2y2＝10，理由如下： 把M(m，y1)，N(m＋2，y2)代入二次函数y＝－x2＋2x＋3中， 可得y1＝－m2＋2m＋3，y2＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3， ∴y1＋2y2＝－m2＋2m＋3＋2(－m2－2m＋3)＝－3m2－2m＋9＝－3(m＋)2＋9，∵－3＜0，故当m＝－时，y1＋2y2有最大值，最大值为9≠10.故不存在实数m使得y1＋2y2＝10； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)已知P是二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上一点(不与点M，N重合)，且点P的横坐标为1－m，作△MNP.若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1 ∶4，请直接写出所有满足条件的m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 备用图 【解法提示】如解图，过点N作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N'，过点P作PQ⊥NH，垂足为Q，过点M作MM'∥y轴，交BC于点M'，则MM'∥NN'，当x＝1－m时，y＝－(1－m)2＋2(1－m)＋3＝－m2＋4.∴点P的坐标为(1－m，－m2＋4).∵点N的坐标为 (m＋2，－m2－2m＋3)，∴点Q的坐标为(m＋2， －m2＋4)，点H的坐标为(m＋2，0)，点N'的坐 标为(m＋2，－m＋1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：m＝或m＝. ∴NQ＝PQ＝｜2m＋1｜，BH＝HN'＝｜－m＋1｜.∴∠PNQ＝∠BN'H＝45°.∴PN∥BC，∴△MDE∽△MNP.∴()2＝，∴MD＝MN，即MD＝ND.∵MM'∥NN'，∴△MM'D∽△NN'D.∴＝＝，即MM'＝NN'.∵点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，∴点M'的坐标为(m，－m＋3).∴m2－3m＝｜－m2－m＋2｜，即m2－m－1 ＝0或－4m＝－2，解得m＝或m＝或 m＝(此时P与M重合，舍去)，故m＝或m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $