1 题型一 选填压轴题-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦选填压轴题、代数推理、函数图象分析等核心考点，依据中考说明梳理考点权重，如代数推理占比15%、函数性质综合题占20%，并归纳新定义运算、动态几何等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”模式，通过2025年代数推理真题示范新定义运算转化方法，培养推理能力，结合几何动态问题解析渗透几何直观，帮助学生掌握分类讨论技巧。教师可依此制定冲刺计划，助力学生提升解题效率，确保复习效果。

《二轮重难题型培优》 数学 第二部分 新疆重难题型攻关 题型一　选填压轴题 代数推理 (2025.15) 　 对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝2A＋B；对正整数n(n≥2)和整式A，定义新运算“⊗”：nⓧA＝ (按从左到右的顺序依次做“⊕”运算).若A＝2x2－y，B＝x2＋18y，P＝n⊗A，Q＝3⊗B，且P⊕Q的值与y的取值无关，则整数n＝　　　. 6 (1)根据定义理解两个新定义运算符号的意义； (2)将所求式子转化为普通代数式即可解决问题. 【解析】∵A⊕B＝2A＋B，A＝2x2－y，B＝x2＋18y，∴P＝nⓧA＝ ＝(2A＋A) ＝3A ＝(2×3A＋A) ＝7A ＝…＝(2n－1)A＝(2n－1)(2x2－y).同理，Q＝3⊗B＝(23－1)B＝7(x2＋18y)，∴P⊕Q＝2P＋Q＝2(2n－1)A＋7B＝(2n＋1－2)A＋7B＝(2n＋1－2)(2x2－y)＋7(x2＋18y)＝(2n＋2＋3)x2＋(128－2n＋1)y，由题意，得128－2n＋1＝0，解得n＝6. 1.三个不完全相同的正整数a，b，c，记为M0＝(a，b，c)，进行如下操作：将其中最大的数减2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数a1，b1，c1，第一次操作的结果记为M1＝(a1，b1，c1)，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将M1按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果M2＝(a2，b2，c2)；以此类推，直到an＝bn＝cn时，停止操作.例如，当M0＝(4，7，10)时，则M1＝(5，8，8)，M2＝(6，9，6)，M3＝(7，7，7)，即第三次操作后停止，当M0＝(3，7，11)时，M2026＝　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (7，8，6) 【解析】当M0＝(3，7，11)时，第一次操作：最大数为11，操作后得到(4，8，9)；第二次操作：最大数为9，操作后得到(5，9，7)；第三次操作：最大数为9，操作后得到(6，7，8)；第四次操作：最大数为8，操作后得到(7，8，6)；第五次操作：最大数为8，操作后得到(8，6，7)；后续规律：操作进入循环(6，7，8)→(7，8，6)→(8，6，7)→(6，7，8)，周期为3，(2026－2)÷3＝674……2，对应循环中的第二个状态(7，8，6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.我们规定：若一个正整数A能写成m2－n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2－n的过程，称为“方减分解”.例如：因为602＝252－23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252－23的过程就是“方减分解”.把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2－n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m＋n＝k2(k为整数)，则满足条件的正整数A为　　　. 4564 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】设m＝10a＋b，则n＝10a＋8－b(1≤a≤9，0≤b≤8)，∴B＝1000a＋100b＋10a＋8－b＝1010a＋99b＋8.∵B除以19余数为1，∴1010a＋99b＋7能被19整除，∴＝53a＋5b＋ 为整数，又∵2m＋n＝k2(k为整数)，∴2(10a＋b)＋10a＋8－b＝30a＋b＋8是完全平方数.∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴38≤30a＋b＋8≤286，∴7≤k≤16，设3a＋4b＋7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3.(Ⅰ) 当t＝1时，3a＋4b＝12，则b＝3－a，30a＋b＋8＝30a＋3－a＋8是完全平方数，∵1≤a≤9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0≤b≤8，∴此时无整数解；(Ⅱ)当t＝2时，3a＋4b＝31，则b＝，30a＋b＋8＝30a＋＋8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴此时无整数解；(Ⅲ)当t＝3时，3a＋4b＝50，则b＝，30a＋b＋8＝30a＋＋8 是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a＋4b＋7＝57＝19×3，30×6＋8＋8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a＋8＝68，n＝10a＋8－b＝60，∴A＝682－60＝4564. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 根据实际问题分析判断函数图象 (2025.9) 　 甲驾驶汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发.设乙行驶的时间为t(h)，甲、乙两人之间的距离y(km)关于时间t(h)的函数图象如图所示.根据上述信息，下列说法正确的是(　　) A.甲行驶的速度是20 km/h B.在甲出发 h后追上乙 C.A，B两地之间的距离为90 km D.甲比乙少行驶2小时 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 t 乙行驶的时间 y 甲、乙两人之间的距离 行驶特点 匀速 出发时间 乙比甲先出发 起点 甲、乙两人都在A地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 拐点 以t轴为例(匀速行驶) O处⇨乙出发 1处出现拐点⇨甲出发 处出现拐点，且y＝0⇨甲、乙距离为0，即相遇 处出现拐点⇨距离达到最大，说明甲到目的地 处出现拐点，y＝0⇨乙到目的地 终点 甲、乙两人都到达B地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3.在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是(　　) A.实验开始时，冰块的温度为0 ℃ B.加热8 min后，冰块开始熔化 C.冰块完全熔化后，继续加热3 min， 温度计读数增加到3 ℃ D.冰块熔化过程持续了8 min C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.(2025浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A 处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2).如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点.下列选项正确的是(　　) A.m＝12　　　　　　　　　　 B.n＝24 C.点C的纵坐标为240 D.点(15，85)在该函数图象上 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，作PG⊥AB于点G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即PG2＝81，HG＝m－1.在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81＋(m－1)2，∴m＝13，∴选项A错误，∴AG＝m＝13，HG＝m－1＝12，当x＝n时，点Q运动到点B，则PB＝PH.∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12，∴AB＝n＝13＋12＝25，∴选项B错误.当x＝0，即点Q在点A时，AP2 ＝AG2＋PG2＝132＋81＝250，∴点C的纵坐标为250， ∴选项C错误.当x＝15时，点Q运动到点K，∴AK＝15， ∴GK＝AK－AG＝2，∴PK2＝GK2＋PG2＝4＋81＝85， ∴点(15，85)在该函数图象上，∴选项D正确. 根据几何图形动态问题分析判断函数图象 (2021.9) 　 (2024乌鲁木齐十三中四模)如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是(　　) A.BD＝10　　　　　　　　　　　 B.AD＝12 C.平行四边形ABCD的周长为44 D.当x＝15时，△APD的面积为20 D 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 x 点P运动的路程 y 线段AP的长 起点 点A⇨AP＝0 拐点 点B⇨AB＝10 点D⇨AD＝12 AB＋BD＝20 终点 点A⇨AP＝0 【解析】当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，当点P运动到点D处时，x＝20，即AB＋BD＝20，∴BD＝10，y＝12，即AD＝12，故A，B正确，不符合题意；∴平行四边形ABCD的周长为2×(10＋12)＝44，故C正确，不符合题意；当x＝15时，点P在BD中点处，如图，此时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 S△APD＝S△ABD，作BH⊥AD于点H.∵AB＝BD＝10， ∴AH＝DH＝6，∴BH＝＝8，∴S△ABD ＝×12×8＝48，∴S△APD＝×48＝24，故D错误， 符合题意. 5. (2025齐齐哈尔)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E运动的路程为x(x＞0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　) A A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】当点E在AB上时，如图1.∵∠A＝60°，l⊥AD，∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE＝x，EF＝＝x，∴y＝AF·EF＝×x×x＝x2，∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD于点H，如图2.∵∠A＝60°，BH⊥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝2， BH＝＝2，∴y＝S△ABH＋ S矩形BEFH＝×2×2＋2(x－4)＝2x －6，∴此时图象为直线的一部分； 当点E在BC上且l与CD相交时，如图3.∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB＋BC－x＝8－x，∴EF＝CE·tan60°＝(8－x)，∴S△CEF＝CE·EF＝(8－x)·(8－x)＝(8－x)2，∴y＝S菱形ABCD－S△CEF＝AD·BH－(8－x)2＝4×2－(8－x)2＝－x2＋8x－24，∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6.(2025乌鲁木齐沙依巴克区一模)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数图象如图2，当CP＝2时，x的值为　　　. 或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】由图象得CD＝2，当BD＋BP＝4时，PQ＝CD＝2，设BC－CD＝a，则BD＝4－a，在Rt△BCD中，BD2－BC2＝CD2，即(4－a)2－(a＋2)2＝22，解得a＝，∴BC＝a＋2＝，BD＝4－a＝.当CP＝CD＝2时，分情况讨论：当点P在BD上时，如图，过点C作CE⊥BD于点E， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 则x＝PD＝2DE.∵cos∠CBD＝＝，∴BC2＝BE·BD，即()2＝BE，解得BE＝，∴DE＝BD－BE＝，∴x＝；当点P在BC上时，如解图，记为P'，此时CP'＝2，∴BP'＝BC－CP'＝，∴x＝BD＋BP'＝4.综上所述，当CP＝2时，x的值为或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 函数性质综合题 (2024.9，2023.9) 　 (2024乌鲁木齐经开区二模)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间.则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2.其中正确结论的个数有(　　) A.5个 B.4个 C.3个　　 D.2个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 题干分析： 抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，对称轴为直线x＝1⇨y＝0时，y轴右侧解的范围为3＜x＜4，左侧解的范围为－2＜x＜－1. 结论分析： ①代入x＝－1，结合y轴左侧解的范围可判断； ②结合抛物线开口方向和对称轴公式判断； ③抛物线顶点纵坐标公式结合抛物线顶点纵坐标判断； ④利用抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝n－1的交点个数判断； ⑤利用中点坐标公式结合对称轴判断. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，即b＋2a＝0，∴3a＋b＝2a＋b＋a＝a＜0，②错误；∵x＝3时，y＞0，抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴＝n，∴b2＝4ac－4an＝4a(c－n)，③正确；由图象可得抛物线与直线y＝n－1有两个交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，∴＝1，∴x1＋x2＝2，⑤正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7.小轩在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时列表如下： 则下列关于这个函数的结论错误的是(　　) A.该函数图象开口向上 B.函数图象上有两点(x1，－1)，(x2，－2)，则x1＞x2 C.该函数图象经过点(3，0) D.当x＞1时，y随x的增大而增大 x … －3 －1 0 2 4 … y … 12 0 －3 －3 5 … B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8.已知二次函数的表达式为y＝x2－2ax＋5(a为常数)，当x＝1时，y＜2，在自变量x满足2≤x≤4的取值范围时，对应函数值y的最小值为 －4，则a的值为(　　) A. B.3 C.3或 D.－3或－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9.(2025乌鲁木齐新市区一模)如图，四边形ABOC的顶点A在反比例函数y＝第二象限的图象上，顶点B在反比例函数y＝第一象限的图象上，边AB交y轴于点D.已知AB＝AC，OB＝OC，AD＝2BD，且四边形ABOC的面积为28，则k的值为(　　) A.－6　　　　　 B.－10　　　　　 C.－12　　　　　 D.－24 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，连接OA，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC (SSS)，∴S△OAB＝S△OAC＝S四边形ABOC＝×28＝14，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，由平行线性质可知△BDF∽△ADE，∴＝＝，∵AD＝2BD，∴DE＝2DF，AE＝2BF，设B(b，)，则BF＝b，OF＝，∴AE＝2b，∴EF＝－＝，则DF＝EF＝×＝，∴OD＝OF＋DF＝＋＝，∵S△BOD＝OD·BF，S△AOD＝OD· AE.S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝14，∴OD·BF＋OD·AE＝ OD·(BF＋AE)＝14，∴××3b＝14，解得k＝－24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 最值问题 (2024.15，2020.15) 如图，在边长为8的菱形ABCD中，E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF＋CE的最小值为　　　. 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 特征1：菱形ABCD⇨四边相等、对角相等； 特征2：AE＝CF；连接BE，结合特征1，可得△ABE≌△CBF⇨BE＝BF⇨BF＋CE＝BE＋CE. 特征：“逆等线”模型. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)连接BE⇨构造全等三角形，将所求线段转化 为共顶点线段； (2)利用“将军饮马”模型求解. 【解析】如图，作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接BG，BE，EG，则CG⊥AD，CH＝GH，∴CE＝EG.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴CG⊥BC.∵S菱形ABCD＝BC·CH＝60，BC＝8，∴CH＝7.5，∴CG＝2CH＝15，∴BG＝＝17.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠A＝∠BCD，在△ABE和△CBF中 ，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴BE＝BF， ∴BF＋CE＝BE＋CE＝BE＋EG≥BG，∴当点E在线 段BG上时，BF＋CE取得最小值，为17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.(2025乌鲁木齐天山区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接AC，BD，则AC＋BD的最小值为(　　) A.2B.2 C.6 D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于x轴的对称点A'，连接CA'，EA'，则E(－2，4)，A'(0，－2)，∴AC＋BD＝CA'＋CE≥EA'＝＝2，∴AC＋BD的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11.(2025乌鲁木齐适应性测试)如图，在等边△ABC中，AB＝4，P，Q分别是边AB，AC上的动点，且BP＝CQ，则BQ＋CP的最小值为　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，在BA左侧作BG∥AC，且BG＝BC，连接PG，CG，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠ABG＝60°＝∠BCQ.∵BP＝CQ，∴＝＝，∴△BPG∽△CQB，∴＝，∴PG＝BQ，∴BQ＋CP＝PG＋CP≥CG，当且仅当C，P，G三点共线时取等，此时最小值为CG，过G作GH⊥CB交CB的延长线于点H，在Rt△BHG中，∠GBH＝180°－∠ABC－∠ABG＝60°，BG＝BC＝2，∴GH＝BG·sin60°＝， BH＝BG·cos60°＝1，∴CH＝CB＋BH＝5，在Rt△CHG中， CG＝＝2，即BQ＋CP的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB＋PQ的最小值为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，如图，过点P作PD⊥AC，交AC于点D，∵△ACP的面积为3，S△ACP＝AC·PD，∴PD＝1，过P作直线l∥AC，则点P在直线l上运动且在△ABC内，B到直线l的距离为7，作点B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，∴EP＝BP，∴PB＋PQ＝EP＋PQ＝EQ，EQ即PB＋PQ的最小值，过点Q作QF⊥BC，交BC于点F，∵点Q为AB中点，∴CF＝BF＝BC＝4，BQ＝AQ＝CQ＝5，QF＝AC＝3.∵BE＝ 14，BF＝4，∴EF＝10，∴EQ＝ ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13.【多解法】如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，M，N是线段AB上的动点(点M在点N上方).若MN＝，则OM＋ON的最小值为　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】令y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，令x＝0，则y＝－3，则B(0，－3)，解法一：如图1，作OS∥MN，且OS＝MN＝，连接MS，则四边形OSMN是平行四边形，∴SM＝ON，∴OM＋ON＝OM＋SM，作点O关于AB的对称点P，连接PS交AB于点M'，连接PM，则OM＝PM，则OM＋ON＝PM＋SM，当M，M' 重合时，PM＋SM取得最小值，即为PS的长.易得P(－3， －3)，∴OP＝＝3.∵OP⊥AB，OS∥MN， ∴∠SOP＝90°，∴PS＝＝2， ∴OM＋ON的最小值为2. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解法二：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝－x－3.∵MN＝，直线AB的斜率为－1，∴设M(m， －m－3)，则N(m＋1，－m－4)，∴OM＋ON＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ＋， ∴OM＋ON表示点(m，－m)到点P(0，3)和点Q(－1， 4)的距离之和，点(m，－m)在直线y＝－x上，如图2， 作点P(0，3)关于直线y＝－x的对称点P'，连接PP'交 直线y＝－x于点H，连接P'Q，与直线y＝－x的交点 即为点(m，－m)，此时OM＋ON取得最小值，即为 P'Q的长. 图2 ∵直线y＝－x是第二、四象限的平分线，∴∠POH＝∠P'OH＝45°，由对称得，PH＝P'H，PP'⊥OH，∴OP'＝OP＝3，∴P'(－3，0)，∴P'Q＝＝2，∴OM＋ON的最小值为2. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 几何图形的基本性质 　 【多解法】(2024山西)如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G.若AB＝，AD＝4，tan∠ABC＝2，则 BG的长为　　　. 思考：过点F向AC作垂线，延长AD，GC交于一点， 尝试用新的方法求解吧！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)正切函数值＋AB长度结合勾股定理⇨AE，BE，CE的长度； (2)在△CEF中，勾股定理结合FA＝FC⇨EF； (3)作辅助线：作GH⊥BC交CB延长线于点H，构造 △CEF∽△CHG⇨＝⇨BH； (4)借助对顶角＋正切函数值⇨GH，结合勾股定理⇨BG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1) ▱ABCD⇨对边平行且相等，对角互补； (2)∠ACF＝∠CAF⇨FA＝FC； (3)tan∠ABC＝2⇨AE＝2BE. 【解析】解法一：过点G作GH⊥BC，交CB的延长线于点H，如图1.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD.又∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，∴AE＝2BE，由勾股定理得AE2＋BE2＝AB2，即(2BE)2＋BE2＝()2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴BE＝1，∴AE＝2BE＝2，∴CE＝BC－BE＝3，设EF＝a，则AF＝AE＋EF＝2＋a.∵∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF＝2 ＋a，在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2＝CE2＋EF2， 即(2＋a)2＝32＋a2，解得a＝.∵GH⊥BC，AF⊥BC， ∴EF∥GH，∴△CEF∽△CHG，∴CE ∶CH 图1 ＝EF ∶GH，即3 ∶(4＋BH)＝ ∶GH.∵∠GBH＝∠ABC，∴在Rt △GBH中，tan∠GBH＝＝2，∴GH＝2BH，设BH＝b，则GH＝2b，CH＝4＋b，即3 ∶(4＋b)＝ ∶2b，解得b＝，在Rt△GBH中，由勾股定理得GB＝＝b，∴GH＝b＝. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解法二：过点F作FH⊥AC于点H，延长AD与GC的延长线交于点K，如图2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD.又∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝2，∴AE＝2BE，由勾股定理得AE2＋BE2＝AB2，即(2BE)2＋BE2＝()2，∴BE＝1，∴AE＝2BE＝2，∴CE＝BC－BE＝3，在Rt△ACE中，由勾股定理得AC＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ＝.∵∠ACF＝∠CAF，∴FA＝FC.∵FH⊥AC，∴AH＝CH＝AC＝.∵S△FAC＝AC·FH＝AF·CE，∴FH＝＝， 在Rt△AFH中，由勾股定理得AF2－FH2＝AH2，即 AF2－()2＝()2，∴AF＝，∴EF＝AF－AE 图2 ＝－2＝.∵BC∥AD，∴△FCE∽△FKA，∴EF ∶AF＝CE ∶AK，即 ∶＝3∶AK，∴AK＝，∴DK＝AK－AD＝－4＝.∵AB∥CD，∴△KDC∽△KAG，∴DK ∶AK＝CD ∶AG，即 ∶＝ ∶AG，∴AG＝，∴BG＝AG－AB ＝－＝. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. (2025乌鲁木齐模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为(　　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB.∵BG＝3GC，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2＋BG2＝AG2，∴AG＝＝5.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD ∶GA＝AE ∶GB＝DE ∶AB，∴4 ∶5＝AE ∶3＝DE ∶4，∴AE＝，DE＝.又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°.又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF(同角的余角相等)，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF－AE＝－＝，∴tan∠EDF＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15.(2025贵州)如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD，线段DE于点G，H，且H是 DE的中点.若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，连接AC，交BD于点N，连接HN，过点H作HQ⊥BD于点Q.∵BE＝2CF，CF＝2，∴BE＝4.∵四边形ABCD是矩形，∴AN＝CN＝BN＝DN，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BAC＝∠NCF＝30°.∵H是DE的中点，∴HN是△BDE的中位线，∴HN∥BE，HN＝BE＝2，∴∠ABD＝∠HNQ＝30°，∴HQ＝HN＝1.∵HN∥AB，AB∥CD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴HN∥CF.∵HN＝CF＝2，∴四边形HFCN是平行四边形，∴∠NCF＝∠NHG＝30°，而HQ⊥BD，∠HNQ＝30°， ∴∠HGQ＝60°，∴∠GHQ＝30°，∴cos∠GHQ ＝cos30°＝＝＝，∴HG＝. 16.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为正方形ABCD内部一点，连接AE，BE，CE，且∠ABE＝∠DAE，当△BCE为等腰三角形时，AE 的长为　　　　　. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴BC＝AB＝2，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.∵∠ABE＝∠DAE，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴△ABE是直角三角形，∴AB＞BE，∴BC＞BE，∴当△BCE为等腰三角形时，有以下两种情况：①当BC＝EC＝2时，过点C作CF⊥BE于点F，如图1，∴∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠BCF＋∠FBC＝90°. 又∵∠ABE＋∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE， 在△BCF和△ABE中，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图1 ∴△BCF≌△ABE(AAS)，∴AE＝BF，CF＝BE.∵BC＝EC＝2，CF⊥BE，∴BF＝EF，∴AE＝BF＝EF，设AE＝a，∴AE＝BF＝EF＝a，∴BE＝BF＋EF＝2a，∴CF＝BE＝2a，在Rt△BCF中，由勾股定理得BC＝＝＝a，∴a＝BC＝×2＝，∴AE＝； 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ②当BE＝CE时，过点E作EH⊥BC于点H，如图2，∴∠BHE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°.又∵∠ABE＋∠EBH＝∠ABC＝90°，∴∠BAE＝∠EBH，∴△ABE∽△BEH，∴＝.∵BE＝CE，EH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝1，∴＝，∴AE·BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋BE2＝AB2＝4，∴AE2＋BE2＝2AE·BE，∴(AE－BE)2＝0，∴AE＝BE，∴AE2＝2， ∴AE＝.综上所述，AE的长为或. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 几何图形的折叠 (2023.15) 　 如图，在菱形ABCD中，AD＝4，∠B＝60°，E是边CD上一点，将菱形ABCD沿AE折叠，点D的对应点为点F，EF交BC于点G，当AF恰好经过BC的中点H时，DE的 长为　　　　. 4－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)折叠⇨对应线段和对应角相等⇨基础角度和基础线段长度； (2)菱形性质＋60°角⇨等边三角形； (3)AF恰好经过BC的中点⇨AF⊥BC. (1)折叠⇨DE＝EF，将求DE的长转化为求EF的长； (2)作EW⊥AF，构造Rt△EFW； (3)利用特殊角＋勾股定理⇨EF⇨DE. 【解析】如图，过点E作EW⊥AF于点W，连接AC.在菱形ABCD中，AD＝4，∠B＝60°，∴BC＝AB＝AD＝4，BC∥AD，∠D＝∠B＝60°，∴∠BAD＝180°－60°＝120°，△ABC是等边三角形.∵AF恰好经过BC的中点H，∴AH⊥BC，∴∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠FAD＝120°－30°＝90°，由折叠的性质可知，AF＝AD＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∠FAE＝∠DAE＝45°，DE＝EF，∴∠AED＝∠AEF＝180°－∠D－∠DAE＝75°.∵EW⊥AF，∴∠AEW＝90°－45°＝45°，则AW＝EW，∠WEF＝75°－45°＝30°，∴在Rt△WEF中，WF＝EF.∵WE＝AW＝AF－FW＝4－FW，EF2＝WF2＋WE2，∴4WF2＝WF2＋(4－WF)2，解得WF＝2－2(负值已舍去)，∴EF＝4－4.∵DE＝EF，∴DE＝4－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17. 如图，点M，N分别为正方形ABCD边AB和CD上一点，现将其沿着MN折叠，使点A恰好为BC对应边B'C'的中点，则的值为(　　) A. B. C.－2 D.2－ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】设正方形ABCD的边长为2m，则AB＝BC＝AD＝2m，由折叠得B'C'＝BC＝2m，B'M＝BM＝2m－AM，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠C＝90°.∵点A为B'C'的中点，∴AB'＝AC'＝B'C'＝m.∵AB'2＋B'M2＝AM2，∴m2＋(2m－AM)2＝AM2，∴AM＝m，∴B'M＝2m－m＝m.∵∠B'＝∠C'＝∠BAD＝90°，∴∠AEC'＝∠MAB'＝90°－∠EAC'，∴＝ sin∠AEC'＝sin∠MAB'＝＝＝，∴AE＝AC'＝m，∴ED＝AD－AE＝2m－m＝m，∴＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan ∠BAF＝，则CE＝　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如解图，过点F作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD，由折叠得EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°.∵tan∠BAF＝＝，∴设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4－2x，在Rt△BFM中，由勾股定理，得FM2＋BM2＝BF2，即x2＋(4－2x)2＝()2，解得x1＝1，x2＝，当x＝时，4－2x＝4－＝－＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 故x＝舍去，∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝－1.∵∠BFM＋∠NFE＝90°，∠BFM＋∠MBF＝90°，∴∠MBF＝∠NFE，∴Rt△BMF∽Rt△FNE，∴＝，即＝，解得EF＝，∴CE＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.如图，E是菱形ABCD边AB的中点，F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C.已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为　 　　　　. 2－2或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵E是菱形ABCD边AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝BC＝2，∴点A'在以AB为直径的半圆上.∵∠B＝120°，∴∠A＝∠BCD＝60°，∴∠A'CD＜90°，∴当△A'CD为直角三角形时，有∠DA'C＝90°和∠A'DC＝90°两种情况：①如解图1，当∠A'DC＝90°时，连接DE，DB，在菱形ABCD中.∵∠A＝60°，∴△ABD是等边 三角形.∵AE＝BE，∴DE⊥AB，∴∠ADE＝30°， ∴∠EDC＝90°，∵∠A'DC＝90°，∴点A'在DE上， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由翻折可知∠AEF＝∠A'EF＝∠AED＝45°，过点F作FG⊥AB于点G，∴FG＝EG，∠AFG＝30°，∴AF＝2AG，∴FG＝AG.∵AG＋EG＝AE＝2，∴AG＋AG＝2，解得AG＝－1，∴AF＝2AG＝2－2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ②如图2，当∠DA'C＝90°时，取CD中点H，连接A'H，∴A'H＝CD＝2.∵AE＝A'E＝2，∴A'E＋A'H＝4，∴E，A'，H在同一条直线上，∴四边形AEHD是平行四边形，∴∠AEH＝ 120°，∴∠AEF＝∠A'EF＝∠AEH＝ 60°，∴△AEF是等边三角形，∴AF＝ AE＝2.综上所述，线段AF的长为2－2或2. 图1 图2 几何图形的旋转 (2022.15，2021.15) 　 如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O.将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC'，当O'，C'，D三点共线时，AO'的长为　　　　　　　. －1或＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 正方形ABCD⇨四边相等；四个角相等且都是直角；对角线互相垂直平分；对角线分得的四个小三角形全等，均为等腰直角三角形；对角线分得的两个大三角形全等，均为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)旋转⇨旋转前后两个三角形全等，旋转角相等； (2)O'，C'，D三点共线⇨分情况讨论：①O'C'在BD上方；②O'C'在BD下方； (3)旋转＋正方形的性质⇨△O'C'B，△ADB均为等腰直角三角形⇨△ABO'∽△DBC'，结合勾股定理即可求解. 【解析】①当O'C'在BD的上方时.∵△O'C'B，△ABD都是等腰直角三角形，∴O'B∶BC'＝AB∶BD＝1∶.∵∠ABO'＋∠ABC'＝∠DBC'＋∠ABC'＝45°，∴∠ABO'＝∠DBC'，∴△ABO'∽△DBC'，∴AO'∶DC'＝AB∶BD.∵BC'＝BC＝2，∴O'C'＝BO'＝BC'＝， BD＝BC＝2.∵DO'2＝BD2－BO'2，∴DO'＝ ＝，∴DC'＝DO'－O'C'＝－， ∴AO'∶(－)＝1∶，∴AO'＝－1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ②当O'C'在BD的下方时，如图，同理可证△ABO'∽△DBC'，∴AO'∶DC'＝AB∶DB.∵BC'＝BC＝2，∴O'C'＝BO'＝BC'＝，DB＝BC＝2.∵DO'＝＝＝，∴DC'＝＋，∴AO'∶(＋)＝1∶， ∴AO'＝＋1.综上所述，AO'的长为－1或＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，将线段AC绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，得到CD，连接AD，DB，当∠DBC＝30°时，AD的长为　　　　　. 2或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，∴AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°，如图1，当点D位于BC上方时.∵∠DBC＝30°，∠ABC＝30°，∴A，D，B三点共线，由旋转的性质得AC＝DC.又∵∠CAB＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝AC＝2；如图2，当点D位于BC下方时，延长AC，BD相交于点E.∵∠DBC＝30°，∠ABC＝30°，∴∠ABE＝60°.又∵ ∠CAB＝60°，∴△ABE为等 边三角形，∴∠E＝60°，AE＝ AB＝4.∵∠ACB＝90°， 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图2 ∴AC＝EC，由旋转的性质得AC＝EC＝DC＝2，∴∠ADE＝90°.又∵∠E＝60°，∴∠EAD＝30°，∴ED＝AE＝2，在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，综上所述，AD的长为2或2. 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图1 21.如图，四边形ABCD为正方形，∠CAB的平分线交BC于点E，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，延长AE交CF于点G，连接BG，DG，DG与AC相交于点H.有下列结论：①BE＝BF；②∠ACF＝∠F；③BG⊥DG；④＝.其中正确的是　　　　　.(填序号) ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】由题意可得，△ABE≌△CBF，∴BE＝BF，故①正确；∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，AE平分∠CAB，∴∠BAE＝22.5°.∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝22.5°，∠F＝∠AEB＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠ACF＝∠ACB＋∠BCF＝45°＋22.5°＝67.5°，∴∠ACF＝∠F，故②正确；∵∠ACF＝∠F，∴AC＝AF，由题意易得AG⊥CF，∴CG＝FG.∵∠CBF＝90°， ∴BG＝CG＝CF，∴∠CBG＝∠BCG.∵∠ABC＝ ∠DCB＝90°，∴∠ABG＝∠DCG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∵AB＝DC，∴△ABG≌△DCG(SAS)，∴∠AGB＝∠DGC. ∵AG⊥CF，∴∠AGB＋∠DGA＝∠DGC＋∠DGA＝90°，∴BG⊥DG，故③正确；∵△ABG≌△DCG，∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG.∵∠DCH＝∠ACE＝45°，∴△DCH∽△ACE，∴＝＝，∴＝，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.如图，E是菱形ABCD边BC上一点，∠ABC＝120°，把AE绕点E顺时针旋转120°得到FE，连接AF交CD于点G，BE＝1，EC＝2，则 DG＝　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接CF.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BE＝1，EC＝2，∴AB＝AD＝CD＝CB＝BE＋EC＝3，CD∥AB，AD∥CB，AC⊥BD，∴∠BAD＝∠BCD＝180°－∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝×(180°－120°)＝30°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∴OB＝OD＝BD＝.∵∠BOC＝90°，∴OA＝OC＝＝＝，∴AC＝OA＋OC＝＋ ＝3，由旋转得AE＝FE，∠AEF＝120°，∴∠EAF＝ ∠EFA＝×(180°－120°)＝30°.∵＝，∠AEF＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∠ABC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝.∵∠CAF＝∠BAE＝ 30°－∠CAE，∴△CAF∽△BAE，∴＝＝＝，∠ACF＝∠ABE＝120°，∴CF＝BE＝×1＝，作AH⊥CD交CD的延长线于点H，则∠H＝90°，∠ADH＝∠BCD＝60°，∴＝cos60°＝，＝sin60°＝，∴DH＝AD＝，HA＝AD＝，∴CH＝CD＋DH＝3＋＝.∵∠GCF＝∠ACF＋∠BCA－∠BCD＝120°＋30°－60°＝90°，∴∠H＝∠GCF，∴HA∥CF，∴△AGH∽△FGC，∴＝＝＝，∴HG＝CH ＝CH＝×＝，∴DG＝HG－DH＝－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $