3 第六单元 提分专题九 圆中最值及隐形圆问题-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“圆”这一核心考点，覆盖11-20分分值区间，按点圆最值、线圆最值、隐形圆（定点定长、定弦定角）、四点共圆等类型系统梳理，对接中考说明分析考点权重，归纳常考模型及解题步骤，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于融合中考真题训练与应试技巧指导，如2022新疆中考题、2024乌鲁木齐期末题等实例，通过模型解读培养几何直观与推理能力，以“读题-找模型-理思路”步骤解析典型题，帮助学生掌握最值问题突破方法，助力教师高效规划复习，提升学生中考得分率。

《精讲册》 数学 第六单元　圆(11～20分) 提分专题九　圆中最值及隐形圆问题(2022.15) 已知条件：☉O上一动点P，☉O的半径为r，定点A，求AP的最值 情况1：点A在☉O外 模型分析：连接AO，直线AO与☉O交于点P1，P2 当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为P1A＝OA－r，最大值为P2A＝OA＋r 图形展示： 点圆最值 情况2：点A在☉O上 模型分析：当点A与点P重合时，AP取得最小值，最小值为0； 当A，O，P三点共线(点A，P不重合)，即AP为直径时，AP取得最大值，最大值为2r 图形展示： 情况3：点A在☉O内 模型分析：连接AO，直线AO与☉O交于点P1，P2 当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为P1A＝r－OA，最大值为P2A＝r＋OA 图形展示： 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E为BC的中点，以BE为直径作☉O，点P为☉O上一点，连接DP，则DP的最大值为_______________，最小值为_____________. 2＋2 2－2 (1)矩形ABCD⇨对边平行且相等，四个角是直角 (2)AD＝8，E为BC的中点⇨BE＝CE＝4 特征点圆最值 如图，连接DO并延长，交☉O于点P'，P″⇨DP的最大值即为DP'的长；最小值即为DP″的长 1.如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，以点B为圆心，3为半径的☉B上有一动点P，连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝6，BC＝2，半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相切)，则点A到☉O上的点的距离的最大值为____________. 2＋1 已知条件：☉O上一动点P，☉O的半径为r，直线l，求点P到直线l的距离的最值 情况1：直线l与☉O相离 模型分析：过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D 点P到直线l的距离的最小值为P2D＝OD－r，最大值为P1D＝OD＋r 图形展示： 线圆最值 情况2：直线l与☉O相切 模型分析：过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D 当点D与点P重合时，点P到直线l的距离取得最小值，最小值为0； 当PD为直径时，点P到直线l的距离取得最大值，最大值为P1D＝2r 图形展示： 情况3：直线l与☉O相交 模型分析：过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D 点P到直线l的距离的最小值为P2D＝r－OD，最大值为P1D＝r＋OD 图形展示： (2024乌鲁木齐新市区校级期末)如图，已知直线y＝x－4与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接PA，PB.则△PAB面积的最大值是______. 10 特征线圆最值 直线解析式⇨点A，B的坐标 如图，过点C作CH⊥AB于H，延长HC交☉C于P'，连接 P'A，P'B，AC⇨点P到BA距离的最大值即为P'H的长⇨△PAB面积的最大值 【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于H，延长HC交☉C于 P'，连接P'A，P'B，AC，当点P与点P'重合时，点P到直线 AB的距离最大，即△PAB的面积最大.∵直线AB的解析式为 y＝x－4，∴A点的坐标为(3，0)，B点的坐标为(0，－4)， 即OA＝3，OB＝4，由勾股定理得AB＝＝5，∵S△ACB＝S△AOC＋S△AOB，∴×AB×CH＝×OA×OC＋×OA×OB，∴5×CH＝3×1＋3×4，∴CH＝3，∴P'H＝1＋3＝4，∴△PAB面积的最大值是AB·P'H＝×5×4＝10. 3.如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，☉B的半径为2，P是☉B上一个动点，则△AOP面积的最小值为_____. 7 4.如图，已知AB是☉O的弦，C是☉O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60°，☉O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________. 3 作图原理：圆的概念 求最值原理：点圆最值/线圆最值 1.一点作圆 条件：平面内，点O为定点，点A为动点，且OA长度固定 结论：点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动 定点定长作隐形圆 2.三点作圆 条件：OA＝OB＝OC(点A，B，C不重合) 结论：点A，B，C均在☉O上 3.定点定长作圆在图形变化中的应用 类型 翻折生圆 旋转生圆 条件 在矩形ABCD中，E是边AB上的定点，F是边BC上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C' 图示 结论 点B'的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC上一动点，连接AP，再将△ABP沿AP翻折，使点B落在点E处，则点E到直线CD距离的最小值为(　　) A. 1　　　　 B. 2　　　　C. 3　　　　 D. 4 B △ABP沿AP翻折，使点B落在点E处⇨AB＝AE 如图，作EF⊥CD于点F，当A，E，F三点 共线时，点E到直线CD的距离取得最小值 特征 点E在以A为圆心，AB长 为半径的一段圆弧上运动 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD，AB＝AC＝AD＝5，BC＝2，则BD的长为________. 4 6.(2025自贡改编)如图，正方形ABCD的边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF.若2BE＝3DF，则BF的最小值为______________. 4－2 【解析】∵2BE＝3DF，∴＝.如图，过点F作EF的 垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M.易得∠FMD ＝∠EDB，∠MFD＝∠DEB＝90°，∴△MDF∽△DBE， ∴＝＝.∵正方形ABCD边长为6，∴BD＝ ＝6，∴MD＝4，取MD中点O，∴OD＝2，∴点F在以O为圆心，2为半径的圆上运动.连接OB，OF，在Rt△BDO中，OB＝＝4，当O，F，B三点共线时，BF取得最小值，为OB－OF＝4－2. 作图原理：圆周角定理及其推论 条件：在△ABC中，AB为定长，∠C为定角 情况1：当∠C＜90°时 图形展示： 结论：①∠C1＝∠C2＝∠AOB ②点C的运动轨迹为优弧ACB(不与点A，B重合) 定弦定角作隐形圆(2022.15) 情况2：当∠C＝90°时 图形展示： 结论：①AB为☉O的直径 ②点C的运动轨迹为☉O(不与点A，B重合) 情况3：当∠C＞90°时 图形展示： 结论：①∠C＋∠AOB＝180° ②点C的运动轨迹为劣弧ACB(不与点A，B重合) 如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为正方形内部的一个动点，连接MD，且∠AMD＝90°，连接CM，则CM的最小值为_______. 4－4　 正方形ABCD⇨对边平行，四边相等，四个角都是直角 如解图，射线CM经过圆心时，CM取得最小值 特征 点M在以AD为直径 的一段圆弧上运动 7.如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为__________. ＋1 8.如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为_______. 2 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6， ∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°.∵BD＝CE，∴△ABD ≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE.又∵∠AFE＝∠BAD ＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝60°， ∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA长为半径的圆弧，其中OA＝OB，∠AOB＝120°.如解图，当O，F，C三点共线时，CF的值最小.易得OC⊥AB，∴∠COB＝60°，∠OBA＝30°，∴∠OBC＝30°＋60°＝90°.∵AB＝6，∠OBA＝30°，OC⊥AB，∴易得OB＝2，∴OC＝＝4，∴CF的最小值为OC－OF＝4－2＝2. 1.对角互补型 条件：在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝ 180° 图形展示： 结论：利用圆内接四边形的对角互补，可得A，B，C，D四点共圆 四点共圆 2.同侧等角型 条件：点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D 图形展示： 结论：利用同弧所对的圆周角相等，可得A，B，C，D四点共圆 如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，E是正方形外一点，且BE⊥CE，连接OE.若CE＝BC，则OE的长为________. 　4＋ (1)四边形ABCD是正方形，BE⊥CE⇨∠BOC＝∠BEC＝90°； (2)正方形ABCD边长为6，CE＝BC⇨CE＝2 特征：∠BOC＋∠BEC＝180°⇨B，O，E，C四点共圆(且BC为直径) 如解图，以BC为直径作圆，作BH⊥OE于H⇨∠BEO＝∠BCO＝45°⇨△BEH为等腰直角三角形⇨勾股定理求EH，OH长度⇨OE长度 【解析】如图，过点B作BH⊥OE于点H.∵四边形ABCD是正方形，BC＝6，∴∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，OB＝＝＝3.∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BOC＋∠BEC＝180°，∴B，E，C，O四点共圆，∴∠BEO＝∠BCO＝45°，∴△BHE是 等腰直角三角形.∵BE⊥CE，CE＝BC＝2，∴BE＝＝4，∴BH＝EH＝＝4.在Rt△BOH中，OH＝＝＝，∴OE＝HE＋OH＝4＋. 9.如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC的中点，连接AD.在AC上找一点E，使得∠CAD＝∠CBE，则AE＝________. 3 10.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为斜边作Rt△BDC，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E，若∠BAD＝∠CBD，且cos∠BAD＝，则AD的长为______. 【解析】∵BD⊥CD，DE⊥AD，∴∠CBD＋∠BCD＝90°＝∠BAD＋∠AED.∵∠BAD＝∠CBD，∴∠BCD＝∠AED.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BCD＋∠BED＝180°，∴点B，C，D，E四点共圆，又∵BD⊥CD，∴BC为圆的直径.如图，设BC的中点为点O，以点O为圆心，OB的长为半径作☉O，延长AD交☉O于点F，连接BF，CF，EF，CE.由圆周角定理得∠CFD＝∠CBD.又∵∠BAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠BAD，∴AB∥CF.∵∠BFC＝90°，∴∠EBF＝90°.又∵∠BEC＝90°，∴四边形BECF是矩形，∴CE＝BF.在Rt△ABF中，cos∠BAD＝＝＝，解得AF＝5， ∴CE＝BF＝＝3.∵AC＝3，∴AE＝ ＝3.在Rt△ADE中，AD＝AE·cos ∠BAD＝3×＝. 1. 如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为_________. 综合训练 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为平面直角坐标系内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为____________. 1＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝6，D是AB边上的动点，点E在线段CD上，连接AE，BE，且∠BCD＝∠CAE，则线段BE的最小值是______. 　2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 【多解法】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是边AB上一点，AE＝4，BE＝8，点F是边BC上一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值为________. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC＋∠PDC＝45°，则CP的最小值为__________. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE＝30°，过点D作DF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为___________. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为_______. 2－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图，在BE的上方作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O分别作OQ⊥BE于点Q，OJ⊥AD于点J.∵∠BPE＝∠EOB，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE长为半径的☉O，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AB＝3，AE∶EB＝1∶2，∴BE＝2.∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2.∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四边形 AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2.∵AD＝ 5，∴DJ＝AD－AJ＝4，∴OD＝＝2， ∴PD的最小值为OD－OP＝2－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. (2025烟台)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6 cm.点M从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以 cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P.在此过程中，点P的运动 路径长为______ cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图，连接BD交AC于J，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6，∴∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3，DJ＝BJ＝AJ·tan 30°＝，AD＝AB＝BD＝2＝CD，设运动时间为t，则AM＝t，CN＝t，∵＝，∴＝.又∵∠MAD＝∠NCA，∴△ADM∽△CAN，∴∠ADM＝∠CAN，∴∠APM＝∠DAP＋∠ADM＝∠DAP＋∠CAN＝30°，∴∠APD＝180°－30°＝150°，以AD为边，在AD上方作等边三角形ADO，以O为圆心，OD长为半径作圆，取点K， 连接AK，DK，∴OA＝OD＝AD＝2，∠AOD＝60°， ∠AKD＝×60°＝30°，∴∠AKD＋∠APD＝180°， ∴P在上运动，在此过程中，点P的运动路径长为 ＝(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. (2025资阳改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF(如图的所有点在同一平面内)，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为__________. 3－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2，∴∠ADC＝∠DAG＝∠AGC＝90°，∴四边形ADCG是正方形，∴CG＝AD＝AG＝CD＝2，∵AB＝4，∴BG＝AB－AG＝4－2＝2，∴BC＝＝＝2，∴当点A'到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，过点A'作A'H⊥BC，交BC的延长 线于点H，即当A'H最小时，△A'BC面积最小，∵E 是线段AD的中点，AD＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴DE＝AE＝AD＝×2＝1，由折叠的性质得，AE＝A'E＝1，∴点A'在以点E为圆心，1为半径的圆弧上运动，∴当点E，A'，H三点共线时，A'H最小，此时△A'BC的面积最小，延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，则DN∥EH，∴△MND∽△MHE，∵CG＝BG＝2，∠BGC＝90°，∴∠ABC＝∠BCG＝45°， ∵AB∥CD，∴∠DCM＝∠ABC＝45°， ∵∠CDM＝180°－∠ADC＝180°－90°＝90°， ∴△CDM是等腰直角三角形，∴DM＝CD＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 DN＝MN＝NC＝CM.∵CM＝＝＝2，EM＝DE＋DM＝1＋2＝3，∴DN＝CM＝×2＝，∵△MND∽△MHE，∴＝，即＝，∴EH＝，∴A'H＝EH－A'E＝－1，∴S△A'BC＝A'H·BC＝×(－1)×2＝3－， ∴△A'BC面积的最小值为3－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $