2 第六单元 第26讲 与圆有关的位置关系-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“与圆有关的位置关系”核心考点，对接新课标要求，涵盖点与圆、直线与圆位置关系，切线性质与判定，切线长定理及三角形外接内切圆等内容，分析5年4考（10-11分）的考点权重，归纳切线证明、线段计算等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于融合新疆5年中考真题训练与应试技巧指导，通过“连半径证垂直”“作垂直证半径”等切线判定方法，结合相似三角形应用（如△ACB∽△CEB）培养学生几何直观与推理能力，助力掌握解题逻辑，教师可依此精准规划复习，提升学生中考得分率。

《精讲册》 数学 第六单元　圆(11～20分) 第26讲　与圆有关的位置关系 (5年4考，10～11分) 目录 01 知识精讲练 新疆5年中考真题及拓展 03 重难点突破 02 知识精讲练 ①探索并掌握(改动)点与圆的位置关系. ②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.(删除) ③*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.(新增) 此处有 变化 返回目录 返回目录 点、直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 位置关系 d与r的关系 图示 点在圆外 d① 　r，如点C ☉O的半径是r，点到圆心O的距离是d 点在圆上 d② 　r，如点B 点在圆内 d③ r，如点A ＞ ＝ ＜ 返回目录 返回目录 2.直线与圆的位置关系(☉O的半径是r，圆心O到直线l的距离是d) 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r的关系 d④ r d⑤ 　r d⑥ 　r 公共点个数 0 1 2 ＞ ＝ ＜ 返回目录 返回目录 1. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M为AB的中点，以点C为圆心，r为半径作圆. (1)若r＝3，则点A在☉C____，点B在☉C_______，点M在☉C_____； (2)若r＝2，则直线AB与☉C的位置关系为________； (3)若直线AB与☉C相切，则r＝______； (4)若线段AB与☉C有唯一公共点，则r的取值范围为 ___________________. 上 外 内 相离 3＜r≤4或r＝　 返回目录 返回目录 切线的性质与判定 概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点 性质定理 圆的切线⑦ 于过切点的半径 判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 垂直 返回目录 返回目录 判定方法 (1)直线与圆的公共点已知：连半径，证垂直； (2)直线与圆的公共点未知：作垂直，证半径 【知识拓展】 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角； (2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，∠BAC＝∠ADC(解答题使用时需要证明) 返回目录 返回目录 2. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，过点C作☉O的切线交AD的延长线于点E，CE⊥AD. (1)若∠B＝55°，则∠ACE＝_____°； (2)写出图中一对相似三角形：___________________； (3)若BC＝6，AC＝8，则CE的长为_________. 55 △AEC∽△ACB 返回目录 返回目录 切线长与切线长定理   文字语言 几何语言 切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长 线段PA，PB 切线长定 理(*) 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长度相等，这一点和圆心的连线平分两条切线组成的夹角 PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，则PA＝PB，∠APO＝∠BPO 返回目录 返回目录 3. 【人教九上P101 T3改编】 如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝______. 2 返回目录 返回目录 三角形的外接圆与内切圆   三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心 外心：三角形三条边的⑧　 . 的交点 内心：三角形三个内角的 ⑨ 　的交点 图示 垂直平分线 角平分线 返回目录 返回目录   三角形的外接圆 三角形的内切圆 性质 文字语言 三角形的外心到三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三边的距离相等 几何语言 OA＝OB＝OC OD＝OE＝OF 角度关系 ∠BOC＝⑩　 ∠BAC ∠BOC＝90°＋∠BAC 2 返回目录 返回目录 【知识拓展】(1)若直角三角形的两条直角边、斜边的长分别为a，b，c，则它的外接圆的半径为，内切圆的半径为(切线长定理可得)或(等面积法可得)； (2)若△ABC的三边长分别为a，b，c，则它的内切圆半径为(等面积法可得) 返回目录 返回目录 4. 如图，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝______°. 50 返回目录 返回目录 5. 【人教九上P100例2改编】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，☉O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F. (1)若AC＝3，BC＝4，则 ①☉O的面积为_____；(结果保留π) ②AF＝_____； (2)若∠DOF＝110°，则∠A＝____°. π 2 70 返回目录 返回目录 圆中常用的定理 名称 弦切角定理 切割线定理 割线定理 相交弦定理 图形 PA为切线，∠1为弦切角 PA为切线，PC为割线 PB，PD为割线 弦AB与CD相交于点P 结论 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，即∠1＝∠2＝∠3 PA2＝PB·PC PA·PB＝PC·PD AP·BP＝CP·DP 返回目录 返回目录 名称 弦切角定理 切割线定理 割线定理 相交弦定理 推导 过程 ∵∠1＋∠α＝90°， ∠2＋∠α＝90°， ∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3. ∵△PAB∽△PCA， ∴＝， ∴PA2＝PB·PC. ∵△PAC∽△PDB， ∴＝， ∴PA·PB＝PC·PD. ∵△ADP∽△CBP， ∴＝， ∴AP·BP＝CP·DP. 返回目录 返回目录 重难点突破 切线的性质与判定 类型1　有公共点，连半径，证垂直 (2020新疆节选)如图，在☉O中，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D. 求证：DP是☉O的切线. 返回目录 返回目录 证明：如解图，连接OP， ∵P是的中点，∴＝，∴∠PAD＝∠PAB. ∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO， ∴∠DAP＝∠APO，∴AD∥OP. ∵PD⊥AD，∴PD⊥OP. ∵OP是☉O的半径，∴DP是☉O的切线. 返回目录 返回目录 变式1－1　如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，且CE＝DE，点F在AB的延长线上，连接OC，DF，∠F＝∠C.求证：DF是☉O的切线. 返回目录 返回目录 证明：如解图，连接OD.∵OC＝OD，CE＝DE， ∴OE⊥CD，∠OCD＝∠ODC，∴∠F＋∠CDF＝90° . ∵∠F＝∠C＝∠ODC， ∴∠ODC＋∠CDF＝90° ，即∠ODF＝90° ， ∴OD⊥DF. 又∵OD为☉O的半径，∴DF是☉O的切线. 返回目录 返回目录 变式1－2　如图，已知☉O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与☉O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA，求证：ED是☉O的切线. 返回目录 返回目录 证明：如解图，连接OD. ∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°. ∴△AOE≌△DOE(SSS)， ∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED. 又∵OD是☉O的半径，∴ED是☉O的切线. 在△AOE与△DOE中，， 返回目录 返回目录 类型2　无公共点，作垂直，证半径 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O.以O为圆心，OC长为半径作☉O. 求证：AB是☉O的切线. 证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F. ∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF， ∴OF是☉O的半径，∴AB是☉O的切线. 返回目录 返回目录 圆中线段的计算 　(2024乌鲁木齐二模改编)如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作☉O，交AC于点F，过点C作CD⊥AC交AB延长线于点D，过点B作☉O的切线交CD于点E.若AF＝2，tan A＝2，求BE的长. 返回目录 返回目录 解：设CD与☉O交于点G，连接BF，BG，如解图. ∵BC为☉O的直径，∴∠CFB＝∠CGB＝90° . ∵CD⊥AC ，∴四边形CFBG为矩形. ∴BG＝FC，BF＝CG. 在Rt△AFB中，∵AF＝2，tan A＝＝2， ∴BF＝4，∴CG＝4. 返回目录 返回目录 设AC＝BC＝x，则CF＝x－2. 在Rt△CFB中，∵CF2＋BF2＝BC2， ∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5， ∴FC＝3，BC＝5.∴BG＝3. ∵BE是☉O的切线，∴∠CBE＝90°. 又∵BG⊥CE，∴易得△CBG∽△BEG，∴＝， 即＝，∴EG＝.∴BE＝＝. 返回目录 返回目录 变式3　(2025威海改编)如图，PA，PB是☉O的切线，点A，B为切点. PB，AO的延长线交于点C，连接AB，若AP＝4，sin C＝，求☉O的半径. 返回目录 返回目录 ∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C， ∴△CBO∽△CAP，∴＝，即＝，∴OB＝， 即☉O的半径为. 解：如解图，连接OB， ∵PA，PB是☉O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠CAP＝90°，AP＝4，sin C＝＝，∴PC＝6， ∴AC＝＝2. 返回目录 返回目录 圆中常见辅助线的作法 (1)辅助线1：连接圆上一点和圆心构造半径，常用到等边对等角或垂径 定理； (2)辅助线2：连接直径一端点和圆上一点构造90°角，常用到直角三角形的性质； (3)辅助线3：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理求解. 返回目录 返回目录 圆中常见相似三角形 条件：∠ACB＝∠AED(图1) 结论：△ACB∽△AED 条件：CD是☉O的切线(图2) 结论：△ACD∽△CBD∽△ABC 返回目录 返回目录 条件：CE是☉O的切线(图3) 结论：△ACB∽△CEB∽△DEC 条件：D是弧AB的中点(图4) 结论：△ACD∽△ECB； △ADE∽△CBE 返回目录 返回目录 新疆5年中考真题及拓展 1 2 3 4 与切线性质有关的证明与计算(2022.22) 1. (2022新疆22题)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，点D在☉O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E. (1)求证：∠ABC＝∠CAD； 证明：∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD. 返回目录 返回目录 (2)求证：BE⊥CE； 证明：如图，连接OC，∵CE与☉O相切于点C， ∴∠OCE＝90°.∵四边形ADBC是☉O的内接四边形， ∴∠CAD＋∠DBC＝180°.∵∠DBC＋∠CBE＝180°， ∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE，∴∠E＝180°－∠OCE＝90°， ∴BE⊥CE. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 (3)若AC＝4，BC＝3，求DB的长. 解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝ ＝5，DC＝AC＝4.∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，∴△ACB∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝.∵∠ABC＝∠CBE，∠ACB＝∠E，∴△ACB∽△CEB，∴＝，即＝，∴BE＝，∴DB＝DE－BE＝－＝. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 与切线判定有关的证明与计算(5年3考) 2. 【多解法】 (2025新疆22题11分)如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE＝2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D. (1)求证：CE是☉O的切线； 证明：如图，连接OC. ∵CF⊥AB于点F， ∴∠CFO＝90°. ∵OC＝OA， ∴∠COF＝2∠A. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 ∵∠FCE＝2∠A，∴∠COF＝∠FCE. ∵∠COF＋∠OCF＝90°， ∴∠FCE＋∠OCF＝90°， 即∠OCE＝90°，∴OC⊥CE. 又∵OC为☉O的半径， ∴CE是☉O的切线. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 (2)若tan∠BCE＝，BE＝1，求DG的长. 解：解法一：∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠OCE＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ACO＝∠A. ∵∠E＝∠E，∴△BCE∽△CAE， 1 2 3 4 返回目录 返回目录 ∴＝＝. ∵tan∠BCE＝tan A＝＝， ∴＝＝＝. ∵BE＝1，∴CE＝2，AE＝4， ∴AB＝AE－BE＝3. ∵BD∥CE， ∴∠BCE＝∠GBC，△ABD∽△AEC， 1 2 3 4 返回目录 返回目录 ∴＝，即＝，∴BD＝. ∵∠BCE＝∠A＝∠FCE＝∠BCG，∠BCE＝∠GBC， ∴∠BCG＝∠GBC，∴GB＝CG. ∵∠GDC＋∠GBC＝90°，∠GCD＋∠GCB＝90°， ∴∠GDC＝∠GCD，∴DG＝CG， ∴DG＝CG＝GB＝BD＝. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 解法二：∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. 如解图，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠ACB＝∠OCE，∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠A＝∠ACO＝∠BCE. ∵BD∥CE，∴∠BCE＝∠DBC， ∴tan∠BCE＝tan A＝tan∠DBC＝. 设CD＝a，则BC＝2a，AC＝4a，AD＝3a， 1 2 3 4 返回目录 返回目录 1 2 3 4 由勾股定理可得AB＝2a. ∵BD∥CE，∴＝，即＝，解得a＝， 故AB＝3，AC＝，AD＝，BC＝， ∴BD＝＝. 又∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CF， ∴CF＝＝，∴BF＝＝. 返回目录 返回目录 1 2 3 4 ∵cos A＝＝＝， ∴AH＝AD·cos A＝×＝， ∴BH＝AB－AH＝3－＝.∴BF＝BH， ∵CF∥DH，∴DG＝BD＝. 返回目录 返回目录 3. (2023新疆22题)如图，AB是☉O的直径，点C，F是☉O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H. (1)求证：CE是☉O的切线； 1 2 3 4 返回目录 返回目录 证明：如解图，连接OC， ∵∠CBF＝∠BAC，∠CAF＝∠CBF， ∴∠BAC＝∠CAF. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠CAD＝∠OCA，∴OC∥AD. ∵∠D＝90°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE. 又∵OC是☉O的半径， ∴CE是☉O的切线. 1 2 3 4 解图 返回目录 返回目录 (2)若tan E＝，BE＝4，求FH的长. 解：设☉O的半径为r， 在Rt△OCE中，∵tan E＝＝， ∴设OC＝3k，CE＝4k，则OE＝5k， ∴＝＝＝，∴r＝6. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠D，∴BF∥DE， 1 2 3 4 返回目录 返回目录 ∴sin E＝sin∠ABF＝＝＝＝，∴AF＝. ∵∠ABF＋∠BAF＝∠AFG＋∠BAF＝90°， ∴∠AFG＝∠ABF＝∠E. 又∵∠FAH＝∠EAC，∴△AFH∽△AEC， ∴＝. ∵r＝6，∴OE＝10，CE＝8，AE＝16， ∴＝，∴FH＝. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 4. (2021新疆22题)如图，AC是☉O的直径，BC，BD是☉O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 (1)求证：DE是☉O的切线； 证明：如解图，连接OD， ∵CD平分∠ACE，∴∠OCD＝∠DCE. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BE. ∵DE⊥BC，∴DE⊥OD. 又∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线. 1 2 3 4 解图 返回目录 返回目录 (2)求证：∠CDE＝∠DBE； 证明：如解图，连接AB， ∵AC是☉O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠DBE＝90°. ∵＝，∴∠ABD＝∠ACD. ∵∠ACD＝∠DCE，∴∠ABD＝∠DCE. ∵∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DBE. 1 2 3 4 解图 返回目录 返回目录 (3)若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 ∵M为BC的中点，∴OM⊥BC，BM＝BC＝. 在Rt△BFM中，BM＝，tan∠FBM＝，∴＝，∴FM＝， ∴BF＝＝. 1 2 3 4 解：在Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE＝， ∴＝，∴CE＝4.由(2)知，∠CDE＝∠DBE， ∴tan∠DBE＝，∴＝，∴BE＝9， ∴BC＝BE－CE＝5. 返回目录 返回目录 与圆有关的证明与计算 ——见《二轮重难题型培优》P23～28 返回目录 返回目录 请完成《课后提升练》P51－52习题 返回目录 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $