5 第五单元 提分专题八 四边形中的常考模型-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦四边形核心考点（10～20分），严格对接中考说明，系统梳理对角互补、半角、十字等常考模型，分析各模型考查权重，归纳构造全等、旋转法等解题方法，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型精讲+多解法+真题训练”模式，如例1通过对角互补模型和四点共圆等多解法解析，培养学生几何直观与推理能力。针对训练融入2024克拉玛依二模等真题，帮助学生掌握构造技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

《精讲册》 数学 第五单元　四边形(10～20分) 提分专题八　四边形中的常考模型 对角互补模型 类型 90°角的对角互补 60°，120°角的对角互补 构造 方法 作垂线：作DE⊥BC，DF⊥BA 作等角：作∠CDE＝∠ADB 作垂线：作DE⊥BC，DF⊥BA 作等角：作∠CDE＝∠ADB 类型 90°角的对角互补 60°，120°角的对角互补 结论 ①△DAF∽△DCE ②若BD平分∠ABC，则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD， S四边形ABCD ＝BD2 ①△DAB∽△DCE ②若BD平分∠ABC，则△DAB≌△DCE ①△DAF∽△DCE ②若BD平分∠ABC， 则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD， S四边形ABCD＝BD2 ①△DAB∽△DCE ②若BD平分∠ABC， 则△DAB≌△DCE 【多解法】一副三角板按如图所示方式摆放，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠CAD＝60°，连接BD交AC于点O，若AC ＝6，则BD的长为____________. (1)∠ABC＝90°，AB＝CB⇨△ABC是等腰直角三角形 (2)∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AC长度⇨△ADC是直角三角形，AD，CD长度 特征：∠ABC＝∠ADC＝90°(即∠ABC＋∠ADC＝180°)，AB＝CB⇨符合“对角互补”模型，构造全等三角形 作法：如图，过点B作 BE⊥DA，交DA的延长线于点 E， 作 BF⊥DC于点F (1)“对角互补”模型⇨△ABE≌△CBF⇨BE＝BF (2)△ABC是等腰直角三角形，△ADC是直角三角形⇨BD长度 【解析】如图，过点B作BE⊥DA，交DA的延长线于点E，作BF⊥DC于点F，∵∠ADC＝90°，∴∠EBF＝90°，易知四边形BEDF是矩形.∵∠ABE＋∠ABF＝90°，∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠ABE＝ ∠CBF.在△ABE和 边形BEDF是正方形，∴DF＝DE.∵∠CAD＝60°，AC＝6， ∴AD＝3，CD＝3，∴DE＝＝， ∴BD＝DE＝. △CBF中，， ∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴BE＝BF，∴四 更多解法 解法一：对角互补模型 解法二：四点共圆 解法三：四点共圆 作∠CBD'＝∠ABD 点A，B，C，D四点共圆，过点A作AH⊥BD于点H 点A，B，C，D四点共圆，过点C作CG⊥BD于点G 解法一(对角互补模型)：如图1，作∠CBD'＝∠ABD，可证△ABD≌△CBD'，∴BD＝BD'，∴△DBD'是等腰直角三角形，∴BD＝DD'.∵AC＝6，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴AD＝3，CD＝3，∴BD＝(AD＋CD)＝. 图1 解法二(四点共圆)：如图2，过点A作AH⊥BD于点H， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆， ∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵＝，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADH是等 腰直角三角形，∴DH＝AH＝AD.∵AC＝6，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴AD＝3，∠ACD＝30°，∴AH＝.在Rt△ABH中，∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BH＝AH＝，∴BD＝DH＋BH＝. 图2 解法三(四点共圆)：如图3，过点C作CG⊥BD于点G，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∵CG⊥BD，∴△BCG是直角三角形，可证∠BCG＝30°，∴BG＝BC＝.在△DCG中，可证∠BDC＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形， ∴DG＝DC＝，∴BD＝BG＋DG＝. 图3 1.如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°.若∠BDE＝45°，DF＝6，则BE的长为_________. 2 2.(2024克拉玛依白碱滩区二模)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64，则AC的长为_______. 8 半角模型 类型 120°含60° 90°含45° 2α含α 正方形含半角 菱形含半角 条件 ∠BDC＝120°， BD＝CD， ∠EDF＝∠A＝60° ∠BAC＝90°， AB＝AC， ∠DAE＝45° ∠BAC＝2α，AB＝AC， ∠DAE＝∠BAC＝α 正方形ABCD， ∠EAF＝45° 菱形ABCD， ∠BAD＝120°， ∠EAF＝60° 变形 (旋转法) △BDE绕点D 顺时针旋转120° △BAD绕点A逆时针旋转90° △BAD绕点A逆时针旋转2α △ADF绕点A顺时针旋转90° △ABE绕点A逆时针旋转120° 结论 ①△DEF≌△DGF； ②EF＝BE＋CF ①△ADE≌ △AFE； ②∠ECF＝90°； ③DE2＝BD2＋EC2 ①△ADE≌△AFE； ②∠ECF＝180°－2α ①△AGE≌△AFE； ②连接GF，可得△GAF为等腰直角三角形； ③EF＝BE＋DF ①△AEF≌ △AGF； ②连接AC，可得△AEC≌△AFD；△AEF为等边三角形 【多解法】如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系为_____________. EF＝BE＋DF　 (1)四边形ABCD是正方形⇨四个角是直角，四条边相等 (2)∠EAF＝45°⇨∠BAE＋∠DAF＝45° 特征：∠BAD＝90°，∠EAF＝45°⇨符合“半角”模型，构造全等三角形 作法：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG “半角”模型⇨△AGE≌△AFE⇨EG＝EF 【解析】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，∵∠ABE＋∠ABG＝180°，∴G，B，E三点共线.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF.在△AGE和△AFE中，，∴△AGE≌△AFE(SAS)， ∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋DF. 更多解法 解法一：十字模型 解法二：手拉手模型(相似) 解法三：对称 作FG⊥AE交AB于点G，FH⊥AB于点H 连接AC，BD，BD分别交AE，AF于点G，H 作点B关于AE的对称点G，连接AG 解法一(十字模型)：如图1，过点F作FG⊥AE交AB于点G，FH⊥AB于点H，可证△ABE≌△FHG，△AEF≌△FGA，∴BE＝HG，EF＝GA，∵GA＝AH＋GH，∴EF＝DF＋BE. 图1 解法二【手拉手模型(相似)】：如图2，连接AC，BD，BD分别交AE，AF于点G，H，易证△ABG∽△ACF，△AHD∽△AEC，进而证得△AGH∽△AFE，∴EF＝GH.∵BC＋CD＝BD＝(BG＋GH＋HD)＝CF＋EF＋CE，∴BE＋DF＝BC＋CD－CE－CF＝EF. 图2 解法三(对称)：如图3，作点B关于AE的对称点G，连接AG，可证△GAF≌△DAF，∴∠AGF＝∠ADF，GF＝DF，∴∠AGE＋∠AGF＝180°，∴E，G，F三点共线，∴EF＝GE＋GF＝BE＋DF. 图3 3.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝ 120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF，则△AEF的周长为(　　) A. 　　　 B. a　　　C. 2a　　　 D. 4a C 4.如图，△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，点E，F在AB边上，∠ECF＝∠ACB，若AE＝2，EF＝3，则BF的长为(　　) A. 　　 B. C. 2　　 D. 3 B 十字模型 图形 正方形 矩形 拓展图形 基本图形 图形延伸 基本图形 图形延伸 直角三角形 平行四边形 结 论 △ABF≌△DAE； BF＝AE △EFM≌ △GHN； EF＝GH △CDE∽△BCD； ＝ △EFM∽△HGN； ＝ △CBD∽△ACG； 若AC＝BC， 则△CBD≌△ACG ＝ 【温馨提示】正方形内“十字”模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 【多解法】如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交AD于点F，交CE于点G，连接DG，若AB＝2，则DG的长为_____. 2 (1)正方形ABCD⇨四个角是直角，四条边相等 (2)E是AB边上的中点，AB长度⇨AE＝BE，AE，BE长度 (3)BF⊥CE⇨BF＝CE 特征：BF⊥CE⇨符合“十字”模型，构造全等三角形 作法：如图，过点D作DM⊥CG，垂足为M，延长DM交BC于点N，连接GN (1)“十字”模型⇨△DCN≌△CBE (2)DM⊥CG，N是BC的中点⇨DG＝DC 【解析】如图，过点D作DM⊥CG，垂足为M，延长DM交BC于点N，连接GN.∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB＝AB＝2，∠DCN＝∠CBE＝90°.∵E是AB边上的中点，∴AE＝BE＝1，∠CDN＋∠CND＝∠BCE＋∠CND ＝90°，∴∠CDN＝∠BCE.在△DCN和△CBE中，，∴△DCN≌△CBE(ASA)，∴CN＝BE＝BN＝1， ∴N为BC的中点，∴NG＝NC.∵DN⊥CG， ∴DN垂直平分CG，∴DG＝DC＝2. 更多解法 解法一： 全等＋三角函数 解法二： 平行＋中点 解法三： 四点共圆 解法四： 建立平面直角坐标系 过点D作DM⊥ CG，垂足为M 延长CD，BF交于点M ∠FDC＝∠FGC＝90°，则点D，F，G，C四点在以FC为直径的圆上 以点A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系 解法一(全等＋三角函数)：如图1，过点D作DM⊥CG，垂足为M，可证△DCM≌△CBG，由DM＝CG＝，CM＝BG＝，得M为CG的中点，∵DM⊥CG，∴DG＝DC＝2. 图1 解法二(平行＋中点)：如图2，延长CD，BF交于点M，由题意，知△CBE≌△BAF，∴AF＝BE＝1，则F为AD的中点.可证△DMF≌△ABF，则DM＝AB＝DC，D为MC的中点.在Rt△MGC中，利用斜边中线等于斜边一半，得DG＝DC＝2. 图2 解法三(四点共圆)：如图3，∵∠FDC＝∠FGC＝90°，∴D，F，G，C四点在以FC为直径的圆上.可证△DCF≌△BCE，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠DCG＝∠DGC，则DG＝DC＝2. 图3 解法四(建立平面直角坐标系)：如图4，建立平面直角坐标系，求得点G坐标为(，)，利用两点间的距离公式可得DG＝2. 图4 5. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点P，Q分别是边AD，BC上的点，将顶点A沿PQ折叠至DC边上的点E，若DE＝5，则折痕PQ的长为______. 13 6. 在Rt△ACB中，AC＝8，BC＝6，点D为AC的中点，连接BD，过C作CE⊥BD交AB于E，则AE的长为______. 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $