3 第四单元 提分专题四 遇到中点、角平分线如何添加辅助线-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“中点、角平分线辅助线添加”核心考点，对接中考三角形单元21-33分考查要求，梳理5种中点辅助线类型（倍长中线、中位线等）和角平分线辅助线方法，归纳直角三角形、等腰三角形等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“一题串讲+多解训练”模式，如例1通过中位线+相似、坐标系法等3种解法，培养学生推理能力与运算能力。综合训练含新疆多地模拟题，助力学生掌握辅助线技巧，教师可依此强化考点突破，提升学生中考得分率。

《精讲册》 数学 第四单元　三角形(21～33分) 提分专题四　遇到中点、角平分线如何添加辅助线(2023.8) 目录 01 基础思考路径 基础思考路径 03 一题串讲方法 02 一题串讲方法 04 综合训练 05 基础思考路径 遇到中点如何添加辅助线 头脑 风暴 返回目录 返回目录 一题串讲方法 【多解法】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为______. 去罗马的路，可不止一条 返回目录 返回目录 (1)∠ACB＝90°，AC，BC长度⇨AB长度 (2)CD⊥AB，AC，BC，AB长度⇨CD长度(等面积法)⇨AD，BD长度 E为BC中点⇨构造中位线 作法：如解图，取CD中点M，连接EM，可得DM长度 (1)中位线定理⇨EM∥BD，EM＝BD； (2)EM∥BD⇨△EMF∽△ADF⇨＝⇨DF长度 (3)E为BC中点⇨CE＝BE 返回目录 返回目录 【解析】如图，取CD的中点M，连接EM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5.∵CD⊥AB，∴S△ABC＝·AC·BC＝·AB·CD，∴CD＝， ∴DM＝，AD＝＝＝，BD＝AB－AD＝5－＝.由中位线定理，得EM∥BD，EM＝BD＝，∴△EMF∽△ADF，∴＝，即＝，解得DF＝. 返回目录 返回目录 更多解法 解法一：中位线＋相似 解法二：倍长中线＋相似 解法三：建立平面直角坐标系 返回目录 返回目录 解法一(中位线＋相似)：如图1，取BD的中点M，连接EM，则DM＝，由中位线定理，得EM∥CD，EM＝CD＝，∴△ADF∽△AME，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DF＝. 图1 返回目录 返回目录 解法二(倍长中线＋相似)：如图2，延长AE至点M，使ME＝AE，连接CM，BM，易证四边形ABMC是平行四边形，∴CM＝AB＝5，CM∥AB，∴△ADF∽△MCF，∴ ＝ ＝ ＝，∴DF＝ CD ＝ . 图2 返回目录 返回目录 解法三(建立平面直角坐标系)：如图3，以C为原点， 直线CA为x轴，直线CB为y轴建立平面直角坐标系，易 求得点E的坐标为(0，2)，点D的坐标为(，).根据待 定系数法求得直线AE的表达式为y＝－x＋2①，直线CD 的表达式为y＝x②.联立①②求得点F的坐标为(，)，由两点间距离公式得CF＝，∴DF＝CD－CF＝. 图3 返回目录 返回目录 基础思考路径 遇到角平分线如何添加辅助线(2023.8) 头脑 风暴 返回目录 返回目录 一题串讲方法 【多解法】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB， BD⊥AD，若AB＝5，AC＝3，则AD的长为 (　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.2 D 返回目录 返回目录 (1)∠ACB＝90°，AB，AC长度⇨BC长度； (2)AD平分∠CAB⇨∠CAE＝∠BAE (3)∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，BD⊥AD⇨△AEC∽△ABD ∠ACB＝90°，AD平分∠CAB⇨向∠BAC另一边作垂线(角平分线的性质) 作法：如解图，过点E作EF⊥AB于点F (1)向∠BAC另一边作垂线⇨Rt△ACE≌Rt△AFE⇨AF，BF长度 (2)设 CE＝x，用含x的式子表示EF，BE长度⇨x的值(勾股定理)⇨AE长度 (3)由△AEF∽△ABD⇨＝⇨AD长度 返回目录 返回目录 【解析】如解图，过点E作EF⊥AB于点F，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴EF＝CE.∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4.在Rt△ACE和Rt△AFE中，∵，∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)，∴AF＝AC＝3，∴BF＝5－3＝2.设CE＝x，则EF＝x，BE＝4－x，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22，解得x＝，∴AE＝＝＝.∵∠AFE＝∠D＝90°，∠EAF＝∠DAB，∴△AEF∽△ABD，∴＝，即＝， ∴AD＝2. 返回目录 返回目录 更多 解法 解法一：全等＋等面积 解法二：射影定理 解法三：四点共圆 返回目录 返回目录 解法一(全等＋等面积)：如图1，延长AC，BD交于点F，∵AD平分∠CAB，∴∠FAD＝∠BAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF.∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA).∴AF＝AB＝5，又∵AC＝3，∴BC＝4，CF＝2，∴BF＝＝2.由等面积法，得BF·AD＝AF·BC，解得AD＝2. 图1 返回目录 返回目录 解法二(射影定理)：如图2，作DH⊥AB，垂足为H，交BC于点F，倒角知∠FDB＝∠FBD，∴FD＝FB，易知△ABC∽△FBH.设FH＝3x，则BH＝4x，BF＝5x，则FD＝5x，AH＝5－4x.由DH2＝AH·BH，得(8x)2＝(5－4x)·4x，解得x＝，∴AH＝4，DH＝2，∴AD＝＝2. 图2 返回目录 返回目录 解法三(四点共圆)：如图3，由∠ACB＝∠ADB ＝90°，知A，C，D，B四点共圆，取AB中点O， 连接OD，交BC于点H，易知∠CAD＝∠BAD＝ ∠ADO，∴DO∥AC，OD⊥BC.∵AC＝3，AB＝5， ∠ACB＝90°，∴BC＝4，∴OH＝AC＝，DH＝1，BH＝CH＝BC＝2，∴BD＝＝，∴AD＝＝2. 图3 返回目录 返回目录 综合训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1. (2025乌鲁木齐校级模拟)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝___________. 1 返回目录 返回目录 2. (2025吐鲁番校级期末)如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF.若AC＝5，BC＝12，则EF的长为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.5 返回目录 返回目录 3. 【多解法】如图，∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C.若DC＝4，则OC的长为___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8＋4 返回目录 返回目录 4. 【多解法】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∠ABC的平分线BD交AC于点D，则BD的长为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 5. 如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝10，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则DC的长度为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 6. (2025乌鲁木齐新市区一模)已知菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE＝5，sin ∠EAF＝，则AB的长为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 7. 【多解法】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB∶AD＝3∶5，过点D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连接CD，F为DC的中点，连接EF，则线段EF的长为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 8. 【多解法】(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的 长为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 10. 【多解法】如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，AB＝9，AD＝4.若∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，则BC的长是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】解法一(截长法)：如图1，在AB边上截取AE＝AD，连接CE.∵∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠ACD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝ 36，∴AC＝6.在△AEC和△ADC中，∴△AEC≌△A DC(SAS)，∴∠ACE＝∠ACD＝∠B，CD＝CE. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠ECB＝∠B，∴EC＝BE， ∴CD＝CE＝BE＝AB－AE＝5.∵△ABC∽△ACD， ∴＝，∴BC＝＝＝. 图1 返回目录 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解法二(补短法)：如图2，延长AD至点E，使AE＝AB，连接CE.∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，AC＝AC，∴△BAC≌△EAC(SAS)，∴BC＝EC，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ACE.∵∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠E＝∠ACD＝∠DCE，∴CD＝DE＝AE－AD＝9－4＝5，又∵∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴＝，＝，∴＝， 解得AC＝6，∴＝，解得CE＝，∴BC＝. 图2 返回目录 返回目录 11. 如图，在菱形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE， AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接 EN，CN.求证：EN＝CN. 证明：连接AN，如解图. ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD对称，∴AN＝CN， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN，∴EN＝CN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解图 返回目录 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $