9 第三单元 第15讲 第2课时 二次函数与几何图形综合-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数综合题核心考点，对接新疆中考说明，分析其5年2考（12-13分）的权重，系统梳理求解析式、面积最值、相似三角形等常考题型，通过例题详解考点突破方法，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“重难点突破+新疆5年真题拓展”模式，如通过2023年中考题示范角度转化（∠DPA=2∠ACO）等解题技巧，培养学生数学思维与模型意识，助力掌握分类讨论、坐标法等应试方法，教师可依此制定精准复习计划，帮助学生高效冲刺中考。

《精讲册》 数学 第三单元　函　数(22～37分) 第15讲　二次函数综合题(5年2考，12～13分) 第2课时　二次函数与几何图形综合(2023.23) 目录 01 重难点突破 新疆5年中考真题及拓展 02 二次函数与几何图形结合 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过B，C两点，且交x轴于另一点A(－1，0). 点P为抛物线在第一象限内的一点，过点P作PD∥y轴，交BC于点Q，交x轴于点D. (1)求抛物线的解析式； 重难点突破 返回目录 返回目录 解：∵直线y＝－x＋4交坐标轴于B，C两点， ∴B(4，0)，C(0，4). ∵抛物线y＝ax2＋bx＋4经过B，C两点，且交x轴于另一点A(－1，0)， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 返回目录 返回目录 (2)连接PB，求△PCB面积的最大值； (2)S△PCB⇨S△PCQ＋S△PBQ，点B，C之间的水平距离固定，可将△PCB面积最大值转换为线段PQ的最大值 返回目录 返回目录 解：设点P的坐标为(m，－m2＋3m＋4)(0＜m＜4)， 则Q(m，－m＋4)， ∴PQ＝－m2＋3m＋4－(－m＋4)＝－(m－2)2＋4， ∵－1＜0， ∴当m＝2时，PQ取得最大值，最大值为4，此时S△PCB＝×4×4＝8. (3)若PC＝PQ，求点P的坐标； (3)根据已知可将线段问题转化为角度问题： ①B，C坐标，PD∥y轴⇨∠OCB＝∠PQC＝45°； ②利用PC＝PQ⇨∠PQC＝∠PCQ＝45°⇨∠PCO＝90°⇨P坐标 返回目录 返回目录 解：∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC＝4， ∵PD∥y轴，∴∠OCB＝∠OBC＝∠BQD＝∠PQC＝45°. ∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC＝45°， ∴∠PCO＝∠PCQ＋∠OCB＝90°. 又∵∠AOC＝90°，∴CP∥AB，∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为4， 当y＝4时，－x2＋3x＋4＝4，解得x＝3或x＝0(舍去)，∴P(3，4). 返回目录 返回目录 (4) 连接AC，OP，当以O，D，P为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的横坐标； (4)相似三角形的对应顶点未指明，分类讨论：①△ODP∽△AOC； ②△PDO∽△AOC 返回目录 返回目录 解：如解图，∵PD⊥x轴于点D，∠AOC＝90° ， ∴ 要使△OPD与△AOC相似，只需有一个锐角相等. ①当∠CAO＝∠P1OD1时，AC∥OP1， 由(1)知，A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)， 设直线AC的解析式为y＝kx＋q(k≠0)， 解图 返回目录 返回目录 把A(－1，0)，C(0，4)代入，得， 解得，∴直线AC的解析式为y＝4x＋4， ∴直线OP1的解析式为y＝4x， 联立， 解得x＝或x＝(舍去)， ∴点P1的横坐标为； 解图 返回目录 返回目录 ②当∠CAO＝∠OP2D2时，△AOC∽△P2D2O， ∴＝. 点P2的坐标为(m，－m2＋3m＋4)， 则点D2的坐标为(m，0)， ∴OD2＝m，P2D2＝－m2＋3m＋4. ∵OA＝1，OC＝4， ∴4＝， 解图 返回目录 返回目录 解得m＝或m＝(舍去)， ∴点P2的横坐标为. 综上所述，点P的横坐标为或. 解图 返回目录 返回目录 (5)连接AC，AP，当∠DPA＝2∠ACO时，求点P的横坐标. (5)角度问题转化为线段问题：设AP与y轴交于点E，∠DPA＝2∠ACO⇨∠AEO＝2∠ACO⇨AE＝CE⇨点P横坐标 返回目录 返回目录 解：如解图，设AP与y轴交于点E， ∵PD∥y轴，∴∠DPA＝∠OEA. ∵∠DPA＝2∠ACO，∴∠OEA＝2∠ACO. ∵∠OEA＝∠ACE＋∠CAE，∴∠ECA＝∠EAC，∴AE＝CE.设OE＝a，则CE＝4－a，∴AE＝4－a， 在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2＋OA2＝AE2， ∴a2＋12＝(4－a)2，解得a＝，∴E(0，). 设AP所在直线的解析式为y＝fx＋e(f≠0)， 解图 返回目录 返回目录 把A(－1，0)，E(0，)代入，得， 解得，∴ 直线AP的解析式为y＝x＋. 联立，得－x2＋3x＋4＝x＋，解得x＝(不合适的值已舍去)， ∴点P的横坐标为. 解图 返回目录 返回目录 新疆5年中考真题及拓展 1 2 3 1.(2020新疆23题)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 返回目录 返回目录 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(1，3)，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B(3，－1).把B(3，－1)代入y＝a(x－1)2＋3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，即y＝－x2＋2x＋2. 1 2 3 返回目录 返回目录 (2)P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A'MN，设点P的纵坐标为m. ①当△A'MN在△OAB内部时，求m的取值范围； 解：∵B(3，－1)，∴直线OB的解析式为y＝－x.∵A(1，3)，∴C(1，－).∵P(1，m)，AP＝A'P，∴A'(1，2m－3)，由题意，得－＜2m－3＜3，∴＜m＜3. 1 2 3 返回目录 返回目录 ②是否存在点P，使S△A'MN＝S△OA'B？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 返回目录 返回目录 解：存在点P，使S△A'MN＝S△OA'B.易得直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝－2x＋5，不妨设点M在点N的左边，当点P在x轴上及x轴上方时，点M在OA上，点N在AB上，∵P(1，m)，∴M(，m)，N(，m)，∴MN＝－＝，∴S△A'MN＝ ×(3－m)×＝m2－m＋. 1 2 3 返回目录 返回目录 (ⅰ)当点A'在点C上方时，＜m＜3，A'C＝2m－，∴S△OA'B＝×(2m－)×3＝3m－4.∵S△A'MN＝S△OA'B，∴m2－m＋＝(3m－4)，∴m2－12m＋17＝0，解得m1＝6＋(舍去)，m2＝6－ (ⅱ)当点A'在点C下方，且点P在x轴上或x轴上方时，0≤m＜，A'C＝－2m，∴S△OA'B＝×(－2m)×3＝4－3m.∵S△A'MN ＝S△OA'B，∴m2－m＋＝(4－3m)，此时方程无解； 1 2 3 返回目录 返回目录 (ⅲ)当点P在x轴下方时，－＜m＜0，点M在OB上，点N在AB上，∵P(1，m)，∴M(－3m，m)，N(，m)，∴MN＝，AP＝3－m，A'C＝－2m.同理可得×(3－m)×＝××(－2m)×3，整理，得m2－4m－＝0，解得m3＝(舍去)，m4＝. 综上所述，满足条件的m的值为6－或. 1 2 3 返回目录 返回目录 2.(2019新疆23题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)， 将C(0，4)代入，得－4a＝4，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. ∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋， ∴顶点D的坐标为(，). 1 2 3 返回目录 返回目录 (2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h(h＞0)个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求h的取值范围； 解：抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h(h＞0) 个单位长度，得到新抛物线的顶点D'(－h，)， 易得直线AC的解析式为y＝4x＋4， 直线BC的解析式为y＝－x＋4， 将点D'的坐标代入直线AC的解析式，得＝4(－h)＋4，解得h＝， 将点D'的坐标代入直线BC的解析式，得＝－(－h)＋4，解得h＝0， ∴h的取值范围为0＜h＜. 1 2 3 返回目录 返回目录 (3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积. 1 2 3 解：如解图，设直线PQ交x轴于点H， 由题意，得OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∵PQ⊥x轴，∴∠PHB＝90°，∴∠CPQ＝∠BPH＝∠OBC＝45°.易得AB＝5，BC＝4， 设Q(m，－m2＋3m＋4)，则P(m，－m＋4)， ∴CP＝m，PQ＝－m2＋3m＋4＋m－4＝－m2＋4m. ①当△ABC∽△QPC时，＝，即＝， 解图 返回目录 返回目录 1 2 3 解得m＝或m＝0(舍去)，∴PQ＝－()2＋4×＝， ∴S△PQC＝××＝； ②当△ABC∽△CPQ时，＝，即＝， 解得m＝或m＝0(舍去)，∴PQ＝－()2＋4×＝， ∴S△PQC＝××＝. 综上所述，△PQC的面积为或. 解图 返回目录 返回目录 3.(2023新疆23题)【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE.求证：△ACB≌△BDE； 1 2 3 返回目录 返回目录 证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD， ∴∠ACB＝∠ABE＝∠BDE＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠DBE＝90° ， ∴∠A＝∠DBE. 在△ACB和△BDE中，， ∴△ACB≌△BDE(AAS). 1 2 3 返回目录 返回目录 【类比迁移】(2)如图2，一次函数y＝3x＋3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D. ①求点C的坐标； 1 2 3 返回目录 返回目录 解：如图2，过点C作CE⊥x轴于点E，根据题意，得AB＝BC.由(1)同理得△BCE≌△ABO，∴CE＝OB，BE＝OA .易得一次函数y＝3x＋3的图象与x轴交点为B(－1，0)，与y轴交点为A(0，3)， ∴CE＝OB＝1，BE＝OA＝3， ∴点C的坐标为(－4，1). 1 2 3 图2 返回目录 返回目录 ②求直线AC的解析式； 解：设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将A(0，3)，C(－4，1)代入y＝kx＋b中， ∴直线AC的解析式为y＝x＋3. 得，解得， 1 2 3 返回目录 返回目录 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y＝x2－3x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点Q(0，－1)，连接BQ. 抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝？若存在，求出点M的横坐标. 1 2 3 返回目录 返回目录 1 2 3 解：存在.对于y＝x2－3x－4， 当y＝0时，x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4， ∴B(4，0)，∴OB＝4.∵Q(0，－1)，∴OQ＝1. ①如解图1，当点M在BQ上方时，过点M作 ME⊥BQ交BQ的延长线于点E，则tan∠MBE＝＝. 过点E作FG∥x轴，过点B，M分别作BG⊥FG于点G，MF⊥FG于点F，易得△MEF∽△EBG， 解图1 返回目录 返回目录 1 2 3 ∴＝＝＝.∵FG∥x轴，∴∠BEG＝∠OBQ， ∴tan∠BEG＝tan∠OBQ＝＝＝， 设BG＝m，EG＝4m，则EF＝m，MF＝m， ∴点M的坐标为(4－m，m). 把M(4－m，m)代入y＝x2－3x－4中，得m＝(4－m)2－3(4－m)－4，解得m1＝0(舍去)，m2＝， ∴点M的横坐标是4－m＝4－×＝－. 解图1 返回目录 返回目录 1 2 3 ②如解图2，当点M在BQ下方时，过点M作ME'⊥BQ交BQ的延长线于点E'，则tan∠MBE'＝＝. 过点E'作F'G'∥y轴，交x轴于点G'，过点M 作MF'⊥F'G'于点F'，易得△ME'F'∽△E'BG'， ∴＝＝＝. 由题可知tan∠E'BG'＝tan∠OBQ＝＝＝， 设E'G'＝n，BG'＝4n，则E'F'＝n，MF'＝n， ∴点M的坐标为(4－n，－n)， 解图2 返回目录 返回目录 1 2 3 把M(4－n，－n)代入y＝x2－3x－4中，得 －n＝(4－n)2－3(4－n)－4， 解得n1＝0(舍去)，n2＝， ∴点M的横坐标是4－n＝4－×＝－. 综上所述，点M的横坐标是－或－. 解图2 返回目录 返回目录 二次函数综合题 ——见《二轮重难题型培优》P29－34 请完成《课后提升练》P29－30习题 返回目录 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $