3 第二单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦一元二次方程及其应用这一必考考点（4～10分），严格对接2022版课标要求，将根与系数的关系纳入必学内容，系统梳理解法（直接开平方法、配方法等）、根的判别式、实际应用（平均增长/降率、面积问题等）等核心知识，精准分析新疆5年中考考点分布与常考题型。 课件亮点在于“知识精讲+真题实战”模式，通过新疆近5年中考真题（如2023年配方法题、2025年面积问题）强化训练，结合根的判别式考点，示范“先化一般式确定a,b,c”的解题步骤，培养学生数学思维与推理能力。针对实际应用问题，构建“平均增长（降）率模型”等解题框架，帮助学生掌握得分技巧，教师可直接用于专题复习，提升备考效率。

《精讲册》 数学 第二单元 方程(组)与不等式(组)(10～18分) 第7讲　一元二次方程及其应用(必考，4～10分) 目录 01 知识精讲练 新疆5年中考真题及拓展 02 了解一元二次方程的根与系数的关系.(删除“*”，改为必学) 知识精讲练 改为必学咯！ 返回目录 返回目录 一元二次方程及其解法 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是① 　(二次)的方程，叫作一元二次方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 　2 返回目录 返回目录 解法 直接开 平方法 (1)ax2＋c＝0(a≠0，ac≤0)⇒x＝② 　； (2)(x＋m)2＝n(n≥0)⇒x＝③　 配方法 适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤：(1)移项：将常数项移到方程的右边； (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 ± －m±　 返回目录 返回目录 解法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0(a≠0)时，实数根可 写为④　 . 使用求根公式时：(1)先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a，b，c代入公式时应注意其符号 因式分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (mx＋n)(px＋q)＝0 mx＋n＝0或px＋q＝0，求得x的值 【易错提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有未知数的相同因式，避免丢根 分解因式 转化为一元一次方程 x＝ 返回目录 返回目录 【温馨提示】(1)m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)； (2)若a2＋a－1＝0，b2＋b－1＝0，则a，b可看作方程x2＋x－1＝0的两根 返回目录 返回目录 1. 【人教九上P16－17节选】 按要求解下列方程： (1)(x＋5)2＝25(直接开平方法)； 解：(x＋5)2＝25， x＋5＝±5， x1＝0，x2＝－10. 返回目录 返回目录 (2)x2＋10x＋16＝0(配方法)； 解：x2＋10x＋16＝0， x2＋10x＋16＋9＝9， (x＋5)2＝9， x＋5＝±3， x1＝－2，x2＝－8. 返回目录 返回目录 (3)x2＋x－12＝0(公式法)； 解：a=1，b=1，c=－12， Δ=12－4×1×(－12)=49>0， x=, x1＝3，x2＝－4. 返回目录 返回目录 (4)3x(x－1)＝2(x－1)(因式分解法). 解：3x(x－1)－2(x－1)＝0， (3x－2)(x－1)＝0， x1＝，x2＝1. 根的判别式 概念 一般地，式子⑤ .叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac 根的情 况与判 别式的 关系 (1)Δ⑥ 　0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根； (2)Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根； (3)Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个⑦ 　的实数根； (4)Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)⑧ 　实数根 　b2－4ac 相等 无 ＞ 返回目录 返回目录 根的情 况与判 别式的 关系 【易错提示】根据字母系数的值求根的情况时应注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 注意啦 返回目录 返回目录 2. (2025乌鲁木齐校级模拟改编)已知关于x的方程(m＋1)x2－2x＋1＝0. (1)若x＝1是该一元二次方程的一个根，则m的值为_____； (2)若m＝－3，则该一元二次方程根的情况是_____________________； (3)若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为_________； (4)若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围为________________； (5)若该方程有实数根，则m的取值范围为_________. 0 有两个不等的实数根 　m＞0　 m≤0且m≠－1 m≤0 返回目录 返回目录 根与系数的关系 根与系数的 关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝ ⑨ 　，x1·x2＝⑩ . 【温馨提示】根与系数关系的常见变形： (1)＋＝；　　　　　 　 (2)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2； (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (4)｜x1－x2｜＝； (5)＋＝＝ － 返回目录 返回目录 3. 已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则＋的值为_____. 4. 已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为_____. 7 返回目录 返回目录 一元二次方程的实际应用 平均增长(下降)率问题 设a是基础量，b为增长(下降)后的量， 若x为平均增长率，2为增长次数，则b＝⑪ ； 若x为平均下降率，2为下降次数，则b＝⑫ . 销售问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销 售量； (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为·b(件) a(1＋x)2　 　a(1－x)2 返回目录 返回目录 面积 问题 设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则： S阴影＝⑬ . . S阴影＝⑭ .　 S阴影＝⑮ .　 S阴影＝⑯ . 　(a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) (a－x)(b－x) 返回目录 返回目录 循环问题 (1)单循环问题：每两队之间比赛一场，则x队共比赛的场数为 (x≥2)； (2)双循环问题：全班有x人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物的份数为x(x－1)(x≥2) 返回目录 返回目录 传播 问题 (1)细胞分裂：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第一轮分裂后的细胞总数为ax，第二轮分裂后的细胞总数为ax2； (2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有(1＋x)个人患流感，第二轮后共有(1＋x)2个人患流感； (3)植物主干分支：一种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则主干、支干和小分支的总数为(1＋a＋a2)个 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 返回目录 返回目录 5. 【平均下降率问题—人教九上P19探究2改编】为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低. 2023年这种药剂价格为200元，2025年该药剂价格为98元. 设2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意，可列方程为___________________. 　200(1－x)2＝98 返回目录 返回目录 6. 【面积问题】[2025辽宁]中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何. ”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为_________________. x(60－x)＝864　 返回目录 返回目录 7. 【循环问题—人教九上P25T7改编】“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练. 某校组织了一次单循环的足球比赛(每两支队伍之间比赛一场)，共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题 意可列方程为_____________. ＝36　 返回目录 返回目录 新疆5年中考真题及拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一元二次方程及其解法(5年2考) 1. (2023新疆6题)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0配方后得到的方程是(　　) A. (x＋6)2＝28 B. (x－6)2＝28 C. (x＋3)2＝1 D. (x－3)2＝1 D 返回目录 返回目录 2. (2021新疆6题)一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为(　　) A. x1＝－1，x2＝3 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝1，x2＝－3 D. x1＝－1，x2＝－3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 返回目录 3. (2025青海省卷)若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 返回目录 返回目录 根的判别式(5年3考) 4. (2025新疆6题4分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　　) A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 返回目录 5. (2022新疆6题)若关于x的一元二次方程x2＋x－k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(　　) A. k＞－ B. k≥－ C. k＜－ D. k≤－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 返回目录 6. (2024新疆12题)若关于x的一元二次方程x2＋3x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　k＜　 返回目录 返回目录 根与系数的关系 7. (2025乌鲁木齐适应性测试)若α，β是方程x2－3x－4＝0的两个根，则α2－4α－β的值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 返回目录 返回目录 一元二次方程的实际应用(5年2考) 8. 【面积问题】(2025新疆7题4分)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地. 设矩形的宽为x m，根据题意可列方程(　　) A. x(24－2x)＝40 B. x(24－x)＝40 C. 2x(24－2x)＝40 D. 2x(24－x)＝40 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 返回目录 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 【平均增长率问题】(2022新疆8题)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为(　　) A. 8(1＋2x)＝11.52 B. 2×8(1＋x)＝11.52 C. 8(1＋x)2＝11.52 D. 8(1＋x2)＝11.52 返回目录 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 【销售问题】哈密瓜主产于中国新疆吐哈盆地，以香甜多汁、营养丰富著称，被列为中国国家地理标志产品. 某商店原来每天可销售哈密瓜100 kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果哈密瓜每千克降价1元，那么每天可多售出40 kg，若要每天盈利840元，则每千克应降价多少元？ 返回目录 返回目录 解：设每千克应降价x元. 根据题意，得(100＋40x)(7－x)＝840， 解得x1＝1，x2＝. ∵要减少库存，∴x＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答：每千克应降价元. 返回目录 返回目录 解方程(组) ——见《二轮重难题型培优》P3 返回目录 返回目录 请完成《课后提升练》P13－14习题 返回目录 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $