专题1.4直线与圆的位置关系（高效培优讲义，4知识&8考点15题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4直线与圆的位置关系 内容概览 ★教学目标、教学重点 0直线与圆的位置关系 ②圆的切线的性质 ★知识清单 目切线判定定理 ④切线长定理 0判断直线与圆的位置关系 利用切线的性质求角的度数 ②切线的性质的运用 利用切线的性质求线的长度 利用切线的性质证明 圆周角 ③切线的判定 利用切线长定理证明角相等 ④切线长定理的运用 利用切线长定理求线段长 ★题型精讲 ⑤直线与圆位置关系的实际应用 ⑥切线的性质与判定综合 圆内知识综合 圆与一次函数综合 ⑦直线与圆的位置关系综合题 圆与二次函数综合 圆与三角形的综合 圆与四边形的综合 ⑧直线与圆的位置关系的动态问题 ★强化训练 教学目标、教学重难点 1.了解直线与圆相交、相切、相离的三种位置关系，了解三种位置关系的性质和判定 方法，并能应用它们解决相关问题。 教学目标 2.掌握切线的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题，培养灵活运用知识解决问 题的能力。 3.了解切线长的概念和切线长定理，能够应用切线长定理解决有关问题。 教学重点：直线与圆三种位置关系的判定、切线的性质与判定定理及切线长定理： 教学重难点 教学难点：切线性质与判定的综合应用、数量关系与位置关系的互化及复杂问题中的 几何建模与转化。 1/79 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 d小 d d 公共点个数 2 0 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 圆心O到直线！的距 离d与半径r的关系 dr d=r d>r d<r直线l与 d=r直线l与 br直线l与 等价关系 ⊙0相交 。0相切 。0相离 【即学即练】(24-25九年级上安徽滁州，期末)已知⊙0的半径为10，直线1与⊙0相切于点P,则P0= () A.1 B.5 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解：，⊙0的半径为10，直线1与⊙0相切于点P, .P0=10 故选D 知识点02圆的切线的性质 2/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径 (3)圆的切线垂直于过切点的半径 (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点（找切点用）. (⑤)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心（找圆心用）， 以上(3)(4)⑤)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三 个也成立 【即学即练】(2025安徽合肥一模)如图，AB为⊙0的直径，C、D是⊙0上的两点，∠CDB=26°， 过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,则∠P的度数为() B A.260 B.38° C.480 D.52° 【答案】B 【详解】解：连接OC, BC=BC ∴.∠BOC=2∠CDB=52°， :CP是⊙O的切线， .∴.OC⊥CP .∠P=90°-∠BOC 3179 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =38°： 故选：B. 知识点03切线判定定理 1.判定定理经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2.判定方法 (I)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【即学即练】(2024安徽·模拟预测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B. E (1)求证：CD是⊙O的切线： 3 (2若DELAR垂足为E,DE交AC于点F,CD=15,anA=求Cr的长. 【详解】(1)证明：如图，连接OC, OC=OA .∠OCA=∠A, :AB是⊙O的直径， ,∠BCA=90°， .∠A+LB=90, ∠DCA=∠B, .∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°， .OC⊥CD CD是⊙O的切线： (2)解：如图，过点D作DM⊥CF于点M, 4/79 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 0 y7 ∠OCA+∠DCA=90°，∠OCA=∠A .∠A+∠DCA=90° :DE⊥AB .∠A+∠EFA=90°， .∠DCA=∠EFA, '∠EFA=∠DFC, ∠DCA=∠DFC, ∴，△DCF是等腰三角形. DM⊥CF, ∴.CM=FM, :'∠OCA+∠DCM=90°，∠DCM+∠MDC=90, .∠CDM=∠OCA=∠A, tanA=tan∠MDC=3 CM 3 DM4' 设CM=3a,DM=4a, 在Rt△CDM中，CD=I5, .(3a2+4a2-152, 解得a=3或a=-3(舍)， .CM=9, ∴.CF=2CM=18 知识点04切线长定理 1.切线长 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 2.切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角 【即学即练】(25-26九年级上安徽芜湖·月考)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点 5/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,B,PA=6,∠P=60°，则AB的长为() B A.6 B.4v5 C.3 D.25 【答案】A 【详解】解：PA,PB与⊙O分别相切于点A,BPA=6, ..PA=PB=6, 又∠P=60°， ∴△PAB为等边三角形， .AB=PA=PB=6. 故选：A. 题型精讲 题型01判断直线与圆的位置关系 【例1】(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看 成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 【答案】B 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B 【变式1-1】(25-26九年级上安徽阜阳·月考)若⊙0的直径为12，直线1上有一点P满足0P=6,则直线 1与⊙0的位置关系是() A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 【答案】D 【详解】解：当OP垂直于直线I时，即圆心O到直线1的距离d=6=r,⊙O与1相切： 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d<6=r,⊙0与直线1相交. 6179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故直线1与⊙O的位置关系是相切或相交. 故选：D。 【变式1-2】(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子 可看成圆和直线，它们的位置关系是 有一种节约叫光盘 有一种公益叫光盘 【答案】相交 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d. ..d<r, ∴直线和圆相交， 故答案为：相交。 题型02切线的性质的运用 【例2-1】利用切线的性质求角的度数 (24-25九年级上安徽滁州·期末)如图，点A,B在⊙0上，∠AOB=100°，直线MN与⊙0相切，切点 为C,且C为AB的中点，则∠ACM等于() A.25 B.30° C.45 D.50 【答案】A 【详解】解：∠AOB=100°，C为AB的中点， .∠A0C=50°， 0A=OC, .∠OCA= 2×180-50)=65, :直线MN与⊙O相切， .∠OCM=90° .∠ACM=∠OCM-∠OCA=25°， 7/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A. 【例2-2】利用切线的性质求线段的长度 (2025·安徽合肥.一模)如图，菱形ABCO的三个顶点均在⊙O上，连接OB,过点B作BD⊥OB，,交OA 的延长线于点D.若⊙O的半径为5，则BD的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【详解】解：如图：连接OB, :BD是⊙O的切线， .∠OBD=90°， 四边形OABC为菱形， ..OA=AB, .OA=OB, ..OA=OB=AB. .△OAB为等边三角形， ,∠AOB=60°， ∠0DB=30°， ,⊙0的半径为3， ∴0D=20B=25, 由勾股定理得，BD=VOD2-OB2 =2-=3. 故选B. 【例2-3】利用切线的性质证明 (24-25九年级下，安徽六安开学考试)如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙0的切线，且AD⊥CD,垂足为 8179 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 点D,AD交OO于点E,CB. (1)求证：CE=CB: (2)若AC=25,CE=4,求CD的长. 【详解】(1)证明：连接OC,则OC=OA, D ∠BAC=∠OCA, :CD为⊙O的切线， CD⊥OC, AD⊥CD于点D, .AD∥OC, .∠EAC=∠OCA, .∠EAC=∠BAC, ∴CE=CB: (2)解：CE=CB, ..CE =CB, 'AC=2N5,CE=4, CB=4, :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， AB=VAC2+CB2=V25+42=6, ∠ADC=90°，∠DAC=∠BAC, 9/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD AC =sin∠DAC=sin∠BAC=CB-4_2 AB 63 3AC46 .CD= 3 cD的长是4 3 【变式2-1】(2025安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的切线，B为切点，连接AO交⊙0于点D,AO的 延长线交⊙O于点C,连接BC.若∠ACB=25°，则∠A的度数是() D A.50° B.40° C.25° D.65° 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接OB, .∠DOB=2∠ACB=50°， :AB是⊙O的切线，B为切点， OB⊥AB,即∠ABO=90°， 在Rt△ABO中，∠A=90°-∠AOB=40°， 故选：B, 【变式2-2】(2025安徽阜阳三模)如图，AB是⊙0的切线，点A为切点，连接OB交⊙0于点C,半径 OD‖AC,若∠B=28,则∠DAC的度数是°. D 【答案】29.5 【详解】解：如图所示，连接OA, :AB是⊙O的切线， 10/79 专题1.4直线与圆的位置关系 教学目标 1.了解直线与圆相交、相切、相离的三种位置关系,了解三种位置关系的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题。 2.掌握切线的性质和判定方法,并能应用它们解决相关问题,培养灵活运用知识解决问题的能力。 3.了解切线长的概念和切线长定理,能够应用切线长定理解决有关问题。 教学重难点 教学重点：直线与圆三种位置关系的判定、切线的性质与判定定理及切线长定理； 教学难点：切线性质与判定的综合应用、数量关系与位置关系的互化及复杂问题中的几何建模与转化。 知识点01 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2 1 0 公共点名称 交点 切点 / 直线名称 割线 切线 / 圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d<r d=r d＞r 等价关系 d<r 直线l 与 ⊙ O 相交 d=r 直线l 与 ⊙ O 相切 d>r 直线l 与 ⊙ O 相离 【即学即练】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 知识点02 圆的切线的性质 1. 切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 2. 切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径. (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用). (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 以上(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立. 【即学即练】（2025·安徽合肥·一模）如图，为的直径，、是上的两点，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 知识点03 切线判定定理 1. 判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2. 判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【即学即练】（2024·安徽·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为E，交于点，求的长． 知识点04 切线长定理 1. 切线长 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2. 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，与分别相切于点，则的长为（    ） A．6 B． C．3 D． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）若的直径为12，直线l上有一点P满足，则直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是 ． 题型02 切线的性质的运用 【例2-1】利用切线的性质求角的度数 （24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点，在⊙O上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2-2】利用切线的性质求线段的长度 （2025·安徽合肥·一模）如图，菱形的三个顶点均在上，连接，过点作，交的延长线于点．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2-3】利用切线的性质证明 （24-25九年级下·安徽六安·开学考试）如图，为的直径，为的切线，且，垂足为点，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，的延长线交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·安徽阜阳·三模）如图，是的切线，点为切点，连接交于点，半径，若，则的度数是 ． 【变式2-3】（2024·安徽·模拟预测）如图，的顶点C在半圆O上，P为直径上一点，交于点D，交半圆O于点E，交的延长线于点F，过点C作半圆O的切线交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式2-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 题型03 切线的判定 【例3】（2025·安徽滁州·模拟预测）已知是的直径，是上的一点，的平分线交于点，是延长线上一点，满足． (1)如图，求证：与相切； (2)试判断与，哪个式子成立？并说明理由． 【变式3-1】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是⊙的直径，射线交⊙于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是⊙的切线； (2)若的面积为，，求的长． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外接圆，，连接并延长至点，使交于点． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【变式3-4】（25-26九年级上·安徽合肥·月考） 如图，内接于，是⊙O的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是切线； (2)当时，求的长． 题型04 切线长定理的运用 【例4-1】利用切线长定理证明角相等 （2025·安徽宣城·一模）如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，． (1)求的长． (2)连接，求证：． 【例4-2】利用切线长定理求线段长 （25-26九年级上·安徽铜陵·期中）已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（2025·安徽·三模）如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【变式4-5】（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 题型05 直线与圆位置关系的实际应用 【例5】（2025·安徽蚌埠·二模）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角板按如图所示放置于桌面上，其中光盘与直尺、三角板均相切，点是三角板的一个顶点，是光盘与直尺的切点．测量得，则这张光盘的直径是 ． 【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）图1是中国传统建筑中的常见门饰抱鼓石，某抱鼓石的简化平面图如图2所示，其中AB切于点交于点，则的半径长为 ． 【变式5-2】（2025·安徽·二模）《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点后相切圆形城堡于点，刚好看到北门的正北方向的一棵大树，即相切圆形城堡于点．若，圆形城堡的直径为，且经过圆形城堡的圆心，则北门到大树的距离为 ． 【变式5-3】（2024·安徽·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 题型06 切线的性质与判定综合 【例6】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【变式6-1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型07 直线与圆的位置关系综合题 【例7-1】圆内知识综合 （24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 【例7-2】圆与一次函数综合 （23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线，M是线段上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线于N，交于F，切点为P．连接、．若，当直线恰好平分梯形的面积时m的值为 ． 【例7-3】圆与二次函数综合 （24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）在平面直角坐标系中，有一抛物线，其中为实数，和一个以为圆心，2为半径的圆．则中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积为 ． 【例7-4】圆与三角形的综合 （2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【例7-5】圆与四边形的综合 （2025·安徽·模拟预测）如图，长方形中，，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)若，求的值． 【变式7-1】（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 【变式7-3】（2025·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，过点C作的切线与的延长线相交于点E，，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式7-4】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，内接于，为的中点，弦交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若为的切线，的半径，，求的长． 题型08 直线与圆的位置关系的动态问题 【例8】（2025·安徽亳州·三模）如图，线段，点是线段上一动点（不与点，重合），以为直径作，过点作的切线，切点为，若，，则关于的函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为． （1）若Q在原点O时， ； （2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-2】（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）已知，半径为1的与相切于点． （1）如图1，点到射线的距离是 ； （2）如图2，将沿着射线向右方滚动，当与射线相切时，设与射线相切于点，则线段的长为 ． 一、单选题 1．（2025·安徽六安·二模）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）下列命题错误的是（    ） A．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．切线垂直于经过切点的半径 C．将一次函数图象向上平移1个单位得到的图象 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）下列命题错误的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．切线垂直于经过切点的半径 C．将一次函数图象向上平移1个单位得到的图象 D．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 4．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D．直线和都是的切线 6．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是的角平分线，过点与相切于点，和分别交于点，若，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是外一点，是的切线，A为切点，交于点，是优弧上一点，若，，则的度数为 ． 9．（24-25九年级下·安徽宿州·月考）如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则 ． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 12．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 14．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆的切线，与的延长线相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 15．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图中，，以为直径的圆交于点D、交延长线于点E，过E作于M，交延长线于N． (1)求证：为圆O切线； (2)若， ，求圆O的半径． 17．（2024·安徽·模拟预测）如图，已知是的直径，，垂足为C，弦，直线、相交于点B． (1)求证：直线是的切线． (2)当时，求的值． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知四边形内接于，为的直径，点 E 是 延长线上一点，连接，， (1)如图1，若交 于点F， ，求 和的大小； (2)如图2，若与相切于点C，过点A 作，交 的延长线于点P，与相交于点 D．若，求的长． 19．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知是的外接圆． (1)如图1，过点B作于点E，交于点D，连接，若平分． ①求证：． ②若，的半径为2，求的长； (2)如图2，过点O作于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 20．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $