专题18 将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题18 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上． (1)若网格中最小正方形的边长为1，求的面积； (2)在直线上找一点P，使的值最小； (3)求出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、轴对称—最短路径问题，正确作出图形是解题的关键． （1）利用割补法求的面积即可； （2）作点C关于直线的对称点D，连接交直线于P，利用轴对称的性质说明当A、P、D三点共线时，的值最小，则如图所示点P即为所求； （3）由（2）中的结论得，的最小值为，利用勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接交直线于P， 由对称性得，， ， 当A、P、D三点共线时，的值最小， 如图所示，点P即为所求． （3）解：由（2）中的结论得，的最小值为， 由勾股定理得，， 的最小值为． 例2（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）阅读下面材料，请解答下列问题： 【几何模型】条件：如图①，，是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，由“两点之间，线段最短”可知，即为所求的点． 【模型应用】如图②，两个村子，在一条河的同侧，，两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．现要在河边上建造一水厂，向，两村送水，铺设水管的工程费用每千米400元，请你在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用． 【扩展延伸】如图③，在中，点在边上，过点作交于点，为上的一个动点，连接，．若的值最小，则点应该满足________（唯一选项正确）． A．    B．    C．    D． 【答案】[模型应用]点即为所求的水厂位置，见解析；最省的铺设水管的费用元；[拓展延伸]A． 【分析】本题考查的是轴对称-最短路径问题、勾股定理的应用、掌握轴对称的概念和性质、两点之间线段最短的性质是解题的关键． [模型应用]根据轴对称的性质确定水厂位置，作交的延长线于点，根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； [拓展延伸]延长至，连接交于点，则点即为所求，根据轴对称的性质、对顶角相等解答． 【详解】[模型应用]作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求的水厂位置，作交的延长线于点，则四边形为矩形， ，， ， 由勾股定理得，， 则， 最省的铺设水管的费用元； [拓展延伸]延长至，连接交于点，则点即为所求，连接， 点与点关于对称， ， ， ，A正确； 故选：A． 例3（25-26八年级上·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 例4（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②5； (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． （2）解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 例5（24-25八年级上·陕西安康·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15；（3）． 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：垂直平分，， 又，，， 在上取点，连接、、，垂直平分，，， 在中，当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，作出关于轴的对称点，连接并延长交轴于，如图所示： ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线时，，即取得最大值时，点为直线与轴的交点， 设直线的表达式为，则将，两点代入得 ，解得，直线：， 当时，，解得，即使取得最大值时则的坐标为，故答案为：． 例4（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、，． ∵ 点与关于对称∴ ，，则 根据三角形三边关系，（当与重合时，取等号） ∵ ，∴ 在中，，，由勾股定理得： 故的最大值为．故答案为： 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是(        ) A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【详解】 作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF， ∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP， 同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF， ∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°， ∴△OEF是等边三角形， ∴EF=12， ∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12． 故选B． 例2（24-25八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 例3（24-25八年级上·浙江·期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是 ． 【答案】8 【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 【详解】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM， 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN， 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形， ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF， ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°， ∴△EOF是正三角形， ∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8． 故答案为：8． ． 【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答． 例4（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 例5（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示． ， ， ． ，，且，， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：延长至点，延长至点，连接， 则：， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可． 【详解】解：在上取一点P，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，    点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键． 6．（25-26八年级下·江苏南通·开学考试）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】A 【详解】试题分析：先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故选A． 考点：轴对称-最短路线问题． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，，令，则转化为求，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解． 【详解】解：，令， 原式 如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，    已知，，，设，线段的长可表示为 当、、三点共线时，的值最小； 过点作交的延长线于点，得矩形， ，， ， 所以， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 8．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质等知识，根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案，根据已知得出，的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则，，即为的周长最小，作的延长线，    ∵， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称——最短路线问题等知识，由是等边三角形，是边上的高，则，平分，，所以， 作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为，故，即有最小值，为，再证明是等边三角形，所以，从而可得的最小值为，正确地画出图形找到的最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，平分，， ∴， 如图，作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为， ∴， ∴，即有最小值，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，在上取一点，连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，可知当点在上时，的值最小，最小值为的长，又根据等腰三角形的性质可得，进而利用三角形面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点是定点，由两点之间线段最短可知，当点在上时，的值最小，最小值为的长， ∵，点是中点， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、，由轴对称的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、， 点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ，，，，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路，，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为，．若存在，使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故答案为：4． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在五边形中，，在上分别找到一点，使得的周长最小，则的度数为 ． 【答案】120° 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线，    ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·广东江门·月考）在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，由轴对称的性质可得，，，表示出的周长，由两点之间线段最短，此时的周长最小，为，过点作，交的延长线于点，则为等腰三角形，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，，，，，从而可得当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， 由轴对称的性质可得：，，，，， ∴的周长， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵， ∴， ∴， ∴最小周长为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小． (3)在直线l上画出点Q，使得最小． 【答案】(1)图见解析；6 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． （3）作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 的面积为： 故答案为：6． （2）解：如图，连接，交直线l于点P，连接， 根据轴对称性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 则点P即为所求． （3）解：如图，作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴此时最小． 17．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点A关于的对称点G、H，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图所示，分别作点A关于的对称点G、H，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 19．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 20．（24-25八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【答案】（1）①见解析；②8；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题， （1）①根据轴对称的性质点，关于对称，进而连接交于点即可； ②根据轴对称的性质，进而解答即可； （2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可． 解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答． 【详解】（1）①如图所示点为所求的点：    ②，关于对称， ， ， 的最小值， 故答案为：8； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，，，， ， 则为等边三角形， 即． 即周长的最小值等于． 21．（24-25七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型． 22．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 23．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 24．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4（4）3 【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键， （1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求作； （2）作点A关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，则，则点P即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则，则点P即为所求，求出最大值即可； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）如下图点即为所求作； （2）如下图点即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则点P即为所求； 在中，，， 由对称性可知，， 则， 是等边三角形， ； 则的最大值为4； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求， 连接， 在中，，，， 是等边三角形，， ， ， 点为中点， ， ， 则的最小值为3． 26．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形， （2）根据三角形的面积，求出的长即可． （3）画出图像，证明，当A，B，三点共线时，最大，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，过点作交于点， 在中，∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，B，三点共线时，最大， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 28．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 【答案】(1)5 (2)①10，②2 【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题． （1）为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，利用题中模型得到，最短，此时，利用对称的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，利用对称的性质得到周长为的长，根据两点之间线段最短可判断此时周长最小，最小值为的长，再证明为等边三角形，得到，从而获解； ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，同样方法判断此时的值最小，最小值为，再证明为等边三角形，得到，从而得到的值最小值． 【详解】（1）解：如答图①，为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，如答图①，则最短，此时． 平分， ． 在中，， 即的最小值为5． （2）解：①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图②， 则， 周长， 此时周长最小，最小值为的长． ， ， ， 为等边三角形， ， 即周长的最小值为10， 故答案为：10． ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图③， 则， ， 此时的值最小，最小值为． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为2， 故答案为：2． 29．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为线段上一动点，分别过点作，连接．已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长． (2)请问当点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)当三点共线时，的值最小 (3)13 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接交于点，可得当点三点共线时，的值最小，最小值为； （3）连接交于点，设，则的长即为代数式的最小值，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， 根据勾股定理可得：． （2）解：如图，连接交于点， 当三点共线时，的值最小． （3）解：如图所示，作，过点作，过点作，使， 连接交于点，设，则的长即为代数式的最小值． 过点作交的延长线于点，得矩形， 则，．， 所以， 即的最小值为13． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，最短路径的问题，矩形的判定和性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． 30．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上． (1)若网格中最小正方形的边长为1，求的面积； (2)在直线上找一点P，使的值最小； (3)求出的最小值． 例2（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）阅读下面材料，请解答下列问题： 【几何模型】条件：如图①，，是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，由“两点之间，线段最短”可知，即为所求的点． 【模型应用】如图②，两个村子，在一条河的同侧，，两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．现要在河边上建造一水厂，向，两村送水，铺设水管的工程费用每千米400元，请你在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用． 【扩展延伸】如图③，在中，点在边上，过点作交于点，为上的一个动点，连接，．若的值最小，则点应该满足________（唯一选项正确）． A．    B．    C．    D． 例3（25-26八年级上·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 例4（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 例5（24-25八年级上·陕西安康·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 例4（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是(        ) A．6 B．12 C．16 D．20 例2（24-25八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 例3（24-25八年级上·浙江·期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是 ． 例4（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 例5（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 6．（25-26八年级下·江苏南通·开学考试）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 8．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为 ． 11．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路，，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为，．若存在，使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在五边形中，，在上分别找到一点，使得的周长最小，则的度数为 ． 14．（24-25九年级下·广东江门·月考）在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小． (3)在直线l上画出点Q，使得最小． 17．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 19．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 20．（24-25八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    21．（24-25七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 22．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 23．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 24．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 26．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 27．（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 28．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 29．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为线段上一动点，分别过点作，连接．已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长． (2)请问当点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值． 30．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $