专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型）（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为 ． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为 ． 例4（25-26八年级上·云南昭通·期末）某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域内修一条小路，如图①，已知的长为米，为边上的中线． 【尝试分析】 为了研究的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②，延长到，使，连接，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题． （）求证：； （）测得的长为米，小明据此说小路的长度不可能为米，他说得对吗？为什么？ 【实际应用】 （）如图③，若为直角三角形，．若要修一条与垂直的路，的长为米，且要求，求的长度． 例5（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 例2（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是的高，在上取一点E，作的中垂线交于点H，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例3（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 例4（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，于点D，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例5（25-26八年级上·吉林·期末）【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（    ） A．10 B．15 C．11 D．12 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，如果，的周长为，那么的周长是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交，边于E、F点．若点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．8.57 8．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的中线，过点A作交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 10．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为 ． 11．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则 13．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，以为边作，满足，E为上的一点，连接，． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在等腰直角中，，，E是上一点，连接，，点A关于直线的对称点F恰好落在上，则的度数为 ；连接交于点G，若，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 16．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是 ． 17．（25-26八年级上·甘肃临夏·月考）如图1，是等边三角形，D是边上的任意一点． (1)如图2，当D是边上的中点时，与的位置关系是______； (2)如图3，E为射线上任意一点，连接，以为边作等边三角形，其中点E，F在直线同侧，射线交射线于点G． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当D是边上的中点时，在中，，求的度数． 18．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：在中，是它的角平分线． (1)特例发现：如图②，当时，根据________，可知，由此可推得_______；（填“”、“”或“”） (2)一般归纳：如图①，当时，那么（1）中推得的结论仍然成立吗？如果成立，请证明； (3)综合应用：如图③，是的角平分线，且与相交于点，若，，求的值．（直接写出答案） 19．（25-26八年级上·山东日照·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)求的取值范围． (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 20．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 21．（25-26八年级上·湖南永州·月考）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 22．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 23．（25-26七年级上·山东威海·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 24．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 26．（24-25八年级上·北京·期末）如图2，，为的中点，分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由． 27．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是线段、的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分，， 的周长， ，，的周长，故选：C． （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：在中，，平分交于点，，， ，，即的面积为，故答案为：． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，， ，，，，平分，， ，即，，， ，，， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，，，， ，，，， 又，，，，， 平分，， ，即，，， ，，， 又，．故答案为：6． （3），理由如下：如图3，延长与相交于点G， ，，，， 又，，，平分，， ，，，， ，，， 由得． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图——基本作图：作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 例2（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线性质，根据线段垂直平分线性质得到，根据三角形周长公式求解长度． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ∴ ， ∵，的周长是， ∴的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 例4（25-26八年级上·云南昭通·期末）某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域内修一条小路，如图①，已知的长为米，为边上的中线． 【尝试分析】 为了研究的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②，延长到，使，连接，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题． （）求证：； （）测得的长为米，小明据此说小路的长度不可能为米，他说得对吗？为什么？ 【实际应用】 （）如图③，若为直角三角形，．若要修一条与垂直的路，的长为米，且要求，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）小明说得对，理由见解析；（）米 【分析】（）利用判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由三角形的三边关系得 ，即得到，即可说明； （）延长，交的延长线于点，可证，得到米，，即得到，再根据线段垂直平分线的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（）证明：∵为边上的中线， ， 在和中， （）解：由（）知， 米， 在中，， ∴米， 即， ∵， ∴， ∴， 小明说得对，小路的长度不可能为米； （）解：如图③，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， 米，， 米， 米， 又，， 垂直平分， 米． 例5（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质，推导出，，得到，即可解答； （2）先推导出，继而求出，即，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)的度数为 (2)的周长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为． 例2（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是的高，在上取一点E，作的中垂线交于点H，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，即可得出结论； （2）连接并延长交于G，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于G， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． （1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； 例4（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，于点D，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质得到，得出，根据三线合一可知； （2）由（1）可知，，，根据等边对等角得到，，求出，根据三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ， 又∵， ； （2）解：由（1）可知，，， ，， ，， ， ， ． 例5（25-26八年级上·吉林·期末）【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析（2）（3）（4） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，，，可证，即得； （2）根据垂直平分线的性质得到，得到，即可求出答案； （3）根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，而的周长为，故，从而求得； （4）连接，过作于，交于，连接，由，，可得，可求；根据，，有，故，当、、共线时，，那么当，则最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长，然后根据三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：当点P与点C不重合时， ∵， ， ，， ， ； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴, ∵的周长为13， ∴， ∴， 即的周长为． （3）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ，即， 故答案为：； （4）连接，过作于，交于，连接， 如图： ，， ， ， ， ； ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，， ∴当时，则最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长， ， ， 解得， ∴的最小值是． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴．故选：A． 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图， ，，， 点是中点，， ，，，， ，，，故答案为： ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，，∴， 由折叠性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形； （2），理由：如图，∵，∴． ∵平分，∴，∴，∴． ∵，∴．∵平分，∴， ∴，∴，∴； （3），理由：如图，延长、交于点F． ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴．故答案为：． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，根据的周长为，求出，即可求得的周长． 【详解】解：根据题意得垂直平分， ，, 的周长， ， ， ，即的周长． 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及两点之间线段最短的原理；连接，由垂直平分线的性质可得，将的周长进行转化，即可求解． 【详解】如图，连接， 由垂直平分线的性质可知：， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选B． 4．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（    ） A．10 B．15 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 的周长为，的长为， ， ， ， 又， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，如果，的周长为，那么的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，由的中垂线交于点，交于点，，则，，由的周长为，可得，再由周长公式即可求解．掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的中垂线交于点，交于点，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 6．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交，边于E、F点．若点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．8.57 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由，点是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ∴， ∴当点在上时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为7.5． 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的中线，过点A作交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】/61度 【分析】本题考查垂直的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 由垂直的定义得到，根据三角形外角的性质得到，根据“三线合一”得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴． 故答案为： 10．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质以及角平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由，是的中点，证出是的平分线，根据角的平分线的性质证出，结合已知即可求得的长． 【详解】连接， ，是的中点， 是的平分线， 于，于， ． ， 解得 故答案为：． 11．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，得，则，所以，由垂线段最短可知，当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， 当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为， ， ， ， 故答案为： 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则 【答案】20 【分析】本题考查了三线合一，等边对等角． 根据三线合一得到为的角平分线，即，根据等边对等角得到，根据三线合一得到，根据计算即可． 【详解】∵，为的中线， ∴为的角平分线， ， ， ， ， ，为的中线， ， ， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，以为边作，满足，E为上的一点，连接，． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的长为 ． 【答案】 /60度 9 【分析】（1）先通过三角形的外角定理求出，然后即可求解，再由求解即可； （2）延长至，使，从而得到，进一步证明，接着证明，则，再根据线段和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，设与交于点，    ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，9． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在等腰直角中，，，E是上一点，连接，，点A关于直线的对称点F恰好落在上，则的度数为 ；连接交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到；如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】解：∵在等腰直角中，，， ∴，， ∵点关于直线的对称点恰好落在上， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：，2． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，可推出，是的垂直平分线，从而得到，然后根据是的垂直平分线，进而得到，由等边对等角可知，接着根据折叠的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解题的关键． 16．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·甘肃临夏·月考）如图1，是等边三角形，D是边上的任意一点． (1)如图2，当D是边上的中点时，与的位置关系是______； (2)如图3，E为射线上任意一点，连接，以为边作等边三角形，其中点E，F在直线同侧，射线交射线于点G． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当D是边上的中点时，在中，，求的度数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可解答； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质得出；②分点在的左侧和点在的右侧两种情况，分别等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D是边上的中点． ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ②如图：当点在的左侧时， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：； 如图：当点在的右侧时， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴，解得：． 综上，的度数为或． 18．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：在中，是它的角平分线． (1)特例发现：如图②，当时，根据________，可知，由此可推得_______；（填“”、“”或“”） (2)一般归纳：如图①，当时，那么（1）中推得的结论仍然成立吗？如果成立，请证明； (3)综合应用：如图③，是的角平分线，且与相交于点，若，，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立；见解析 (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质即可求解； （2）成立，利用三角形的面积即可求证； （3）在上取，由，可得到，进而得到证明，得到即是的角平分线，利用角平分线的性质得到，又由是的角平分线，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论还成立； 证明：设边上的高为， ∵平分， ∴边上的高也为， 则， 又∵， ∴； （3）解：在上取， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 19．（25-26八年级上·山东日照·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)求的取值范围． (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （2）延长交于点F，证明，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案． 【详解】（1）证明：延长到点E，使 ∵D是的中点 ∴ 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故 （2）延长交于点F，如图 ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ②作，交于点，证明即可得到答案 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 21．（25-26八年级上·湖南永州·月考）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答； （2）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （3）延长，交于点F，证明得出，，证明得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故答案为：； ，， ， 在中，， ， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）， 理由如下：延长到，使，连接，， 在和中， ， ， ， ，， ∴垂直平分， ， 在中， ， ； （3）延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ． 22．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 23．（25-26七年级上·山东威海·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可； （4）延长，交的延长线于点，利用证得，得到，，由得到垂直平分，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ． 故选：B． （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ． 故选：C． （3）证明：如图，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （4）如图，延长，交的延长线于点， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，，即， 垂直平分， ． 24．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点，如图： ，，， ，，， ，，，， ，，，， ，，故选：A． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 【答案】A 【详解】∵点E是CD的中点∴DE=CE ∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴ADBC ∴∠ADE=∠BCE 在△AED与△FEC中∴ ∴∴ ∴在Rt△ABF中， ∴ 故选：A． 26．（24-25八年级上·北京·期末）如图2，，为的中点，分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【详解】，理由如下，如图所示，延长交于点， ∵，∴，∴，∵点是中点，∴，且， ∴，∴，，∵，即， ∴在，中，，∴， ∴，且，∴． 27．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是线段、的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：， ∵点E是线段的中点，，； （2）由（1）得，，，， ，点D是线段BC的中点，，， ，，，， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $