专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为 ． 例2（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则 (1) ； (2)若，则 ． 例3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 例4（24-25八年级上·甘肃武威·月考）如图，为等边三角形，，、相交于点，于点． (1)求证：； (2)求证：． 例5（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·重庆·期末）如图，是等边三角形，且，，则的度数为 ． 例4（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 例5（24-25八年级上·全国·期末）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 模型3.等边内接等边模型 例1（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 例2（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是 ．（填写序号） 例4（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 例5（24-25八年级上·江苏常州·月考）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形边，上分别取点P，Q，且，连接，交于点． (1)求证：． (2)求的度数． 8．（25-26八年级上·四川德阳·月考）探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图1，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为______． ②求证：． (2)如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图3，是等边三角形，点P是三角形外一点，且，连接AP，判断线段、、之间有什么数量关系，请直接写出来． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为等边三角形，，点O为线段上一点，的延长线与的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，求． 10．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在等边三角形中，点在上，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点． 【特殊化】 （Ⅰ）当点与点重合时，如图②，直接写出与的数量关系． 【一般化】 （Ⅱ）当点与点不重合时，如图①，判断与的数量关系，并说明理由． 【应用】 （2）如图③，，点在外，交于点，若，直接写出与的数量关系． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边中．D、E两点分别在边上，，、相交于点F． (1)如图（1），求证： (2)如图（2），点H在线段的垂直平分线上且，K为中点．连接交于点G，求证：． (3)如图（3），M、D为边上的两个动点且，为等边三角形，当时，求________． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 14．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是边长为a的等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为E，延长到点Q，使，连接交于点D，求：线段的长（用含a的代数式表示）． 15．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 17．（25-26八年级上·云南昆明·期末）（1）如图1，在和中，若，，．求证：． 小昆发现：可以通过添加辅助线构造全等三角形，从而证明．证明过程如下： 证明：在上取一点，连接，使得． ， ． ，， ． ，， ． 在和中， , （ ）． ． 请阅读并补全他的证明过程． （2）如图2，在中，，点在上，点在延长线上，连接交于点．若，求证：为中点． （3）若是等边三角形，点为中点，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，．若，补全图形并求的值． 18．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 20．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 21．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， (1)如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，，∴， ∴，∴为定值． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了等边三角形及其性质、平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，通过作辅助线，根据等边三角形的性质，得到，利用垂直得到，用证明出后得到，再利用线段关系计算． 【详解】过点作交于点， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ， ， ． 故答案为： 例2（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则 (1) ； (2)若，则 ． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，解题的关键是要构造出等边三角形，再利用全等三角形的性质和等边三角形的性质即可求解． （1）利用直角三角形两个锐角互余求出的度数即可； （2）延长到G，连接，使为等边三角形，证明≌，得到，设，则，，利用线段的和差求出的值，最后得到线段的长即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 如图，延长到G，连接，使三角形为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， 设，则，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：12． 例3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质是解题关键， （1）先得出，再根据平行得出，可证明即可得出结论； （2）作，交于点M，证明即可得出结论； （3）作，交于点N，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，， ， ， ， 为等边三角形； （2）证明：作，交于点M， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 作，交于点N， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 例4（24-25八年级上·甘肃武威·月考）如图，为等边三角形，，、相交于点，于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可知，．依据可证明，依据全等三角形的性质可得到； （2）根据全等三角形的性质可得，最后结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ， ． ∴； （2）． ． 是的一个外角， ． 又， ． 例5（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得，，证明得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 例2（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 例3（24-25七年级下·重庆·期末）如图，是等边三角形，且，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．要确定∠2的度数，先利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过证明三角形全等得出角相等，最后结合三角形外角的性质来求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴（）． ∴． 又∵． ∴． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 【答案】1 【分析】根据题干条件和三角形的内角和等于，推断出，判定，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明． 例5（24-25八年级上·全国·期末）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 模型3.等边内接等边模型 例1（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ , 即， ， ∴， 是等边三角形， ， 故选：C． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质及垂直的判定，解题的关键是结合等腰三角形的等角关系，利用已知角的条件逐一推导各结论的正确性． 由得，结合推导与的关系验证①；通过、证，推导与的关系验证②；根据等边三角形判定条件判断③；利用、是中点的条件推导角的关系验证④． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴． 由得，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； 仅满足，是等腰三角形，无法推证任何一个内角为，不是等边三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ①， 由得， ∴，②， 又，联立①②知③， ∴． 又∵是的中点，即， ∴④, 又⑤, 联立③④⑤得，, ∴，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 例4（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（）①过点作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】（1）①证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 例5（24-25八年级上·江苏常州·月考）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）当，或，时，与全等 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，根据同角的余角相等，得到，根据等腰直角三角形的概念解答； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据等边三角形的判定定理证明； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：为等边三角形， ． 在和中， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形； （3）解：当时，， ，， ，； 当时，，， ，， ，， 答：当，或，时，与全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，证明，得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：在等边三角形中， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 【详解】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作，使得，连接，，利用等边三角形的性质结合平行线的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出即可得出，即可知三点共线时，的值最小，再利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质得出，最后再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，作，使得，连接，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，，此时这个值最小， ， ， ， ． 故答案为：15． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质．由是等边三角形，得，．进而证明．从而证明（），得，同理可证，即可证明结论成立． 【详解】证明∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 同理可得， ∴， ∴是等边三角形． 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形边，上分别取点P，Q，且，连接，交于点． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质是解题的关键． （1）要证明，先利用等边三角形的性质得到，，再结合已知，根据全等三角形判定定理（）即可证明． （2）先由全等三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质，将转化为，进而结合等边三角形内角为的性质求出度数． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·四川德阳·月考）探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图1，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为______． ②求证：． (2)如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图3，是等边三角形，点P是三角形外一点，且，连接AP，判断线段、、之间有什么数量关系，请直接写出来． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）①根据三角形内角和定理计算； ②借助三角形外角的性质和三角形内角和定理证明； （2）通过角度等量代换求得，证明，再利用等边进行等量代换即可； （3）作辅助线使得，证明，再等边进行等量代换即可． 【详解】（1）解：①，， ． 故答案为：． ②是等边三角形， ， ， ， ． （2），理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即． （3），理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为等边三角形，，点O为线段上一点，的延长线与的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及等边三角形的判定和性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质先证得是等边三角形，又根据等边三角形的性质和全等的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， 又由得：， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在等边三角形中，点在上，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点． 【特殊化】 （Ⅰ）当点与点重合时，如图②，直接写出与的数量关系． 【一般化】 （Ⅱ）当点与点不重合时，如图①，判断与的数量关系，并说明理由． 【应用】 （2）如图③，，点在外，交于点，若，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）（Ⅰ） （Ⅱ），理由见解析 （2） 【分析】（1）（Ⅰ）根据等边三角形的性质得出角的度数，根据垂直得出直角，然后求出相关角的度数，根据等角对等边即可得出结论； （Ⅱ）在线段上截取，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出角的度数和数量关系，然后证明，即可得出结论； （2）延长相交于点，在线段上截取，连接，过点作，交于点，证明为等边三角形，得出相等角和边，证明和，即可得出结论． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵是等边三角形， ∴， ∵，点与点重合， ∴， ∴，， ∴， ∴； （Ⅱ）如图所示，在线段上截取， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由线段的垂直平分线得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长相交于点，在线段上截取，连接，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴根据线段的和差及等边三角形的性质得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，等角对等边，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边中．D、E两点分别在边上，，、相交于点F． (1)如图（1），求证： (2)如图（2），点H在线段的垂直平分线上且，K为中点．连接交于点G，求证：． (3)如图（3），M、D为边上的两个动点且，为等边三角形，当时，求________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）三角形的外角结合等边三角形的性质推出，证明即可得证； （2）连接，中垂线的性质得到，推出为等边三角形，证明，得到，进而得到，得到为等边三角形，再证明，得到，等量代换即可得出结论； （3）连接并延长交于点，证明，推出，得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，推出，得到为等边三角形，进而得到，，设设等边三角形的边长为，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，三角形的面积公式求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵点H在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵K为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接并延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则：，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 设等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， 在中，，则：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，含30度的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作的平行线，交于点G，由 是等边三角形和，可得也是等边三角形，则有．结合已知条件，容易证出，从而得到； （2）由（1）可知，，则有．因为是等边三角形，同时，可得，因此． 【详解】（1）证明：如图，过点D作的平行线，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． 14．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是边长为a的等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为E，延长到点Q，使，连接交于点D，求：线段的长（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 过P点作交于点N，证明是等边三角形，再证明，通过等量代换可得，即，即可做答． 【详解】解：过P点作交于点N， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)结论成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定，解题的关键是： （1）根据三线合一的性质求出，，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵点E为中点， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， ， ， 又， ， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 又， ， 又，， ， ． 16．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，平行的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（25-26八年级上·云南昆明·期末）（1）如图1，在和中，若，，．求证：． 小昆发现：可以通过添加辅助线构造全等三角形，从而证明．证明过程如下： 证明：在上取一点，连接，使得． ， ． ，， ． ，， ． 在和中， , （ ）． ． 请阅读并补全他的证明过程． （2）如图2，在中，，点在上，点在延长线上，连接交于点．若，求证：为中点． （3）若是等边三角形，点为中点，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，．若，补全图形并求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】本题考查了等边三角形，等腰三角形和全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据题意并结合全等三角形的知识，进行作答，即可求解； （2）在上取一点，连接，使得，然后证明，得到，然后即可求解； （3）过点作，交于，设，则， 然后证明，得到，过点作，交于点，然后证明，得到，然后等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：（1）在上取一点，连接，使得， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）在上取一点，连接，使得，如图： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为中点； （3）如图： ， 过点作，交于，如图： ， ∵是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作，交于点，如图： ， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 18．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形结合外角性质推导角度是解题关键． （1）等腰三角形中，有一个内角为，则该三角形是等边三角形，据此选择适当条件证明三角形全等即可． （2）根据三角形全等可得对应角相等，再结合三角形的外角性质可求的度数． 【详解】（1）证明：为等腰三角形，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， 是的一个外角， ， 将代入上式，可得， 是等边三角形， ，即． 答：． 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理以及外角的性质； （1）根据等边三角形的性质可得，结合已知可得，证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，则是等边三角形，则，，设，由（1）可得，证明，进而证明得出，即可得证； （3）在（2）的基础上，结合已知，设，则，分别表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∴， （3）解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接， 由（2）可知 ∴ 由（1）可知 ∴ ∴， ∵， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴． 20．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②的长不变，为5；③． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 21．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， (1)如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，证出，则，则可得出结论； （3）延长至点，使，连接，求出，在上截取，连接，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由如下：延长至点，使，连接， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 由（2）得， ， ， 点是中点， ， ， ，， 在上截取，连接， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定由性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $