5.3.1 函数的单调性（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．3．1 函数的单调性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的单调性与导数的关系 4 知识点二、利用导数研究函数的单调性 4 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：运用导数求解函数的单调区间 6 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 7 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 11 题型五：含参数情况下一次函数单调性的分类讨论 17 题型六：含参数情况下准一次函数单调性的分类讨论 17 题型七：含参数情况下可因式分解二次函数单调性的分类讨论 20 题型八：含参数情况下不可因式分解二次函数单调性的分类讨论 24 题型九：含参数情况下准二次函数单调性的分类讨论 26 题型十：函数单调性的综合应用 29 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 知识点诠释： 1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集． 2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． 题型一：运用导数求解函数的单调区间 【例题1】（2025·高三·上海松江·期中）函数的单调减区间为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 【例题2】（2025·高二·天津·期中）的单调递增区间为 【答案】 【解析】因为，，所以. 单调递增区间为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增． （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”． 【变式1】（2025·高二·天津滨海新·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】由题设，令，即的单调递增区间为. 故答案为： 【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【解析】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【变式3】（2025·高二·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】的定义域为， ， 令得，故的单调递减区间为. 故答案为： 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 【例题3】（2025·高二·北京·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（    ） A．在区间(-1,+∞)上单调递增 B．在区间(-∞,0)上单调递减 C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，当时，，当时，，当时，， 所以单调增区间为，减区间为，故AB错误； 因为，所以，故C正确； 由，函数在为减区间，所以，故D错误， 故选：C. 【例题4】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意； 选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意； 选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意； 选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意. 故选：A． 【方法技巧与总结】 （1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性． （2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大． 【变式4】（2025·高二·湖南长沙·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D． 故选：D 【变式5】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 【变式6】（2025·高二·天津南开·月考）已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得，当时，时，，为减函数， 时，，为增函数； 当时，时，，为减函数， 时，，为增函数； 结合选项可知C符合题意. 故选：C 【变式7】（2025·高二·山东济宁·期中）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，定义域为， 又，所以为奇函数，排除BD； 又，排除C； 结合选项，A符合题意. 故选：A 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 【例题5】（2025·高三·河北衡水·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由可得， 依题意，函数在上不单调，则在上有变号零点， 即方程在上有变号的根，也即在上有变号的根， 设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在时取得极大值，又， 作出函数在上的图象. 由图可得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 【例题6】（2025·高三·广东·月考）已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为函数在区间单调递增， 则对任意的，恒成立，即恒成立， 令，，则， 由可得，得， 由可得，得， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，故当时，. 所以，故实数的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【变式8】（2025·高二·贵州黔南·期中）若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知在上，， 因为且，所以，则， 由此有：（1）； （2）． 当时，为常函数，所以， 综上所求：． 故答案为： 【变式9】（2025·高三·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 【变式10】（2025·高二·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 题型四：函数单调性的判定与证明 【例题7】已知函数．讨论的单调性． 【解析】因为，所以， 令，，故单调递增． 又， 所以当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【例题8】（2025·高二·广西河池·月考）求证：函数在区间，上是单调递增函数. 【解析】由，令得：或， 所以在，上单调递增， 函数在，上是单调递增函数. 【方法技巧与总结】 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、 求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【变式11】（2025·高三·河南郑州·月考）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【解析】（1）因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得，则， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即当时， 所以在上单调递增. 【变式12】（2025·高二·安徽蚌埠·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)若，证明：在上单调递减． 【解析】（1）时，，定义域为， 故， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； （2）时，，定义域为， ， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在取得极大值，也是最大值，， 所以恒成立，所以在上单调递减. 【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 【解析】（1）由题可得：． 当时，，． 故曲线在处的切线方程为． （2）(方法一) 定义域为，当时，． 设，则在单调递增． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，从而． 当且仅当且时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. (方法二) 定义域为，． 设，则为单调递增函数等价于且没有连续的值使． ，设，则在单调递增． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以， 当且仅当时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. 题型五：含参数情况下一次函数单调性的分类讨论 【例题9】（2025·高二·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减，， 所以函数的最大值为0. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，在上递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【例题10】（2025·高二·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 【解析】（1），. ，. ， 令得， 即当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以 （2），， ， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，若，则，函数在区间上单调递增， 若，则，函数在区间上单调递减 【变式14】（2025·高二·陕西西安·月考）已知函数． (1)时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）由，则，则， 令，得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以当时，函数有极小值． 综上，函数的极小值为，无极大值． （2）依题意可得， 当时，，此时在上单调递减； 当时，令，得， 若时，，则在上单调递减； 若时，，则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． 【变式15】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 题型六：含参数情况下准一次函数单调性的分类讨论 【例题11】（2025·高二·天津河东·月考）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【例题12】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【解析】（1）当时，，∴，， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. （2）∵，∴. 令，即. ∵，∴，解得. 若，当时，，；当时，，， ∴在单调递减，在单调递增. 若，当时，，；当时，，， ∴在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式16】讨论函数的单调性. 【解析】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 题型七：含参数情况下可因式分解二次函数单调性的分类讨论 【例题13】（2025·高二·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数在上的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 令，即，则或. 令，即，则. 在，上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，极小值为. （2）由题. ①当时，，则时，时， 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ③当时，则在上恒成立，故在上单调递增. ④当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ⑤当时，，则时，时， 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【例题14】（2025·高二·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【解析】（1）当时，， 则，， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由，可得：. 令，解得：，. 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 当时，函数的单调递增区间为：上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：. 【变式17】（2025·高二·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； （2）函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 【变式18】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式19】（2025·高二·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 题型八：含参数情况下不可因式分解二次函数单调性的分类讨论 【例题15】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【解析】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 【例题16】（2025·高三·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【解析】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 题型九：含参数情况下准二次函数单调性的分类讨论 【例题17】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【解析】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 当时，令得或， （i）时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； (ii)时，，所以在上单调递减； （iii）当时，即，， 令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【例题18】（2025·高二·云南·期中）已知函数； (1)当时，求证恒成立． (2)讨论的单调性． 【解析】（1）由已知当时，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）由， 则， 当时，恒成立，令，解得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得，， ①当时，，且当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，，即恒成立，函数在上单调递增； ③当时，，且当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【变式20】（2025·高二·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【变式21】已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【解析】（1）由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以，解得：； （2）依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令得或，令得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得，令得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【方法技巧与总结】 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型十：函数单调性的综合应用 【例题19】（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 【例题20】（2025·高三·黑龙江·月考）已知函数是上的偶函数，当时，．则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的偶函数，所以图象关于直线对称． 当时，，所以在上单调递减． 所以不等式等价于，解得． 故选：B． 【变式22】（2025·高三·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故． 故选：C． 【变式23】（2025·高三·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 【变式24】（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 【变式25】若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．3．1 函数的单调性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的单调性与导数的关系 4 知识点二、利用导数研究函数的单调性 4 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：运用导数求解函数的单调区间 6 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 6 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 9 题型五：含参数情况下一次函数单调性的分类讨论 11 题型六：含参数情况下准一次函数单调性的分类讨论 11 题型七：含参数情况下可因式分解二次函数单调性的分类讨论 12 题型八：含参数情况下不可因式分解二次函数单调性的分类讨论 13 题型九：含参数情况下准二次函数单调性的分类讨论 14 题型十：函数单调性的综合应用 15 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 知识点诠释： 1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集． 2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． 题型一：运用导数求解函数的单调区间 【例题1】（2025·高三·上海松江·期中）函数的单调减区间为 ． 【例题2】（2025·高二·天津·期中）的单调递增区间为 【方法技巧与总结】 （1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增． （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”． 【变式1】（2025·高二·天津滨海新·期中）函数的单调递增区间为 . 【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【变式3】（2025·高二·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 【例题3】（2025·高二·北京·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（    ） A．在区间(-1,+∞)上单调递增 B．在区间(-∞,0)上单调递减 C． D． 【例题4】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【方法技巧与总结】 （1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性． （2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大． 【变式4】（2025·高二·湖南长沙·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·天津南开·月考）已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高二·山东济宁·期中）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 【例题5】（2025·高三·河北衡水·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【例题6】（2025·高三·广东·月考）已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为 ． 【方法技巧与总结】 （1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【变式8】（2025·高二·贵州黔南·期中）若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【变式9】（2025·高三·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【变式10】（2025·高二·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 题型四：函数单调性的判定与证明 【例题7】已知函数．讨论的单调性． 【例题8】（2025·高二·广西河池·月考）求证：函数在区间，上是单调递增函数. 【方法技巧与总结】 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、 求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【变式11】（2025·高三·河南郑州·月考）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【变式12】（2025·高二·安徽蚌埠·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)若，证明：在上单调递减． 【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 题型五：含参数情况下一次函数单调性的分类讨论 【例题9】（2025·高二·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【例题10】（2025·高二·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 【变式14】（2025·高二·陕西西安·月考）已知函数． (1)时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式15】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 题型六：含参数情况下准一次函数单调性的分类讨论 【例题11】（2025·高二·天津河东·月考）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【例题12】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【变式16】讨论函数的单调性. 题型七：含参数情况下可因式分解二次函数单调性的分类讨论 【例题13】（2025·高二·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数在上的单调性. 【例题14】（2025·高二·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【变式17】（2025·高二·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式18】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式19】（2025·高二·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 题型八：含参数情况下不可因式分解二次函数单调性的分类讨论 【例题15】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【例题16】（2025·高三·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 题型九：含参数情况下准二次函数单调性的分类讨论 【例题17】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【例题18】（2025·高二·云南·期中）已知函数； (1)当时，求证恒成立． (2)讨论的单调性． 【变式20】（2025·高二·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【变式21】已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【方法技巧与总结】 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型十：函数单调性的综合应用 【例题19】（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题20】（2025·高三·黑龙江·月考）已知函数是上的偶函数，当时，．则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式22】（2025·高三·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式23】（2025·高三·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式24】（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式25】若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $