5.3.1 函数的单调性（5大题型）训练-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册)

5．3．1 函数的单调性 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：运用导数求解函数的单调区间 2 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 3 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 4 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 6 02 重难点拓展 15 题型一：运用导数求解函数的单调区间 1．（2025·高二·四川·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】因为， 因为，由可得：， 即（舍去）或. 所以函数的单调递增区间为：. 故答案为： 2．（2025·高二·上海·期中）函数的单调减区间是 . 【答案】/ 【解析】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 3．（2025·高二·福建·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【解析】因为函数，定义域为， 则， 令，则， 解得， 函数的单调递减区间为. 故答案为：. 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 4．（2025·高二·四川绵阳·期中）为了办好纪念“五四”青年节的主题黑板报，文科1班的同学准备利用数学知识设计黑板报主体标志图案.其中某位同学利用函数图像的对称性选用了坐标原点两侧的部分图像设计了如图的标志图案草稿图，那么该同学所选的函数最可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知其可能关于原点成中心对称，应选用奇函数， 对于 B选项，，且定义域关于原点对称，则其是偶函数,故排除B； 对于D选项，，且定义域关于对称，则其是偶函数，故排除D； 对于A选项，关注y轴右侧，可知在单调递增，故排除A，所以选C． 故选：C 5．（2025·高二·山西阳泉·期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快， 当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. B选项中的图象满足题意. 故选：B. 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 6．（2025·高二·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 7．（2025·高二·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 8．（2025·高二·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 题型四：函数单调性的判定与证明 9．讨论函数在区间内的单调性． 【解析】由于在上恒成立， 故在上单调递增. 10．证明函数在区间上单调递减． 【解析】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 11．（2025·高三·江苏·月考）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 【解析】（1）因为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由（1）知，， 因为，， 所以， 所以 设，则导函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 12．（2025·高二·四川广安·月考）已知函数． (1)若为函数的极值点，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）因为，所以， 因为为函数的极值点，所以， 即，故，当时，， 所以当时，，当或时，， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增； 此时为函数的极小值点，故； （2）由（1）知，， 当时，由得，令得；令得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，令，解得或，令得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为； 当时，令，解得或，令得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 13．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数，． (1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； (2)若，试讨论的单调性． 【解析】（1）由题意可知：， 所以，则， 所以此时，， 令，或（舍）． 令，，令，． 可知在上单调递减；在上单调递增； 所以，又因为， 所以． 综上，函数在区间的最小值为，最大值为． （2）由题可得：，，， 令，则或． ①当时，，令，得，令，得，或； ②当时，，令，得，令，得，或； ③当时，，则在区间单调递增． 综上所述：当时，在和上单调递增，在区间单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在区间单调递减． 14．（2025·高二·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 15．（2025·高二·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【解析】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 16．（2025·高二·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值点； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，函数，求导得， 令，则，列表有 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值点为，极小值点为1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为． 17．（2025·高二·广东清远·期中）已经函数，（）. (1)若，求的极大值和极小值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）若，， ， 令，解得或. 当，时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以时，有极大值：； 时，有极小值：. （2）， ①当，即时， ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ②当，时，，在上单调递增； ③当，即时， ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上所述： 当时，的单调递增区间是，，减区间是； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间是，，减区间是. 18．（2025·高二·北京·期中）若函数． (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)判断方程解的个数，并说明理由； (3)当，设，求的单调区间． 【解析】（1），，又，所以切线方程为. （2）方程有两个解. 由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，当时，，当时，，所以函数与有两个焦点，所以方程有两个解. （3）， 当时，，在上单调递增； 当时，，所以时，，单调递减， 和时，，单调递增； 当时，，所以时，，单调递减， 和时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调增区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为和； 当时，的单调减区间为，单调增区间为和. 19．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知函数，． (1)当时，求在上的最值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，， ， 在上，令，则，令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，， 所以的最大值为，最小值为； （2）的定义域为， . ①当时，令则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ③当时，恒成立，所以在上单调递增． ④当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述： ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上递增． 20．（2025·高二·河南·期中）已知函数（）． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）由题意可得的定义域为，且， ∵是函数的极值点， ∴，即． 当时，，由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ∴满足是函数的极值点，因此. （2）， 当时，因为，所以，则，在上单调递增； 当时，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则函数的单调增区间为，单调减区间为； 综上可知：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 21．（2025·高二·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【解析】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 1．（2025·高一·广东佛山·期中）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】B 【解析】由可得，解得或，排除A； 由时，，排除C； 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D． 故选：B 2．（2025·高三·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，设， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，所以，则； 由，设， 则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即，所以，则，故； 综上，. 故选：A. 3．（2025·高二·福建宁德·月考）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为， 所以， 所以在上单调递减. 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 4．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D 5．函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 6．（2025·高二·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 7．（2025·高二·江西上饶·期末）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，定义域为，恒成立，故函数为增函数， 又由，故函数为奇函数， ，则， 解得：. 故选：B. 8．（多选题）（2025·高二·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【解析】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 9．已知实数满足，则 ． 【答案】8 【解析】因为，所以， 所以，所以， 因为， 令，求导得，所以在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：8． 10．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 【答案】 【解析】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 11．（2025·高二·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 12．（2025·高三·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 13．（2025·四川成都·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以. 要使函数在上单调递增，则. 即. 因为，要使不等式恒成立，则. 故答案为：. 14．（2025·高三·浙江·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，判断并证明与的大小关系. 【解析】（1）由题意：，， 当时，；当时， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 （2），证明如下： 由题意， 令，则 因为，所以，即在上单调递减 故 则 所以，即 15．（2025·高二·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 16．（2025·高二·云南丽江·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 17．（2025·高二·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 18．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【解析】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．3．1 函数的单调性 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：运用导数求解函数的单调区间 2 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 2 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 3 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 3 02 重难点拓展 7 题型一：运用导数求解函数的单调区间 1．（2025·高二·四川·期中）函数的单调递增区间为 ． 2．（2025·高二·上海·期中）函数的单调减区间是 . 3．（2025·高二·福建·期中）函数的单调递减区间为 ． 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 4．（2025·高二·四川绵阳·期中）为了办好纪念“五四”青年节的主题黑板报，文科1班的同学准备利用数学知识设计黑板报主体标志图案.其中某位同学利用函数图像的对称性选用了坐标原点两侧的部分图像设计了如图的标志图案草稿图，那么该同学所选的函数最可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·山西阳泉·期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． 题型三：由函数单调性求解参数的取值范围 6．（2025·高二·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 7．（2025·高二·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 8．（2025·高二·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 题型四：函数单调性的判定与证明 9．讨论函数在区间内的单调性． 10．证明函数在区间上单调递减． 11．（2025·高三·江苏·月考）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 12．（2025·高二·四川广安·月考）已知函数． (1)若为函数的极值点，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 13．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数，． (1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； (2)若，试讨论的单调性． 14．（2025·高二·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 15．（2025·高二·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 16．（2025·高二·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值点； (2)讨论的单调性． 17．（2025·高二·广东清远·期中）已经函数，（）. (1)若，求的极大值和极小值； (2)讨论的单调性. 18．（2025·高二·北京·期中）若函数． (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)判断方程解的个数，并说明理由； (3)当，设，求的单调区间． 19．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知函数，． (1)当时，求在上的最值； (2)讨论的单调性． 20．（2025·高二·河南·期中）已知函数（）． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)讨论的单调性． 21．（2025·高二·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 1．（2025·高一·广东佛山·期中）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C． D．   2．（2025·高三·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·福建宁德·月考）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·江西上饶·期末）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·高二·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 9．已知实数满足，则 ． 10．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 11．（2025·高二·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 12．（2025·高三·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 13．（2025·四川成都·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 14．（2025·高三·浙江·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，判断并证明与的大小关系. 15．（2025·高二·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 16．（2025·高二·云南丽江·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 17．（2025·高二·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 18．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $