精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2023-2024学年上学期10月月考八年级数学试卷

八年级数学 一、单选题（每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 6. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A. B. C. D. 8 7. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 8. 如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分） 11. 的立方根是__________． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 13. 如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______． 14. 计算：的结果是______． 15. 已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是__________． 16. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 17. 若，那么____________． 18. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边和较长直角边的乘积的值是____________． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 计算 （1）． （2）． 21. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 22. 如图，中，． （1）求证：是直角三角形； （2）若D是的中点，求的长．（结果保留根号） 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，台风的速度为千米/小时，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港是否受台风影响？若受台风影响，求台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、单选题（每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． 已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得， 所以； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得， 所以； 故或7， 故选：D． 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可. 【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即： ，故选择D. 【点睛】本题考查了二次根式的相关定义. 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 5. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则这圈金属丝的周长最小为的长度 圆柱底面的周长为，圆柱高为 ， 这圈金属丝的周长最小为 故选：A 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 6. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∴结果为无理数， ∴y==． 故选A． 7. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 【答案】C 【解析】 【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论. 【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=84， （2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=24， 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论. 8. 如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求出AD长，再证明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：点C为线段AB的中点， ∴AC=AB=4cm， Rt△ACD中， CD=3cm； 根据勾股定理，得：AD==5(cm)； ∵CD⊥AB， ∴∠DCA=∠DCB=90°， 在△ADC和△BDC中， ， ∴△ADC≌△BDC（SAS）， ∴AD=BD=5cm, ∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm； ∴橡皮筋被拉长了2cm． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，， ∴， 又∵点C在点A的左边， ∴点C表示的数为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 10. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 二、填空题（每小题3分） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 13. 如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式可得AC的长，利用勾股定理可求出AB的长，即可得AD的长，根据数轴上两点间的距离公式即可得答案． 【详解】∵点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合， ∴AC==1， ∵BC=2AC， ∴BC=2， ∴AB==， ∵以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点， ∴AD=AB=， ∵当D在点A右侧， ∴点所表示的数是， 故答案为： 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及勾股定理的应用，利用勾股定理求出AB的长是解题关键． 14. 计算：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答． 【详解】 = = =， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，熟记运算公式是解题的关键． 15. 已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是__________． 【答案】±3 【解析】 【分析】首先根据2a-1的平方根是±3，可得：2a-1=9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b-1的算术平方根是4，可得：3a+b-1=16，据此求出b的值是多少，进而求出a-2b的平方根是多少即可． 【详解】解：∵2a-1的平方根是±3， ∴2a-1=9， 解得a=5； ∵3a+b-1的算术平方根是4， ∴3a-b-1=16， ∴3×5-b-1=16， 解得b=-2， ∴a-2b=5+2×2=9， ∴a-2b的平方根是： ． 故答案为：±3． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用．要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 16. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 17. 若，那么____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，据此求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：1． 18. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边和较长直角边的乘积的值是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找到图形的面积和，之间的关系是关键． 根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值． 【详解】解：大正方形的面积是，设边长为， ， 每个直角三角形的面积是， 又直角三角形的面积是， ， 故答案为：． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再利用二次根式的性质化简； （2）先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的除法，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式在二次根式运算中的运用，实数的乘方，算术平方根的定义． （1）结合完全平方公式及平方差公式运算化为最简二次根式以后运用二次根式的加减运算即可． （2）先根据实数的乘方、算术平方根的定义、绝对值化简，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ． 21. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）先算出的值，再根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 ，， ． 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及平方差公式和完全平方公式运算的应用，算出和的值代入变形的原式是解答本题的关键． 22. 如图，中，． （1）求证：是直角三角形； （2）若D是的中点，求的长．（结果保留根号） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理逆定理判断即可； （2）先由D是的中点求出的长，然后利用勾股定理求的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，勾股定理是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理逆定理是：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，台风的速度为千米/小时，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港是否受台风影响？若受台风影响，求台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 如图： （2）受台风影响，小时 【解析】 【分析】（1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：港受台风影响， 过点作， 是直角三角形， ， ， ， ，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 24. 【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【小问1详解】 解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $