第6章 一次方程组（知识清单）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组 知识点01 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 知识点03 二元一次方程组 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法： （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点05 三元一次方程组 易错点1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1. 对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未知数。 2. 忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易只关注一个方程而忽略另一个。 解题技巧总结 1. 紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知数系数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式。 2. 结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同时检验解是否使整个方程组符合定义 易错点2 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 1. 代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）计算失误导致结果错误。 2. 忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入），若直接代入未变形，会增加计算量且易出错。 解题技巧总结 1. 精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后及时检查。 2. 优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组的整体关系（如x + y、x - y的值）进行整体代入，简化计算。 易错点3 二元一次方程组之同解问题 方法技巧总结： 1. 重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。 解这个新方程组，得到的  x  和  y  的值，就是两个原方程组的公共解。 2. 代入求参，回代验证：将求出的公共解  (x, y) ，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。 易错点4 二元一次方程组中特殊解法问题 方法技巧总结： 1. 整体代入法：当方程组中某个代数式（如  x+y  或  x-y ）在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。 2. 参数法：对于比例形式的方程组（如  x/2 = y/3 ），可设它们的比值等于一个新参数  k 。这样  x  和  y  都可用  k  表示，代入另一个方程就能解出  k ，进而求出  x  和  y 。 3. 轮换对称方程组：当方程组中  x  和  y  地位对称时，可先将两式相加或相减。得到  x+y  或  x-y  的值，再用加减法求解。 易错点5 二元一次方程组中新定义型探究问题 方法技巧总结： 1. 彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算，帮助理解。 2. 转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法来求解了。 题型01 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是整理方程后，保证含项的系数不为． 要使方程是关于，的二元一次方程，需先整理方程，保证，的系数不为，且方程含两个未知数． 【详解】解：将原方程移项得，合并同类项得， ∵这是关于，的二元一次方程， ∴的系数，即. 故答案为：. 3．已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3或1/1或3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数均为1，且y的系数不能为0列式计算即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义，x的指数必须等于1，即， 解得或； 当时，； 当时，； 因此，k的值为3或1． 故答案为：3或1． 4．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为． 【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数均为是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，确定、的次数均为，从而列出关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：由于方程是关于的二元一次方程， 因此的指数，解得； 的指数，解得． 所以， 故答案为：． 6．方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 7．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组． 根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 题型02已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 8．若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 9．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程解代入方程即可． 本题考查二元一次方程的解，将解代入方程是解题关键． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 10．已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二元一次方程组和解的应用，将，代入原方程组，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入计算. 【详解】解：将，代入方程组，，得将两方程相加，得，解得， 将代入，得，解得， ∴． 故答案为：1． 12．已知是方程的解，则k等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查已知二元一次方程的解，求参数的值，解题的关键是把二元一次方程的解代入含参的等式，再求参数的值．把代入方程得出，再求出k即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D． 13．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 题型03二元一次方程组之同解问题 15．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 16．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 17．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 18．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 19．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 首先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与同解， ∴解方程组，得：， 把代入方程组， 得：， 解得：，． ∴． 20．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题，根据题意可得方程组，解方程组可得，则可得到，则把方程组中的两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 得：， ∴， 故答案为：． 题型04二元一次方程组中特殊解法问题 21．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 22．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 23．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 24．已知满足方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加得，， 即， ∴， 故答案为：． 25．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 26．已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值等知识点，运用整体法求出的值是解题的关键． 方程组中的两个方程直接相加即可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， ∴． 故选：B． 27．若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 【答案】3 【分析】利用整体思想表示，结合已知，构造方程解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，解方程，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：由，两式相减，得， 又， 故， 解得． 28．解下列方程组： (1) (2) (3)已知的解为，则关于的方程的解为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组． （1）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （3）把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： ①代入②得， 解得： 将代入①得， 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组可化为： ①②得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （3）解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴，解得：； 故答案为：． 题型05二元一次方程组中新定义型探究问题 29．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 30．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 31．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 32．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 33．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析； (2)或； (3)具有“邻好关系”，，方程组的解为 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出的值即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到，即，据此求解即可； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当和当时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”； （2）解：， 得，， ∴， 将代入①得，m， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下： ， 得，， 解得， 将代入②得， ∵a、y都是正整数， ∴是12的公约数， ∵a、x都是正整数， ∴， ∴是24的公约数， ∴或或或， ∴a的值为1或2或4或10， ∵， ∴a的值只能是1或2， 当时，方程组的解为； 当时，方程组的解为（舍）， 综上所述：，方程组的解为． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 一次方程组 知识点01 二元一次方程 二元一次方程：含有_______未知数，并且所含____________________________的方程； 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的______________，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的______________叫二元一次方程的解集. 知识点03 二元一次方程组 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且______________，像这样的方程组叫做______________． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法： （1）______________法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用_____________________表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）______________法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别_____________，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点05 三元一次方程组 易错点1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1. 对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未知数。 2. 忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易只关注一个方程而忽略另一个。 解题技巧总结 1. 紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知数系数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式。 2. 结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同时检验解是否使整个方程组符合定义 易错点2 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 1. 代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）计算失误导致结果错误。 2. 忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入），若直接代入未变形，会增加计算量且易出错。 解题技巧总结 1. 精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后及时检查。 2. 优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组的整体关系（如x + y、x - y的值）进行整体代入，简化计算。 易错点3 二元一次方程组之同解问题 方法技巧总结： 1. 重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。 解这个新方程组，得到的  x  和  y  的值，就是两个原方程组的公共解。 2. 代入求参，回代验证：将求出的公共解  (x, y) ，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。 易错点4 二元一次方程组中特殊解法问题 方法技巧总结： 1. 整体代入法：当方程组中某个代数式（如  x+y  或  x-y ）在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。 2. 参数法：对于比例形式的方程组（如  x/2 = y/3 ），可设它们的比值等于一个新参数  k 。这样  x  和  y  都可用  k  表示，代入另一个方程就能解出  k ，进而求出  x  和  y 。 3. 轮换对称方程组：当方程组中  x  和  y  地位对称时，可先将两式相加或相减。得到  x+y  或  x-y  的值，再用加减法求解。 易错点5 二元一次方程组中新定义型探究问题 方法技巧总结： 1. 彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算，帮助理解。 2. 转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法来求解了。 题型01 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 3．已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 4．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 6．方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 7．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 题型02已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 8．若是方程组的解，则 ． 9．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．已知是方程组的解，则的值是 ． 11．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 12．已知是方程的解，则k等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 14．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 题型03二元一次方程组之同解问题 15．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 16．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 17．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 18．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 19．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 20．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ； 题型04二元一次方程组中特殊解法问题 21．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 22．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 23．解下列方程组： (1)； (2) 24．已知满足方程组，则 ． 25．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 26．已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 27．若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 28．解下列方程组： (1) (2) (3)已知的解为，则关于的方程的解为___________． 题型05二元一次方程组中新定义型探究问题 29．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 30．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 31．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 32．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 33．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $