精品解析：浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

镇海中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用周期性写出终边相同的正角，即可得. 【详解】由，显然与、的终边相同. 故选：A 2. 已知点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出即得解. 【详解】点在角的终边上， 所以， 则； 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式对进行转化，再利用两角和的正弦公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 5. 以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据常用函数的单调性以及奇偶性可直接判断即可. 【详解】对于A，由于是奇函数，故A错误； 对于B，由， 知为偶函数，且在上是增函数，故B正确； 对于C，由， 知为偶函数，且在上不单调，故C错误； 对于D，当时，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B 6. 某尖拱结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，和所在圆的圆心都在线段上，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作，设的圆心为O，半径为，表示出，由勾股定理得，再进一步求出，即可求. 【详解】过作，设的圆心为O，半径为，则， 由题意，在中，其中且， 所以，， 在直角三角形中，所以， 所以，而， 若，则，而，故， 所以，与题图中矛盾，故，所以. 故选：A. 7. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数定义域列式计算求出参数. 【详解】函数在区间上单调递减， 令， 因为单调递增， 所以在区间上单调递减且， 则，所以. 故选：D. 8. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的单调性判断AB，利用放缩法结合基本不等式判断C，假设使得，利用三角恒等变换化简判断D. 【详解】选项A：因为在上单调递增， 在上单调递减， 结合函数图象可得存在使得，此时，A说法错误； 选项B：当时，，即， 因为在单调递减，所以当时，，B说法错误； 选项C：当时，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，而， 所以， 当时，且， 所以， 同理可得， 当时，， 综上，C说法正确； 选项D：假设使得， 则， 由函数图象易知当时， 所以，所以， 因为，，所以，， 即恒成立，与假设矛盾， 所以不存在使得，D说法错误； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析函数的平移，伸缩，对称变换即可. 【详解】对于选项，两个函数斜率不同，不能通过平移得到，故错误. 对于选项，，是对向左平移个单位，再向上平移四个单位得到的，故正确. 对于选项，， 则，所以可将向左平移个单位即可得到，故正确. 对于选项，，是对先向右平移个单位，再向上平移个单位，故正确. 故选： 10. 已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数的图象关于对称 C. 方程在上有三个解 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合正弦型函数的零点、对称性、单调性、特殊角的余弦函数值逐一判断即可. 【详解】函数向左平移个单位长度后得到函数. 由题意可知函数是偶函数， 所以， 因为，所以，即，所以. A：因为，所以本选项说法正确； B：因为， 所以函数的图象关于对称，所以本选项说法正确； C：当时，， 由， 所以方程在上有两个解，因此本选项说法不正确； D：当时，， 显然， 所以函数在上单调递减，因此本选项说法正确. 故选：ABD 11. 已知函数．若与的图象有且只有三个交点，且．则（ ） A. B. 当时，在上恒成立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行化简，然后分析与图象特征，根据图象交点情况判断选项A；通过代入，比较与在上的大小判断选项B；根据函数的对称性判断选项C；根据数值的关系判断选项D. 【详解】对于A，，因为， 当时，，所以与图象最多有一个交点，，故A正确； 对于B，当时，，在同一坐标系内作出与的图象，如图， 观察图象可得在上恒成立（仅在端点处相等），故B错误； 对于C，因为函数的图象关于对称， 对于，由，得， 即的对称轴方程为，故函数的图象也关于对称， 又与图象有且只有3个交点，且，则，，故C正确； 对于D，设，因为，则，， 由，得， 即，。， 又，， 可得， -故，D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，证明是奇函数，由奇函数的对称性求结论． 【详解】设，， 则， ， 所以是奇函数， 又，， 所以，． 故答案为：． 14. 已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，方程可变形为，其中锐角满足，，则有，结合倍角公式求解即可. 【详解】， 其中锐角满足，， 方程在上有两个不同的实数解， 即方程在上有两个不同的实数解， 不妨设，由， 得，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式计算求解； （2）先利用已知条件求出，进而求出相关角的正、余弦值，再利用两角和的正弦公式计算求解． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 为锐角， ， 又， ， ，为锐角， ， ． 16. 已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． （1）求的解析式及其单调递增区间； （2）若，求满足的的值． 【答案】（1），递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅，周期，再将点代入运算，结合求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解； （2）由可得，再结合，即可求得的值. 【小问1详解】 由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：， 则，又，故， 故， 因为，所以, 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 因为， 所以，且. 则， 所以，所以. 17. 已知函数为奇函数．函数满足，且． （1）求和的解析式； （2）若在区间上的最小值为2，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出解析式，从而得到的解析式； （2）结合（1）可得，利用单调性的定义得到在上单调递增，从而得到，令，，化为在区间的最小值为，结合二次函数的单调性讨论即可求解. 【小问1详解】 由题可得的定义域为, 因为函数为奇函数， 所以，解得：, 当时，，则函数为奇函数， 所以的解析式为，则， 当，即时， 由可得： 【小问2详解】 由， 则, 由于，，不妨设， 则， 因为，所以，，，则， 所以在上单调递增，则，即， 令，则，， 所以在区间上的最小值为2， 等价于在区间的最小值为， 由于的对称轴为， 当，即，，解得，满足条件； 当，即，，方程无解； 当，即，，解得，不满足条件； 综上：. 18. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若在上有两个不等的实数根，求的取值范围； （3）在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，再代入中，求出，进而得到关于的方程求解即可； （2）根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质，列出关于的不等式组，求解即可； （3）先由必要性探路求得，再由函数的单调性结合题意证明充分性即可. 【小问1详解】 因为，所以， ， 由，解得或1； 【小问2详解】 因为函数在上有两个不相等的实根， 所以，即，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 在上恒成立， 即在上恒成立. 令， 由题意，，解得， ①当时，单调递增， 所以，符合题意； ②当时，要使恒成立，即证， 令，由可得， 所以在时单调递增，所以， ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即恒成立，所以符合题意； 综上，的取值范围为. 19. 已知的最小正周期为 （1）求函数的表达式与最值； （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点． 【答案】（1），的最大值为1，最小值为. （2） 由题意可知，定义域． ①当时，单调递增， 且，， ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立， 综上，存在唯一的，使得，且． （3） 由题意可知，， ①下证不等式右边：， 因为，代入上式， 要证（）式成立，只要证， 令，则， 上式化为证，即证：， 由，显然成立． ②下证不等式左边：因为，所以， 所以，所以， 所以． 下证，即证，即． 由于，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据周期，求得值，即可得答案； （2）分和讨论，再结合零点存在性定理证明即可； （3）利用换元法转化为证明，从而证明左边不等式成立，对右边不等式转化为证明，结合即可证明. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为， 所以，解得， 所以，则的最大值为1，最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 某尖拱结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，和所在圆的圆心都在线段上，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数的图象关于对称 C. 方程在上有三个解 D. 函数在上单调递减 11. 已知函数．若与的图象有且只有三个交点，且．则（ ） A. B. 当时，在上恒成立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 14. 已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． （1）求的解析式及其单调递增区间； （2）若，求满足的的值． 17. 已知函数为奇函数．函数满足，且． （1）求和的解析式； （2）若在区间上的最小值为2，求的值． 18. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若在上有两个不等的实数根，求的取值范围； （3）在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知的最小正周期为 （1）求函数的表达式与最值； （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $