第06讲 余弦定理、正弦定理应用举例（四大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第06讲 余弦定理、正弦定理应用举例 【人教A版】 模块一 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α， 例：(1)北偏东α；(2)南偏西α. 5．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【解答过程】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理和勾股定理，解三角形，求出两点之间的距离. 【解答过程】由题意知，，所以． 因为，在中，． 故选：D. 【变式1.2】（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【解答过程】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C. 【题型2 高度测量问题】 【例2】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【解答过程】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 【变式2.1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【解题思路】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【解答过程】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为 米． 【答案】 【解题思路】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【解答过程】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 【变式2.3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【答案】 【解题思路】应用正弦定理求，再由即可求塔高. 【解答过程】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米. 故答案为：. 【题型3 角度测量问题】 【例3】（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【解答过程】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【解题思路】根据题意，由即可得到的度数，即可得到结果. 【解答过程】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【解答过程】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C. 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解题思路】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【解答过程】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B. 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 【例4】（24-25高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【解题思路】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【解答过程】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 【变式4.1】（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【答案】B 【解题思路】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值. 【解答过程】如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，， ， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在中，，，，根据余弦定理可知 ，所以的最小值为． 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【答案】15 【解题思路】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【解答过程】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 【变式4.3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 （千米）. 【答案】2 【解题思路】根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】在中，因为，， 所以， 又与互补，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以观光线路之和最长是2. 故答案为：2. 一、单选题 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【解题思路】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【解答过程】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【解答过程】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 4．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【解答过程】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意利用余弦定理可解. 【解答过程】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 6．（24-25高三上·江西鹰潭·月考）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【解答过程】因为， 在中，， 在中，， ， 则， 由正弦定理得，则， 所以 ， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 7．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【解答过程】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（    ） A． B．△ABC周长为 C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为 【答案】B 【解题思路】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可. 【解答过程】对于D：由题意可得：圆形木板的直径， 即半径，故D错误； 对于A：由正弦定理，可得，故A错误； 对于B、C：由题意可得：，解得， 因为，则，可知为锐角，可得， 余弦定理，即， 解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误； 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 【答案】ABC 【解题思路】根据题意结合正、余弦定理依次判断求解. 【解答过程】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于B，直接利用余弦定理即可解出c； 对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于D，不知道边的长度，显然不能求c. 故选：ABC. 10．（24-25高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【答案】AB 【解题思路】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案. 【解答过程】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向． 故选：AB. 11．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】将图中各角表示出来，利用正弦定理可判断A选项，求出，结合锐角三角函数的定义可判断BCD选项. 【解答过程】由题意可得，，，，，， 对于A选项，，， 所以， ， 在中，由正弦定理得，故，A错； 对于B选项， ， 在中，由正弦定理可得，故， 在中，，B对； 对于C选项，在中，，C对； 对于D选项，在中，，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【解题思路】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【解答过程】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴ m. 故答案为：. 13．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 【答案】 【解题思路】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【解答过程】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 14．（24-25高三上·河南·月考）据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 小时． 【答案】 【解题思路】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案. 【解答过程】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置． 设台风移动小时后的位置为，则. 又，， 在中，由余弦定理，得 ， 由可得，， 整理可得，， 解得， 又， 所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【解题思路】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【解答过程】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 16．（24-25高一下·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出 （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【解答过程】（1）由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 （2）在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 17．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【解题思路】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得 ， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【解题思路】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【解答过程】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 19．（24-25高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【解题思路】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【解答过程】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 余弦定理、正弦定理应用举例 【人教A版】 模块一 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α， 例：(1)北偏东α；(2)南偏西α. 5．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 高度测量问题】 【例2】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【变式2.2】（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为 米． 【变式2.3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【题型3 角度测量问题】 【例3】（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【变式3.2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 【例4】（24-25高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【变式4.1】（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【变式4.2】（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【变式4.3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 （千米）. 一、单选题 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 4．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西鹰潭·月考）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 7．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（    ） A． B．△ABC周长为 C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 10．（24-25高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 11．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 13．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 14．（24-25高三上·河南·月考）据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 小时． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 16．（24-25高一下·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 17．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 19．（24-25高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $