第9章 平面向量全章综合检测卷（提高篇）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第9章 平面向量全章综合检测卷（提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 3．（5分）（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5分）（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D．是向量的单位向量 6．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 7．（5分）（24-25高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 11．（6分）（24-25高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 13．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 16．（15分）（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若，，且与的夹角为，求. 17．（15分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？ 18．（17分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 19．（17分）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面向量全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【解答过程】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解答过程】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 4．（5分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【解答过程】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D．是向量的单位向量 【答案】D 【解题思路】利用向量垂直、共线的坐标表示判断AB；用坐标求出向量的模判断C；求出单位向量判断D. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，与向量共线的单位向量为， 因此是向量的单位向量，D正确. 故选：D. 6．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解题思路】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【解答过程】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 7．（5分）（24-25高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解题思路】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案. 【解答过程】， ， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ，又，所以， 为等边三角形， 故选：D. 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【解答过程】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【解题思路】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解. 【解答过程】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线，这组向量可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线，这组向量可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以，这组向量不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以，这组向量不能作为基底，故D正确. 故选：CD. 10．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【解题思路】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【解答过程】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 11．（6分）（24-25高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 【答案】BC 【解题思路】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可. 【解答过程】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 【答案】 【解题思路】由垂直向量数量积以及数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【解答过程】由，则，解得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】 【解题思路】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【解答过程】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 16．（15分）（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 17．（15分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【解题思路】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【解答过程】（1）由已知得， 因为 . 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若 ，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 18．（17分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 19．（17分）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $