作业五-【新课程寒假作业】2025-2026学年高二数学

高二数学 第 周 必 日 作业五 作业内容 作业内容 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 复习选择性必修一教材第52一60页：空间中两点之间的距离、空间中点到直线的距离、 空间中点到平面的距离、平行的直线与平面间的距离、平行的两平面之间的距离 实基础 夯实基础 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1.(点到平面的距离，教材第57页)若平面α过点A(2,3,0)且该平面的一个法向量 为n=(2,1,1),则点P(-4,-9,30)到平面x的距离为() 能力提升 A.V⑥ B.2V3 C.2V3 D.2V6 3 2.(点到直线的距离，教材第56页)已知空间中向量AB=(0,1,0),向量AC的单位向 思维拓展 量为-V3,V3,-V3,则点B到直线AC的距离为() 3’ 3， 3， A.V3 B.V C.2V3 D.Vi5 3 3 3 3.(两点间的距离，教材第55页)已知A(1,0,-1),B(-1,2,3),则A,B两点间 的距离为() A.2V3 B.2V6 C.12 D.24 4.(点到平面的距离，教材第57页)在四棱锥P-ABCD中，AB=(2,3,-1),AC= (-2,0,1),AP=(3,-1,-2),则该四棱锥的高为() A.2V5 D.V5 3 B号 c 5 5.(点到平面的距离，教材第57页)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD1中，点P,Q 分别为平面ABCD1、平面BCCB,的中心，则点B到平面APO的距离为( A.V10 B.2V11 11 c.⑤ 5 D.5V11 11 6.(点到直线的距离，教材第56页)四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB, AB=BC=CD=1,设AB,BC,CD的中点分别为L,M,N,则点M到直线LN的距离为 7.(异面直线间的距离，教材第59页)已知四边形ABCD为矩形，P为四边形ABCD外 一点，且PA1平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=1,则异面直线PC与BD之间的距离为 13 新课程案假作 第 周 年月 日 能力提升 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 8.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在的平面互相垂直，且BC=BD=4, AC=4V2,CD=4V3,∠ACB=45°，E,F分别为AC,DC的中点. (1)求证：平面ABDL平面BCD: (2)求二面角E-BF-C的正弦值： (3)求点C到平面BEF的距离. 第8题图 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角 形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1. (1)求证：AB⊥PD (2)求线段PA的中点M到平面PCD的距离. (3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为VI0?若 存在，求出吧的值；若不存在，请说明理由。 PD 第9题图 ≥14 高二数学 第周 年 月 日 思维拓展 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 作业内容 设等差数列{a}的首项为a,公差为d.对于正整数s,t,p,q,若s+t=p+q, 则a,+a=[a+(s-1)d]+[a+(t-1)d]=2a+(s+i-2)d,4,+a,=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]=2a+ (p+q-2)d. 因为s+i=p+q,所以a,+a,=a,+ag 实基础 当2s=p+g时，2a,=4,+ag, 已知，某梯子共有5级，从上往下数，第一级的宽为35cm,第5级的宽为43cm,且 各级的宽度从小到大构成等差数列{a},求其余3级的宽度， 能力提升 方法一：依据题意，可求出公差d=2,从而得到=35+2=37,4=37+2=39，a4=39+2=41 方法二：根据等差数列的性质，2a=a+a,=35+43=78,即=39.类似地，22=a1+a=35+ 39=74,所以=37，同理，a4=41. 思维拓展 10.在数列al中，a2,al,且日为等差数列，则a 1l.在等差数列{a}中，若as+s+a=30,则a+a的值为 12.已知{a为等差数列，a+a4+as=s+a6,ao=10,则a 15新课程案僧作业 则mBC0,即 「4y=0, m-BB=O, 【-V32+y2+tz=0. xV3,得y=0,3 放平面BBC的一个法向量为m=V了，0，三设平面ABD与平面B,C的夹角为0， 3+12 则cos0=cosm,nml Iml.Inl 1V3+1+16 4至，解得2或-2（舍去），即AA1=2. V3+ 9 7 △AB,D的面积为)2x2xY5=-V了，△ABD的面积为)×xxY写=4V3. 2 2 三棱台A,BD-ABD的体积W=}x(V了+4V了+VW3x4V3)x2-14y3 3 11.(1)24(2)-212.144mm,168mm,192mm 作业五 1A2.B3.B4.D5.B6.Y27.2VI 21 8.(1)证明：BC=4,AC=4V2,∠ACB=45°， AB=V4+(4V2)2-2×4×4V2cos45°=4，：AC2=BC+AB,则∠ABC=90°，AB=BC 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABCO平面BCD=BC,ABC平面ABC, :AB⊥平面BCD.又ABC平面ABD,故平面ABD⊥平面BCD. (2)解：BC=BD,点F为CD的中点，BF⊥CD. CD=4V3,CF=2V3,则sinL FBCa=Y3,÷∠FBC=60,则∠DBC=120. 2 以点B为原点，以平面BCD内垂直于BC的直线为x轴，BC,BA所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,4),C(0,4,0),E(0,2,2),F(V3,1,0) BE=(0,2,2),BF=(V3,1,0),平面BCF的一个法向量为n=(0,0,1). 设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则0.V5y-0,取，得y-V3,=V5, 2-BE=0,2y+2z=0. n=(1,-V了，V3)为平面BEF的一个法向量. 设二面角E-BFC的大小为0，则icos=cosm,n,=n:-V至=V2红 Inil-Ind v7 7 第8题答图 :sin0-V-cos0=2Y7,则二面角E-BF.C的正弦值为2Y7」 7 7 (3)解：由(2)知，CE=(0,-2,2),平面BEF的法向量2=(1，-V3,3), 则点C到平面BEF的距离dCE:n以_4V3=4V2 ln以v77 9.(1)证明：：平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 又AB⊥AD且ABC平面ABCD,AB⊥平面PAD.PDC平面PAD,AB⊥PD. (2)解：如图1，取AD的中点O,连接PO,OC,△PAD为等边三角形，PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD.AO=BC=1,AO∥BC,.四边形ABC0是平行四边形， >110 高二数学 .OC∥AB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直. 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则A0,-1,0,D0,1,0,c1,00,81,1,0,r0,0,V)M0.分， 作业内容 1,-7,,@=(-,0,V3).而=(-1,1,0) 设平面10D的法向量为m=(K,,,则n:C-4V3-0, M .CD=-x+y-0. 10 实基础 取l,得n=(V了，V了，1)，点M到平面PD的距离止CV3-V2 (3)解：如图2，连接AE,CE,令PE=λPD=(0,入，-V3A),A∈[0,1]， 图1 则AE=AP+PE=(0,1,V3)+(0,入，-V3A)=(0,1+入，V3-V3),AC=(1,1,0)· 能力提升 设平面EAC的法向量为m=(a,6,c小，则m:1C=a+b-0, m-AE=(1+)b+(V3-V3)c=0. 取b=V3(-1),得m=(V3(1-A),V3(入-1)，A+1). 思 易知平面DAC的一个法向量为0P=(0,0,V3), 于是，lcos0f,m上0Fm.V了a+1) -1V10 维拓展 10PI-Iml v3.V7X2-10A+7 5 化简得310M+3-0又Ae[0,山，解得A=},即语-} 图2 PD3· 第9题答图 :线段PD上存在点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为VD,此时E={ 5 PD3 10.211.2012.5 3 作业六 1.B2.D3.B4.D5.A6.A7.B8.x+3y=0或x+y+2=09.3x-y-7=0 10.解：(1)设与直线x+y-3=0平行的直线方程为x+y-c=0,经过点(1，-1)，则1-1-c=0,则c=0,.直线的 般式方程为x+y=0. (2)点A(-2,-1),B(4,3)的中点为(1,1)，k=3-号，则线段AB的垂直平分线的斜率kk=-1, 4+23 则k=-号.直线方程为)1上-子x-1),直线的一殿式方程为3x+2-5=0 (3)设直线在两坐标轴上的截距为a,即直线过(0，a),(a,0),当截距a=0时，直线过点(0,0)，k=4=2, 2 则y=2x,即2x-y=0;当截距a≠0时，直线的斜率k=-=-1,则y-4=-(-2),即x+y-6=-0..在两坐标轴上的截距相 等的直线方程为2x-y=0和x+y-6=0. 42 1山解：（①设BC边上的中点为D,则D6,多，则中线的斜率为&1石=2， 1 则由点斜式可得BC边上的中线所在直线的方程为y-4-之-1)→+之号-02+-90， （2)由题可得C的斜率为6-7.号，则BC边上的高所在直线的斜率为品.义Bc边上的高所在直线的 5-7 方程过点A,则8C边上的高所在直线的方程为4异-1)→y品号-0一2-1+42-0， 111