作业四-【新课程寒假作业】2025-2026学年高二数学

新课程案假作业 第 周 月 日 作业四 作业内容 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 复习选择性必修一教材第49一53页：二面角的度量、用空间向量求二面角的大小， 夯实基础 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1.(向量夹角公式，教材第52页)设平面α与平面B的夹角为0，若平面，B的法向 量分别为n1,n2,则cos0=() Ah调 B.Innl in n C.Irlinsl D.Irillns n1'n2 In'nl 2.(法向量求两平面所成角，教材第52页)已知向量m,n分别是平面ax和平面B的法 向量，若cos(m,n)=子，则平面a与平面B的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(法向量求两平面所成角，教材第52页)已知两平面的法向量分别为m=(0,V2, 0),n=(V2,V2,2),则两平面所成的二面角为() A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 4.(两平面所成角，教材第53页)在校长为2的正方体ABCD4,BGD,中，若BFBC, 则平面ABP与平面ABP夹角的余弦值为() A.V2 B.V3 c.② 3 4 5 D.3 6 5.(二面角定义，教材第50页)如图，二面角a-l-B的棱上有 两点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都 垂直于棱L,若AB=2,AC=3,BD=4,CD=V41,则二面角-lB的 D 大小为() 第5题图 A君 B. D. 6 >10 高二数学 第 周 年 月 日 6.(二面角求法，教材第51页)设四边形ABCD是一个正方形，PAL 平面ABCD,PA=AB,则二面角PBC-A的大小为 7.(两平面所成角，教材第53页)若一个正四棱锥的高和底面边长都 作业内容 为a,则它的侧面与底面所成角的余弦值为 8.(二面角求法，教材第53页)如图所示，在圆锥S0中，AB是底面 圆的直径，且SO=AB=4,AC=BC,则二面角A-SB-C的余弦值为 第8题图 实基础 能力提升 ■■■■■图■图■■■■■■■■■■■■■■ 9.如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2,EA= 能力提 AB=BC=1. (1)求证：平面EAC⊥平面ECD: (2)若点F在侧棱EC上，EF=2FC,求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值. 心维拓展 2 第9题图 1O.如图，多面体ABD1-ABCD是三棱台A BD-ABD和四棱锥C-BDDB1的组合体，底 面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2AB1=4,E为CD的中点，平面AA BBL平面 ABCD,AA1⊥AB. (1)求证：DE∥平面ABD; (2)若平面ABD与平面BB,C夹角的余弦值为V42,求三棱台AB,D-ABD的体积. 7 第10题图 11 新课程案假作 第 周 年 月 日 思维拓展 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■回 定义：如果x,A,y是等差数列，则称A为x与y的等差中项.例如： (1)某公司新员工入职前3个月的月薪按等差数列增长.若第1个月工资为5000元，第 3个月工资为6000元，则第2个月的工资就是第1个月和第3个月工资的等差中项：A= 5000+6000=5500,这样，工资每月稳定增长500元，避免薪资波动过大. 2 (2)运动员小张的每日长跑距离成等差数列.若周一跑4公里，周三跑8公里，则周二 的跑步距离为等差中项：A=4+8=6,这样，训练强度均匀提升，避免突然增加导致受伤， 2 (3)建造一排路灯，第一盏和最后一盏相距20m.若要在中间加一盏灯，使其间距成等 差数列，则中间灯的位置：A=0+20=10,这样，路灯分布均匀，既美观又符合工程标准」 (4)作曲时，若某小节第一拍和第三拍的音符时值分别为1s和5s,为使节奏流畅，第 二拍的时值可设为等差中项：A1生3，这样形成的等差数列（山，3,5）使音乐节奏更加自然 等差中项的核心是均匀分配，广泛应用于薪资调整、运动训练、工程设计和艺术创作等 领域.通过公式A=+,可以快速计算中间值，确保数据呈线性变化，使规划更加科学合理. 11.求下列各题中两个数的等差中项！ (1)30与18： (2)-13与9. 12.已知安装在一个公共轴上的5个皮带轮的直径成等差数列，其中最大的与最小的皮 带轮直径分别为216mm与120mm,求中间三个皮带轮的直径 ≥12新课程案僧作业 则cos(AC,BD)1= 2V5片，解得日或名.断-1或%多 212-tl BD 5 10.61011.解：(1a=2,a=1,a=}, =。.(2)a=3,a=5,as=7,a4=9,as=l1. 4，a4=8 作业三 1.B2.c3.B4.B5.36.①②④7.Y78.45° 9 4 9.(1)证明：如图1，连接BD交AC于点H,连接HE. ·四边形ABCD是正方形，H是BD的中点 又E为线段PD的中点，HE∥PB. ,HEC平面ACE,PB￠平面ACE,.直线PB∥平面ACE. (2)解：底面ABCD是边长为1的正方形，AB⊥AD. 图1 又AB⊥PD,ADOPD=D,且ADC平面PAD,PDC平面PAD,.AB⊥平面PAD. ,PA⊥AD,故可分别以AD,AP,AB为x轴、y轴、a轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Ay. :底面ABCD为边长为1的正方形，PA=2AD, 则A0,0.0.P0.20.D1,0,0.E3,1,0.c1,0.1), 则AC=(1,0,1),AE=3,1,0,C=(-1,2,-1) n-AC=x+z-0, A 设平面ACE的一个法向量为n=(c,y,z),则 aAB-2x-0. 图2 令=-2，则n=(2,-1,-2),设直线PC与平面ACE所成角为0， 第9题答图 期aasa@.A光哥景3GSeo.号，aV1商5y 9 即直线PC与平面ACE所成角的余弦值为5V3 9 10.(1)证明：如图，连接AE,BE=AB=2,∠ABE=90°，AE=2V2. ∠DPE=90°，PD=PE=2,.ED=2V2,AE+ED2-AD,.∠DEA=90°，即AE⊥ED. :平面PED⊥平面ABED,AEC平面ABED,平面PED∩平面ABED=ED,,AE⊥平面PED 又：PDC平面PED,∴AE⊥PD.又PD⊥PE,PE∩AE=E,PEC平面PEA,AEC平面PEA,PD⊥平面PEA. (2)解：如图，以E为原点，ED,EA所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则E(0,0,0),A(0,2V2,0),D(2V2,0,0),B(-V2,V2,0),P(V2,0,V2), PD=(V2,0,-V2),PA=(-V2,2V2,-V2),AB=(-V2,-V2,0). 设平面P1B的法向量为=，，列.则可V2+22-V7=0,取=1，-1,3》 AB'.n-V2x-V2y-0, 设直线PD与平面PBA所成角为A,则sin:P四，川-4V22V2 IPD'I.Inl V11x2 11' 即直线PD与平面PBA所成角的正弦值为2V22 11 第10题答图 11.(1)是(2)是(3)不是12.613.a=3n+2 作业四 1B2B3C4D5C6457.Y58号 5 >108 高二数学 9.(1)证明：如图1，取AD的中点M,连接CM,可得四边形ABCM是边长为1的正方形， 则AC=V2,CD=V2,又ACP+CD=AD2,故CD⊥AC. 作 EA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,:.CD⊥EA M 又CDLAC,EA∩AC=A,EAC平面EAC,ACC平面EAC,.CD⊥平面EAC ---D 业内容 B 又CDC平面ECD,.平面EAC⊥平面ECD. (2)解：如图2，分别以AB,AD,AE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Ayz, 图1 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1). 由EF2c得，F号，号，号，在平面1B巾，正-号，子含， 实基础 AB=(1,0,0).设平面FAB的法向量为=(x,y,z), D 则有 令y=1,解得x=0,y=1,=-2, AB.n=x+0+0=0. 图2 能力提升 故平面FAB的一个法向量为n=(0,1,-2). 第9题答图 同理a产号，号，号，币-号，号，号)，设平面MD的一个法向量为见=a,6,c, AF.n= 2,2,1 +53=0， 则有 令=1，则y=0,=-2,故n=(1,0,-2) 思维拓展 设平面FAB与平面FAD的夹角为0，则cos0lcos(nm1,n2l= 4 综上所述，平面FAB与平面FAD夹角的余弦值为4 10.(1)证明：如图1，连接BE,BD∥BD1,BD￠平面BDE,BDC平面BDE, BD/平面BDE.A,B/AB,A,B=AB,DE/AB,DE=AB. AB∥DE,AB=DE, .四边形ABED为平行四边形，.AD∥BE. 又AD4平面BDE,BEC平面BDE,AD∥平面BDE. 图 AD∩BD=D,ADC平面ABD,BDC平面ABD, ∴平面ABD∥平面BDE.又DEC平面BDE,∴D,E∥平面ABD. (2)解：：平面AABB⊥平面ABCD,平面AA BBO平面ABCD=AB, AA1⊥AB,AA1C平面AABB,.AA1⊥平面ABCD. 如图2，取BC的中点F,连接AF,AC,:四边形ABCD为菱形，∠ABC=6O°， .△ABC为等边三角形，AF⊥BC 又AD∥BC,AF⊥AD,AF,AD,AA1两两垂直， 则以A为原点，AF,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 图2 建立如图2所示的空间直角坐标系， 第10题答图 设AA=t,>0,则A(0,0,t),B(2V3,-2,0),C(2V3,2,0),B(V3,-1,t),D(0,4,0), :BA=(-2V3,2,t),BD=(-2V3,6,0),BC=(0,4,0),BB=(-V3,1,t)· 设平面ABD的法向量为n=(x1,1,), 则n0即2V320取=V5,得y1,片 4 nBd=0,-2V3x+6y-0. 故平面ABD的一个法向量为n=V3,1,4设平面BB,C的法向量为m=,n,, 109 新课程案僧作业 则mBC0,即 「4y=0, m-BB=O, 【-V32+y2+tz=0. xV3,得y=0,3 放平面BBC的一个法向量为m=V了，0，三设平面ABD与平面B,C的夹角为0， 3+12 则cos0=cosm,nml Iml.Inl 1V3+1+16 4至，解得2或-2（舍去），即AA1=2. V3+ 9 7 △AB,D的面积为)2x2xY5=-V了，△ABD的面积为)×xxY写=4V3. 2 2 三棱台A,BD-ABD的体积W=}x(V了+4V了+VW3x4V3)x2-14y3 3 11.(1)24(2)-212.144mm,168mm,192mm 作业五 1A2.B3.B4.D5.B6.Y27.2VI 21 8.(1)证明：BC=4,AC=4V2,∠ACB=45°， AB=V4+(4V2)2-2×4×4V2cos45°=4，：AC2=BC+AB,则∠ABC=90°，AB=BC 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABCO平面BCD=BC,ABC平面ABC, :AB⊥平面BCD.又ABC平面ABD,故平面ABD⊥平面BCD. (2)解：BC=BD,点F为CD的中点，BF⊥CD. CD=4V3,CF=2V3,则sinL FBCa=Y3,÷∠FBC=60,则∠DBC=120. 2 以点B为原点，以平面BCD内垂直于BC的直线为x轴，BC,BA所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,4),C(0,4,0),E(0,2,2),F(V3,1,0) BE=(0,2,2),BF=(V3,1,0),平面BCF的一个法向量为n=(0,0,1). 设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则0.V5y-0,取，得y-V3,=V5, 2-BE=0,2y+2z=0. n=(1,-V了，V3)为平面BEF的一个法向量. 设二面角E-BFC的大小为0，则icos=cosm,n,=n:-V至=V2红 Inil-Ind v7 7 第8题答图 :sin0-V-cos0=2Y7,则二面角E-BF.C的正弦值为2Y7」 7 7 (3)解：由(2)知，CE=(0,-2,2),平面BEF的法向量2=(1，-V3,3), 则点C到平面BEF的距离dCE:n以_4V3=4V2 ln以v77 9.(1)证明：：平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 又AB⊥AD且ABC平面ABCD,AB⊥平面PAD.PDC平面PAD,AB⊥PD. (2)解：如图1，取AD的中点O,连接PO,OC,△PAD为等边三角形，PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD.AO=BC=1,AO∥BC,.四边形ABC0是平行四边形， >110