作业二-【新课程寒假作业】2025-2026学年高二数学

新课程案僧作业 第 周 月 日 作业二 作业内容 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■回 复习选择性必修一教材第29一41页：直线与直线的方向向量、平面与平面的法向量、 空间中两条直线所成角、三垂线定理 夯实基础 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1.(异面直线夹角的定义，教材第31页)若异面直线的方向向量与2的方向向量的夹 角为150°，则1与12的夹角为() A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均不对 2.(直线与平面的位置关系，教材第38页)设=(3，-2，-1)是直线l的方向向量，= (1,2,-1)是平面的法向量，则() A.l⊥a B.l∥a C.l∥x或lC D.l⊥a或lCx 3.(平面法向量的求法，教材第39页)在空间直角坐标系0-x2中，A(-1,1,0),B(2, 1,-2),C(0,2,-1),则平面ABC的一个法向量为() A.(2,1,3) B.(-2,1,3) C.(2,-1,3) D.(2,1,-3) 4.(利用空间向量求异面直线夹角，教材第32页)在正方体ABCD-ABCD1中，已知E 为AD,的中点，则异面直线BD与AE所成角的余弦值为() A号 B.V10 c.V⑤ D.V10 10 5 4 5.(两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系，教材第31页)已知两条空间直线 a,b的夹角为60°，a,b分别为直线a,b的方向向量，则(a,b)= 6.(空间中直线与平面的向量表示，教材第29,37页)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD,AC,BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题： ①BC为平面PAD的法向量； ②BD为平面PAC的法向量： ③CD为直线AB的方向向量： C ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量. 第6题图 其中正确命题的序号是 7.(空间向量坐标，教材第35页)已知在长方体ABCD-ABCD1中，AA1=AB=2,若棱 高二数学 第 周 年 月 日 AB上存在一点P,使得DP⊥PC,则AD的取值范围是 能力提升 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 作业内容 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,AD=PD (1)求证：AC⊥平面PBD; (2)求平面APB的一个法向量， 实基础 D B 能力提升 第8题图 思维拓展 9.如图，在三棱锥A-BCD中，ADLBD,∠CBD=60°，cosLABD=2coS∠ABC=2 (1)求证：ADLBC; (2)若异面直线AC与BD所成角的余弦值为}，求6的值 BD 第9题图 5 新课程案作业 第 周 年 月 日 思维拓展 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 13世纪意大利数学家斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：假设 有一对刚出生的兔子，两个月后开始每月生一对新兔子，新兔子同样两个月后开始繁殖.问 一年后会有多少对兔子」 设F表示第n个月的兔子对数，根据题意： 第1个月：只有最初的一对兔子→F=1: 第2个月：兔子还未成熟→F=1: 第3个月：最初的一对开始繁殖→F=2: 第4个月：最初的一对继续繁殖→F4=3. 由此可得递推公式：Fm=F,+Fn2(n≥3)· 利用递推关系，我们可以逐月计算： F=F4+F3=3+2=5, F6=F3+F4=5+3=8, F12=F+Fo=89+55=144 一年后将会有144对兔子. 递推公式是描述数列项之间关系的数学表达式. 斐波那契数列的递推关系F=F+F2(n≥3)表明：(I)当前项由前两项决定，属于二 阶线性递推.(2)必须已知前两项（初始条件），才能计算后续项. 10.斐波那契数列的第15项为 1L.根据以下信息，分别写出数列{a}的前5项 （0）4=2,a=7a: (2）a=3,an+1=an+2. ≥6高二数学 参考答案 作业内容 作业一 实基础 1.D2.C3B4B5.A6D7.号（或05）8V5 9.解：(1)b=(1,0,2),c=(1,V3,2),b-c=(0,-V3,0).又a=(m,2V3,6),a(b-c)=2V3× (-V3)=-6. 能力提升 2t1,0.2.-l,Vs,2.oo,c品V44Y四 1+4 -1V10 10.解：(1)4AD=(5,-4,3)-(1,0,0)=(4,-4,3),BC=(2,0,1)-(3,1,1)=(-1,-1,0),AD.BC= 4×(-1)+(-4)×(-1)+3×0=0,.AD在BC上的投影向量为0. 思维拓展 (2)A,B,C,D四点不共面.理由：AD=(4,-4,3),AB=(2,1,1),AC=(1,0,1),设AD=λAB+uAC, 4=2λ+μ， 即{-4=入，该方程组无解，A,B,C,D四点不共面 3=入w, 11.(1):ACY-AB+BC+CC-AB+AD+AA-a+b+c,BD=BC+CC+CD:-AD+AA-AB=-a+b+c. 2)解：aBAD-ah=0,4B-ac=lx2x-7）-1,a0a=bc=Ix2x-3-l,AGr=a+he-a+ b+c2+2(ab+ac+bc)=1+1+4+2x(0-1-1)=2,.ACi=V2. (3)证明：AA.BD=AA(AD-AB)=c(b-a)=cb-ca=-1-(-1)=0,AA11BD. 12.(Da=-2n(2)a-2n-1(（3)a-2,n为偶数 0,n为奇数 作业二 1.A2.C3.A4.B5.60°或120°6.②③④7.(0,1] 43 8.(1)证明：：底面ABCD为正方形，AC⊥BD ,PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,PD⊥AC. PDOBD=D,PDC平面PBD,BDC平面PBD,∴AC⊥平面PBD. D (2)解：以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，设AD=PD=1,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1), A--、 B 故A=(-1,0,1),AB=(0,1,0).设平面APB的-个法向量为n=(x,y,z), 第8题答图 则严.n0,即-0，令l,则l,放平面A阳的一个法向量为m=1,0,). ABn=0,=0. 9.(I)证明：由cOs∠ABC=cos∠ABD·cos∠CBD得平面ABD⊥平面BCD. 由平面ABD∩平面BCD=BD且AD⊥BD得ADL平面BCD,∴AD⊥BC. (2)解：不妨设BD=2,BC=2t,以D为原点，分别以DB,DA所在直线为x轴、z轴 x B 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,V5),C(2-t,V3t,0),故AC=(2-t, V3,-V5),BD=(-2,0,0), 第9题答图 107 新课程案僧作业 则cos(AC,BD)1= 2V5片，解得日或名.断-1或%多 212-tl BD 5 10.61011.解：(1a=2,a=1,a=}, =。.(2)a=3,a=5,as=7,a4=9,as=l1. 4，a4=8 作业三 1.B2.c3.B4.B5.36.①②④7.Y78.45° 9 4 9.(1)证明：如图1，连接BD交AC于点H,连接HE. ·四边形ABCD是正方形，H是BD的中点 又E为线段PD的中点，HE∥PB. ,HEC平面ACE,PB￠平面ACE,.直线PB∥平面ACE. (2)解：底面ABCD是边长为1的正方形，AB⊥AD. 图1 又AB⊥PD,ADOPD=D,且ADC平面PAD,PDC平面PAD,.AB⊥平面PAD. ,PA⊥AD,故可分别以AD,AP,AB为x轴、y轴、a轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Ay. :底面ABCD为边长为1的正方形，PA=2AD, 则A0,0.0.P0.20.D1,0,0.E3,1,0.c1,0.1), 则AC=(1,0,1),AE=3,1,0,C=(-1,2,-1) n-AC=x+z-0, A 设平面ACE的一个法向量为n=(c,y,z),则 aAB-2x-0. 图2 令=-2，则n=(2,-1,-2),设直线PC与平面ACE所成角为0， 第9题答图 期aasa@.A光哥景3GSeo.号，aV1商5y 9 即直线PC与平面ACE所成角的余弦值为5V3 9 10.(1)证明：如图，连接AE,BE=AB=2,∠ABE=90°，AE=2V2. ∠DPE=90°，PD=PE=2,.ED=2V2,AE+ED2-AD,.∠DEA=90°，即AE⊥ED. :平面PED⊥平面ABED,AEC平面ABED,平面PED∩平面ABED=ED,,AE⊥平面PED 又：PDC平面PED,∴AE⊥PD.又PD⊥PE,PE∩AE=E,PEC平面PEA,AEC平面PEA,PD⊥平面PEA. (2)解：如图，以E为原点，ED,EA所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则E(0,0,0),A(0,2V2,0),D(2V2,0,0),B(-V2,V2,0),P(V2,0,V2), PD=(V2,0,-V2),PA=(-V2,2V2,-V2),AB=(-V2,-V2,0). 设平面P1B的法向量为=，，列.则可V2+22-V7=0,取=1，-1,3》 AB'.n-V2x-V2y-0, 设直线PD与平面PBA所成角为A,则sin:P四，川-4V22V2 IPD'I.Inl V11x2 11' 即直线PD与平面PBA所成角的正弦值为2V22 11 第10题答图 11.(1)是(2)是(3)不是12.613.a=3n+2 作业四 1B2B3C4D5C6457.Y58号 5 >108