专题2.2 从位移的合成到向量的加减法（高效培优讲义，6知识&5题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题2.2 从位移的合成到向量的加减法 教学目标 1.借助实例理解向量加法、减法的概念，明确其物理意义与几何意义； 2.掌握向量加法的三角形法则、平行四边形法则，以及向量减法的几何法则，能熟练作出和向量、差向量； 3.理解向量加法的交换律、结合律，能运用运算律进行向量的加减运算； 4.结合相反向量的含义，熟练掌握向量的加减运算方法。 教学重难点 1.重点 （1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则，以及向量减法的几何意义； （2）向量加减运算的实际操作（用法则作图）与运算律的应用。 2.难点 （1）区分并灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加法运算； （2）理解向量减法与相反向量的联系，准确将减法运算转化为加法运算。 知识点01 向量加法的运算法则 1.求 两个向量和 的运算，叫作向量的加法。 2.平行四边形法则：如图1，已知两个不共线的向量，在平面内任取一点，作有向线段，，再作平行于的有向线段，连接，则四边形为平行四边形。向量叫作向量与的和，表示为 。 图1 图2 3.三角形法则：如图2所示，已知两个不共线的向量，在平面内任取一点，作有向线段，再作向量，则向量叫作向量的和，记作，即 。 4.注意：零向量与任一向量的和都有 ；互为相反向量的两个向量的和为零向量，即 。 【即学即练】 1．(24-25高一下·北京朝阳区·期末)在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量加法法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 知识点02 与之间的关系 1.对于任意非零向量，当向量不共线时，的方向与都不相同，有 （三角形两边之和大于第三边）。 2.对于任意非零向量，当向量同向时，的方向相同，有 。 3.对于任意非零向量，当向量反向时，若，则的方向相同，且；若，则的方向相同，有 。 【即学即练】 3．已知，是两个非零向量，则｜＋｜与｜｜＋｜｜的大小关系是（    ） A．｜＋｜｜｜＋｜｜ B．｜＋｜｜｜＋｜｜ C．｜＋｜｜｜＋｜｜ D．｜＋｜｜｜＋｜｜ 【答案】D 【分析】根据向量加法及模长性质计算判断各个选项. 【详解】因，是两个非零向量，则，当且仅当与同向共线时等号成立，故D正确. 故选：D. 4．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围． 【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立， 因此，的取值范围是， 故选：A． 知识点03 向量加法运算律 1. 结合律：。 2. 交换律：。 3. 个向量相加：已知个向量，依次把这个向量 首尾相连 ，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量称为这个向量的和向量。即。 【即学即练】 5．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 6．(21-22高一下·广东梅州兴宁第一中学·期中)等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 知识点04 相反向量（知识回顾） 1定义：把与长度相等、方向相反的向量，叫作的 相反向量 ，记作 。 2性质： （1）零向量的相反向量仍是零向量，于是； （2）互为相反向量的两个向量的和为，即； （3）若，则。 知识点05 向量的减法 1. 定义：，即向量减向量等于向量加上向量的 相反向量 。 2. 几何意义：如图3所示，以为起点，作向量，，则，即可表示从向量的终点指向向量的终点的向量。 图3 【即学即练】 7．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 8．(24-25高二下·云南普通高中·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】由. 故选：D 知识点06 向量三角不等式 一般地，有 ，当且仅当方向相同时，当且仅当方向相反时；有有 ，当且仅当方向相反时，当且仅当方向相同时。 注意：至少有一个为零向量时，向量不等式的等号也成立。 【即学即练】 9．(23-24高一上·辽宁朝阳·期末)已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得. 【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是. 故选：B 10．(23-24高一下·山东德州夏津县第一中学·月考)设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的性质求解即可. 【详解】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号. 故选：C 题型01 运用向量加减法法则作图 【典例1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式1】请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作图即可. 【详解】如图所示．    【变式2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 【变式3】如图，已知向量，求作向量． 【答案】答案见解析 【分析】利用向量的加法、减法的三角形法则作图即可. 【详解】作图如下． 【变式4】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 题型02 结合图形化简多个向量的加减 【典例1】(24-25高一下·安徽阜南实验中学（阜南县教师进修学校）·月考)如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则， 故选：B. 【变式1】(23-24高一下·湖南邵阳县第二高级中学·期中)在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 【变式2】如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 【变式3】(18-19高一下·北京东城区·期末)如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 【变式4】(21-22高一下·山东威海乳山第一中学·月考)P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（    ）． A．四边形ABCD对角线交点 B．AC中点 C．BD中点 D．CD边上一点 【答案】B 【分析】先由三角形法则得到，结合题目条件得到即可求解. 【详解】，，即， 故，，故P为AC中点. 故选：B. 题型03 向量加减综合运算 【典例1】(20-21高一下·陕西宝鸡陈仓区·期中)向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由, 故选：A 【变式1】(20-21高一下·安徽宣城泾县中学·)化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则，计算即可得答案. 【详解】. 故选：B 【变式2】(23-24高一下·四川新津中学·月考)下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 【变式3】（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可． 【详解】由题意可得：. 故选：C． 【变式4】(24-25高二上·广东廉江安铺中学·月考)化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 题型04 用已知向量表示未知向量 【典例1】(23-24高一下·贵州遵义·期末)如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 【变式1】(24-25高一下·贵州六盘水·月考)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 【变式2】(23-24高三上·江苏南通海安·期中)在中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作图，结合向量的运算，可得答案. 【详解】   ， 故选：A. 【变式3】如图，在四边形中，设，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解. 【详解】因为，，， 所以 故选：B. 【变式4】如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【答案】B 【分析】向量的加法、减法法则计算即可. 【详解】由向量的加法、减法法则，得 ， ． 故选：B. 题型05 向量加减法的实际运用 【典例1】人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度是既有大小又有方向的量，结合图示由向量的加法法则即可得出结果. 【详解】因为速度是既有大小又有方向的量， 如下图，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋. 故选：B. 【变式1】(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 【变式2】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析 (2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可； （2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向. 【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点. (1)作出位移，，； (2)求. 【答案】(1)作图见解析 (2)200千米 【分析】（1）在平面直角坐标系中，作出位移，即可得出； （2）根据已知可得出四边形ABCD为平行四边形，结合图象，即可得出答案. 【详解】（1）作出，，，如图所示.      （2）由题意，知与方向相反，且长度相等，所以四边形ABCD为平行四边形， 所以千米. 【变式4】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【答案】(1)答案见解析 (2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【分析】（1）根据题意，直接画出向量图； （2）先得到四边形ABCD为平行四边形，即可得B地相对于A地的位移. 【详解】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 1．(20-21高一下·浙江嘉兴八校联盟·期中)化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算法则化简即可. 【详解】. 故选：B 3．(21-22高一·9.2.1第1课时向量的加法（备作业）-·)已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 4．(20-21高一下·6.2.1向量的加法运算（练习）-·)如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解. 【详解】. 故选：B 5．(20-21高一下·6.2.1向量的加法运算（练习）-·)向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法运算即可得到结果. 【详解】 故选：D 6．(20-21高一上·青海海东·期末)已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合向量的线性运算即可. 【详解】由平面向量的线性运算可知， ， 故选：C． 7．(19-20高一下·湖南邵阳城步苗族自治县第一民族中学·期末)等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法减法运算即可求解. 【详解】, 原式， 故选：A 8．(23-24高一上·河北石家庄二十四中·期末)向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 9．(21-22高一下·四川科学城第一中学·月考)如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算直接求解即可. 【详解】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，, 所以. 故选：D. 10．(21-22高一·9.2.1第1课时向量的加法（备作业）-·)已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是（    ） A．[3,17] B．(3,17) C．(3,10) D．[3,10] 【答案】A 【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解 【详解】 ， ，等号成立当且仅当与共线时， 故选：A. 11．(25-26高二上·广东东莞四校·)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 12．(25-26高二上·湖北汉川第一高级中学·)（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：A 13．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法和减法的运算性质，即可求解. 【详解】. 故选：D 14．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 15．(24-25高一下·广东云浮·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 16．(24-25高一下·广东佛山南海区·)（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值. 【详解】. 故选：D. 17．(22-23高一下·天津第五十五中学·月考)下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 18．(24-25高一下·广西柳州高中·)四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 19．(23-24高一下·安徽智学大联考�皖中名校联盟·期中)设为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 20．(21-22高一下·新疆阿克苏拜城县第一中学·期中)如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 从位移的合成到向量的加减法 教学目标 1.借助实例理解向量加法、减法的概念，明确其物理意义与几何意义； 2.掌握向量加法的三角形法则、平行四边形法则，以及向量减法的几何法则，能熟练作出和向量、差向量； 3.理解向量加法的交换律、结合律，能运用运算律进行向量的加减运算； 4.结合相反向量的含义，熟练掌握向量的加减运算方法。 教学重难点 1.重点 （1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则，以及向量减法的几何意义； （2）向量加减运算的实际操作（用法则作图）与运算律的应用。 2.难点 （1）区分并灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加法运算； （2）理解向量减法与相反向量的联系，准确将减法运算转化为加法运算。 知识点01 向量加法的运算法则 1.求____________的运算，叫作向量的加法。 2.平行四边形法则：如图1，已知两个不共线的向量，在平面内任取一点，作有向线段，，再作平行于的有向线段，连接，则四边形为平行四边形。向量叫作向量与的和，表示为____________。 图1 图2 3.三角形法则：如图2所示，已知两个不共线的向量，在平面内任取一点，作有向线段，再作向量，则向量叫作向量的和，记作，即__________________。 4.注意：零向量与任一向量的和都有__________________；互为相反向量的两个向量的和为零向量，即__________________。 【即学即练】 1．(24-25高一下·北京朝阳区·期末)在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)化简等于（   ） A． B． C． D． 知识点02 与之间的关系 1.对于任意非零向量，当向量不共线时，的方向与都不相同，有____________（三角形两边之和大于第三边）。 2.对于任意非零向量，当向量同向时，的方向相同，有____________。 3.对于任意非零向量，当向量反向时，若，则的方向相同，且；若，则的方向相同，有____________。 【即学即练】 3．已知，是两个非零向量，则｜＋｜与｜｜＋｜｜的大小关系是（    ） A．｜＋｜｜｜＋｜｜ B．｜＋｜｜｜＋｜｜ C．｜＋｜｜｜＋｜｜ D．｜＋｜｜｜＋｜｜ 4．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 向量加法运算律 1. 结合律：。 2. 交换律：。 3. 个向量相加：已知个向量，依次把这个向量______，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量称为这个向量的和向量。即。 【即学即练】 5．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 6．(21-22高一下·广东梅州兴宁第一中学·期中)等于（    ） A． B． C． D． 知识点04 相反向量（知识回顾） 1定义：把与长度相等、方向相反的向量，叫作的______，记作______。 2性质： （1）零向量的相反向量仍是零向量，于是； （2）互为相反向量的两个向量的和为，即； （3）若，则。 知识点05 向量的减法 1. 定义：，即向量减向量等于向量加上向量的____________。 2. 几何意义：如图3所示，以为起点，作向量，，则，即可表示从向量的终点指向向量的终点的向量。 图3 【即学即练】 7．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·云南普通高中·期末)（   ） A． B． C． D． 知识点06 向量三角不等式 一般地，有____________，当且仅当方向相同时，当且仅当方向相反时；有__________________，当且仅当方向相反时，当且仅当方向相同时。 注意：至少有一个为零向量时，向量不等式的等号也成立。 【即学即练】 9．(23-24高一上·辽宁朝阳·期末)已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·山东德州夏津县第一中学·月考)设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 运用向量加减法法则作图 【典例1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式1】请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【变式2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【变式3】如图，已知向量，求作向量． 【变式4】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 题型02 结合图形化简多个向量的加减 【典例1】(24-25高一下·安徽阜南实验中学（阜南县教师进修学校）·月考)如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24高一下·湖南邵阳县第二高级中学·期中)在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【变式3】(18-19高一下·北京东城区·期末)如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(21-22高一下·山东威海乳山第一中学·月考)P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（    ）． A．四边形ABCD对角线交点 B．AC中点 C．BD中点 D．CD边上一点 题型03 向量加减综合运算 【典例1】(20-21高一下·陕西宝鸡陈仓区·期中)向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】(20-21高一下·安徽宣城泾县中学·)化简：（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高一下·四川新津中学·月考)下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（　　） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二上·广东廉江安铺中学·月考)化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 题型04 用已知向量表示未知向量 【典例1】(23-24高一下·贵州遵义·期末)如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·贵州六盘水·月考)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高三上·江苏南通海安·期中)在中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四边形中，设，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 题型05 向量加减法的实际运用 【典例1】人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【变式2】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点. (1)作出位移，，； (2)求. 【变式4】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 1．(20-21高一下·浙江嘉兴八校联盟·期中)化简 （    ） A． B． C． D． 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高一·9.2.1第1课时向量的加法（备作业）-·)已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．(20-21高一下·6.2.1向量的加法运算（练习）-·)如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(20-21高一下·6.2.1向量的加法运算（练习）-·)向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 6．(20-21高一上·青海海东·期末)已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(19-20高一下·湖南邵阳城步苗族自治县第一民族中学·期末)等于（     ） A． B． C． D． 8．(23-24高一上·河北石家庄二十四中·期末)向量 （    ） A． B． C． D． 9．(21-22高一下·四川科学城第一中学·月考)如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）    A． B． C． D． 10．(21-22高一·9.2.1第1课时向量的加法（备作业）-·)已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是（    ） A．[3,17] B．(3,17) C．(3,10) D．[3,10] 11．(25-26高二上·广东东莞四校·)（    ） A． B． C． D． 12．(25-26高二上·湖北汉川第一高级中学·)（   ） A． B． C． D． 13．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一下·广东云浮·期末)（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一下·广东佛山南海区·)（   ） A． B． C． D． 17．(22-23高一下·天津第五十五中学·月考)下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一下·广西柳州高中·)四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 19．(23-24高一下·安徽智学大联考�皖中名校联盟·期中)设为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 20．(21-22高一下·新疆阿克苏拜城县第一中学·期中)如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $