专题15.4 零指数幂与负整数指数幂（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题15.4 零指数幂与负整数指数幂 教学目标 1.理解零指数幂和负整数指数幂的定义，掌握核心公式的应用。 2.熟练运用整数指数幂的运算性质进行综合运算。 3.会用科学记数法表示绝对值较小的数，能实现数与科学记数法的互化。 4.体会转化思想，提升代数运算的准确性和灵活性。 5.能解决与零指数幂、负整数指数幂相关的实际问题。 教学重难点 重点 （1）零指数幂和负整数指数幂的定义及核心公式。 （2）整数指数幂的运算性质及综合应用。 （3）科学记数法表示绝对值较小的数。 （4）与指数幂相关的参数问题求解。 难点 （1）负整数指数幂的本质理解（倒数关系）。 （2）整数指数幂混合运算中符号和顺序的处理。 （3）科学记数法中的准确确定。 （4）复杂代数式中指数幂的整体运算与转化。 知识点01：零指数幂 1.定义：任何 的零次幂都等于 ，即（）。 2.注意事项： 零次幂没有意义；底数可以是 或 ，但必须满足。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（    ） A．5 B． C．1 D． 知识点02：负整数指数幂 1.定义：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的 ，即（，为正整数）。 2.常用结论：①与互为倒数；②（，）；③（，）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·福建福州·月考） ． 知识点03：整数指数幂的运算性质 1.同底数幂的乘法： （，为整数，）。 2.幂的乘方：（，为整数，）。 3.积的乘方：（为整数，，）。 4.同底数幂的除法：（，为整数，）。 5.分式的乘方：（为整数，，）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． 知识点04：科学记数法（表示绝对值较小的数） 1.表示形式：将绝对值小于1的数表示为 （其中，为正整数）。 的确定：等于原数左起第一个非0数字前0的个数（包括小数点前的0）。 2. 还原方法：当指数为时，将的小数点向左移动 ，不足的补0。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 题型01零指数幂的计算 方法技巧：先判断底数是否不为0，若满足则结果为1，否则无意义，注意底数为整式时需保证整式的值不为0。 【典例1】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（   ） A． B．1 C． D．π 【变式1】. （25-26八年级上·广东广州·期末）计算： ．（） 【变式2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式3】. （25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 题型02负整数指数幂的计算 方法技巧：利用公式转化为正整数指数幂计算，底数为分数时可利用简化运算。 【典例2】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算 ． 【变式1】. （2026·山东临沂·模拟预测）的相反数等于（   ） A． B．2025 C． D． 【变式2】. （辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）计算： ． 【变式3】. （25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 题型03整数指数幂的基础混合运算 方法技巧：遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，灵活运用运算性质，将负指数幂转化为正指数幂后计算。 【典例3】. （2026·全国·模拟预测）计算：． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【变式2】. （25-26七年级上·上海·月考）计算：．（计算结果不含负整数指数幂） 【变式3】. （25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）计算：． 题型04科学记数法表示绝对值较小的数 方法技巧：确定（提取左起第一个非0数字，使），数出第一个非0数字前0的个数确定，写出。 【典例4】. （25-26八年级上·吉林·期末）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·重庆巴南·月考）甲流病毒变异株的直径大约在纳米之间，纳米是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数为 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的创新性突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，将用科学记数法表示为：（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 题型05还原科学记数法表示的数 方法技巧：根据指数，将的小数点向左移动位，不足的位用0补齐，注意原数的正负性。 【典例5】. （24-25七年级下·全国·周测）用小数表示是 ． 【变式1】. （20-21七年级下·河北保定·期末）新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【变式3】. （2023·广东佛山·模拟预测）已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ． 题型06利用零指数幂/负整数指数幂求参数 方法技巧：①零指数幂：由底数≠0列不等式，若结果为1列方程；②负整数指数幂：根据定义转化为分式方程，求解后检验底数不为0。 【典例6】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则整数x的值为 ． 【变式2】. （25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【变式3】. （24-25九年级下·江苏泰州·月考）若有意义，则a的取值范围是 ． 题型07科学记数法的混合计算应用 方法技巧：先分别计算系数和10的指数幂（遵循同底数幂运算性质），结果整理为（保证）。 【典例7】. （25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 【变式3】. （21-22七年级下·江苏泰州·月考）某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 题型08指数幂的新定义运算 方法技巧：根据新定义的运算规则，将指数幂代入转化为常规运算，注意遵循指数幂的运算性质和定义中的限制条件。 【典例8】. （23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【变式1】. （23-24七年级下·广西百色·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【变式2】. （2021·上海·一模）定义：，计算： ． 【变式3】. （24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）已知，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，则 ． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算： ；因式分解：= ． 7．（2026九年级·吉林·专题练习）计算： ． 8．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·重庆江北·月考）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 12．（25-26八年级上·重庆·月考）若有理数a，b，c满足，请比较，，的大小，并用“＜”连接． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.4 零指数幂与负整数指数幂 教学目标 1.理解零指数幂和负整数指数幂的定义，掌握核心公式的应用。 2.熟练运用整数指数幂的运算性质进行综合运算。 3.会用科学记数法表示绝对值较小的数，能实现数与科学记数法的互化。 4.体会转化思想，提升代数运算的准确性和灵活性。 5.能解决与零指数幂、负整数指数幂相关的实际问题。 教学重难点 重点 （1）零指数幂和负整数指数幂的定义及核心公式。 （2）整数指数幂的运算性质及综合应用。 （3）科学记数法表示绝对值较小的数。 （4）与指数幂相关的参数问题求解。 难点 （1）负整数指数幂的本质理解（倒数关系）。 （2）整数指数幂混合运算中符号和顺序的处理。 （3）科学记数法中的准确确定。 （4）复杂代数式中指数幂的整体运算与转化。 知识点01：零指数幂 1.定义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即（）。 2.注意事项：零的零次幂没有意义；底数可以是数或整式，但必须满足。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查零指数幂，熟练掌握其性质是做题的关键．根据零指数幂的定义，任何非零数的0次方都等于1，据此进行计算即可． 【详解】解：∵ （），且 ， ∴ ． 故选：C． 知识点02：负整数指数幂 1.定义：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，为正整数）。 2.常用结论：①与互为倒数；②（，）；③（，）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·福建福州·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算规则，（），将 转化为 ，再计算 的值，即可． 【详解】解：由负整数指数幂的法则，． 故答案为 ． 知识点03：整数指数幂的运算性质 1.同底数幂的乘法：（，为整数，）。 2.幂的乘方：（，为整数，）。 3.积的乘方：（为整数，，）。 4.同底数幂的除法：（，为整数，）。 5.分式的乘方：（为整数，，）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点04：科学记数法（表示绝对值较小的数） 1.表示形式：将绝对值小于1的数表示为（其中，为正整数）。 的确定：等于原数左起第一个非0数字前0的个数（包括小数点前的0）。 2. 还原方法：当指数为时，将的小数点向左移动位，不足的补0。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故． 【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位， ∴， 故选：C． 题型01零指数幂的计算 方法技巧：先判断底数是否不为0，若满足则结果为1，否则无意义，注意底数为整式时需保证整式的值不为0。 【典例1】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（   ） A． B．1 C． D．π 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂． 根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵（），且， ∴． 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·广东广州·期末）计算： ．（） 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1，作答即可． 【详解】解：（）． 故答案为：1． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．任何非零数的零次幂都等于1，据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 【答案】 0 【分析】本题考查了乘方和零指数幂的意义，先计算乘方和零指数幂，再算加法即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 题型02负整数指数幂的计算 方法技巧：利用公式转化为正整数指数幂计算，底数为分数时可利用简化运算。 【典例2】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 【变式1】. （2026·山东临沂·模拟预测）的相反数等于（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负指数幂和相反数的概念，先求出，再根据相反数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：D． 【变式2】. （辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂，先计算负整数指数幂和零指数幂，再减法运算即可． 【详解】解：根据指数运算法则，，， 故原式． 故答案为：1． 【变式3】. （25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型03整数指数幂的基础混合运算 方法技巧：遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，灵活运用运算性质，将负指数幂转化为正指数幂后计算。 【典例3】. （2026·全国·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算． 先计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】解：． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 【变式2】. （25-26七年级上·上海·月考）计算：．（计算结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查负整数指数幂及分式的运算，熟练掌握负整数指数幂及分式的运算是解题的关键；根据负整数指数幂及分式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，立方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 题型04科学记数法表示绝对值较小的数 方法技巧：确定（提取左起第一个非0数字，使），数出第一个非0数字前0的个数确定，写出。 【典例4】. （25-26八年级上·吉林·期末）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·重庆巴南·月考）甲流病毒变异株的直径大约在纳米之间，纳米是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数为 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 将用科学记数法表示，需确定系数和指数，进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的创新性突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，将用科学记数法表示为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：∵的小数点向右移动10位得到， ∴． 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 题型05还原科学记数法表示的数 方法技巧：根据指数，将的小数点向左移动位，不足的位用0补齐，注意原数的正负性。 【典例5】. （24-25七年级下·全国·周测）用小数表示是 ． 【答案】0.000305 【分析】对于 （，为正整数）的形式，需要将的小数点向左移动位来转化为小数． 【详解】解：∵ 中，指数为， ∴将的小数点向左移动位，得到． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法（负指数形式）与小数的互化，解题关键是明确负指数的绝对值对应小数点向左移动的位数，准确移动小数点得到对应的小数． 【变式1】. （20-21七年级下·河北保定·期末）新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数． 将化为，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3】. （2023·广东佛山·模拟预测）已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ． 【答案】0.0000213 【分析】将一个数表示成 的形式，其中 为整数，这种记数方法叫做 科学记数法，据此即可得出答案； 【详解】解：， 故答案为：0.0000213． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，并根据科学记数法表示的小数写出原数，熟练掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键 题型06利用零指数幂/负整数指数幂求参数 方法技巧：①零指数幂：由底数≠0列不等式，若结果为1列方程；②负整数指数幂：根据定义转化为分式方程，求解后检验底数不为0。 【典例6】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则整数x的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂．分三种情况，结合零指数幂，负整数指数幂解答即可． 考虑方程 中整数 的取值，需分析指数为0时底数非0的情况和底数为1的情况，同时排除负指数无解的情形． 【详解】解：当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，满足题意； 综上所述，整数x的值为0或2． 故答案为：0或2． 【变式2】. （25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】. （24-25九年级下·江苏泰州·月考）若有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】考查了零指数幂，根据零指数幂有意义的条件，可得，依此即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且． 故答案为：且． 题型07科学记数法的混合计算应用 方法技巧：先分别计算系数和10的指数幂（遵循同底数幂运算性质），结果整理为（保证）。 【典例7】. （25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键． （1）根据一个水分子的质量=两个氢原子的质量+一个氧原子的质量列式即可； （2）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法是将一个数表示为的形式，其中，为整数，对于大于1的数，为正整数；对于小于1的正数，为负整数，解题时需根据数字的大小移动小数点，确定指数． （1）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （2）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （3）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （4）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； 【详解】（1）解：依题意，用科学记数法表示为； （2）解：依题意，用科学记数法表示为，用科学记数法表示为； （3）解：依题意，用科学记数法表示为； （4）解：依题意，用科学记数法表示为，6300000用科学记数法表示为． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 【答案】(1)． (2)需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】（1）解：． 故这个木箱的体积是． （2）（个）． 故需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数的乘除运算，正确掌握立方体体积计算方法是解题关键． 【变式3】. （21-22七年级下·江苏泰州·月考）某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数、一元一次方程的应用，解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数和根据题意列出方程． （1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为， 用科学记数法表示为； （2）解：设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得 ， 解得， 答：只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等． 题型08指数幂的新定义运算 方法技巧：根据新定义的运算规则，将指数幂代入转化为常规运算，注意遵循指数幂的运算性质和定义中的限制条件。 【典例8】. （23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得 ， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 【变式1】. （23-24七年级下·广西百色·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 【变式2】. （2021·上海·一模）定义：，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂，异分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，得，再进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 【变式3】. （24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示直接解题即可． 【详解】解：∵， 故选：C． 2．（2025·贵州遵义·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法解答即可． 本题考查整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法，熟练掌握公式和运算是解题的关键. 【详解】解：∵ 选项A: , 错误; 选项B: , 错误; 选项C: , 错误; 选项D: , 正确. ∴ 正确答案为D. 故选：D． 3．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）已知，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，负整数指数幂的意义等知识，由已知方程变形得到，然后利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得：， ∴， 又， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和负整数指数幂，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算： ；因式分解：= ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的运算以及因式分解的方法，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则和因式分解的步骤． 1． 计算：利用零指数幂“任何非零数的0次幂为1”和负整数指数幂“一个数的次幂是它的倒数”，分别计算后相减即可； 2． 因式分解：先提取公因式，再对余下的多项式用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1） （2） 7．（2026九年级·吉林·专题练习）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了负整数指数幂和立方根的意义．先计算负指数幂和立方根，再求差． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和分式的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，据此求解即可； （2）任何非零数的零次幂等于1，据此求解即可； （3）分式的乘方法则，分式的乘方等于分子和分母分别乘方，据此求解即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：1； （3）根据分式的乘方法则，． 故答案为： 三、解答题 9．（25-26九年级上·重庆江北·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，整式的混合运算，代入求值，零指数幂和负指数幂，掌握相关知识是解决问题的关键．先将前面两部分进行整式的乘法运算，然后合并同类项；分式的部分先计算括号内的减法，再进行分式的除法；最后进行通分化为最简分式；将的值运算结果为3，然后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵ ， 当时， 原式． 10．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算、分式乘除混合运算等知识，熟记有理数相关运算法则、分式乘除混合运算法则是解决问题的关键． （1）先分别计算负指数幂、零指数幂、绝对值及立方，再计算平方运算，最后由有理数加减运算法则即可得到答案； （2）先计算立方，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 【答案】1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完． 【分析】此题考查负整数指数幂计算，先求出1滴水的质量，再除以1个水分子的质量即可得到1滴水中水分子的数量；求出每分钟数的数量，利用工作时间=工作总量除以每分钟的工作量求出工作时间． 【详解】解：1滴水的质量为1克 克千克， 1滴水中水分子数量为个； 10亿人人， 每分钟计数数量总量为个， 总工作量为个， 总时间为分钟， 分钟年， ∴大约需要31773年才能数完． 12．（25-26八年级上·重庆·月考）若有理数a，b，c满足，请比较，，的大小，并用“＜”连接． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，乘方计算，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式及平方的非负性，求出，然后代数求值，比较大小即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴，，， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $