专题15.3 可化为一元一次方程的分式方程（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题15.3 可化为一元一次方程的分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程。 2.掌握分式方程的解法，能规范完成去分母、验根等步骤。 3.理解增根的含义，能判断增根并解决相关参数问题。 4.会列分式方程解决简单的实际应用问题。 5.体会转化思想，提升代数运算与建模能力。 教学重难点 重点 （1）分式方程的解法（去分母、验根）。 （2）增根的识别与检验。 （3）列分式方程解决实际问题。 （4）分式方程中参数问题的求解（由增根、无解等条件求参数）。 难点 （1）去分母时漏乘不含分母的项。 （2）增根的产生原因与相关参数的求解。 （3）分式方程无解的两种情况辨析。 （4）实际问题中等量关系的挖掘与分式方程的建立。 知识点01：分式方程的概念 1.定义：方程中含有分式，且分母中含有未知数，这样的方程叫做分式方程。 2.与整式方程的区别：分式方程分母含未知数，整式方程分母不含未知数；分式方程可通过去分母转化为整式方程求解。 【即学即练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 知识点02：分式方程的解法 1.基本思路：将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解后检验。 2.一般步骤：①去分母（方程两边同乘最简公分母，不含分母的项也要乘）；②解转化后的整式方程；③验根（将整式方程的解代入最简公分母，不为0则是原方程的解，否则为增根）；④写出结论。 【即学即练】 2．（25-26八年级上·青海海东·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母化为整式方程，求解后验根即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 知识点03：分式方程的增根 1.定义：去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的分母为0，这样的解叫做增根，不是原分式方程的解。 2.产生原因：去分母时消去了分母的限制条件，导致整式方程的解可能使原分式无意义。 3.检验增根的方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则为增根。 【即学即练】 3．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 知识点04：分式方程的无解情况 1.整式方程无解：分式方程去分母后得到的整式方程无解，原分式方程也无解。 2.整式方程的解均为增根：整式方程有解，但所有解代入最简公分母均为0，原分式方程无解。 【即学即练】 4．（25-26八年级上·广东江门·月考）已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后方程矛盾，无解；二是解出的根使分母为零，为增根．先化简方程，利用分母关系简化，再求解关于x的方程，讨论m的值． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 知识点05：分式方程的应用 1.列方程步骤：审（找等量关系）→设（未知数）→列（分式方程）→解（方程）→验（根的合理性）→答（写答案）。 2.常见类型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=效率×时间）、销售问题（利润=售价-进价）等。 【即学即练】 5．（25-26九年级上·云南昆明·月考）我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 【答案】25海里/时 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键． 根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时， 由题意得，， 解得， 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时． 题型01识别分式方程 方法技巧：紧扣“含分式+分母含未知数”两个条件，逐一判断，忽略分母含常数字母的方程。 【典例1】. （25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 题型02解分式方程 方法技巧：找出最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后代入公分母验根，排除增根。 【典例2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是去分母把分式方程转化为整式方程，最后要把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 原方程的解为． 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得：， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． （2）解：， ， 两边都乘以，得：， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西渭南·月考）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解：原方程两边都乘以得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【变式3】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）分式方程两边同乘以转化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得答案． （2）分式方程两边同乘以转化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得答案． 【详解】（1）解： 去分母得： 解得 检验：当时，， 所以是增根，分式方程无解； （2） 去分母得：，即 解得 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 题型03由分式方程的增根求参数的值 方法技巧：①先去分母得整式方程；②令最简公分母为0，求出可能的增根；③将增根代入整式方程，求解参数。 【典例3】. （24-25八年级下·四川巴中·月考）若关于x的方程有增根，则增根 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键．原方程去分母得，再根据题意求得其增根，然后代入中解得m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 原分式方程有增根， ， ， 则， 解得：， 故答案为：2； 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 【变式2】. （24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．先将分式方程化为整式方程，求出，再根据根式方程解的情况分别求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程， 解得： 若方程的解为，则 解得：； 若方程有增根，则， 即增根为， 此时， 解得：； 若方程的解是正数，则，且， ，且， 即m的取值范围是且， 故答案为：；；；且． 【变式3】. （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)② (2)的值为或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据解题过程进行判断即可； （2）将原分式方程化为，然后分两种情况讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：上述材料中解题过程体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：② （2）解：， 去分母得：， 整理得：， ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当时，，解得； 综上所述，的值为或2． 题型04由分式方程的解的情况求参数 方法技巧：①解整式方程，用参数表示解；②根据解的条件（正数、整数等）列不等式（组）；③排除使原方程分母为0的参数值。 【典例4】. （2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 【变式1】. （24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】2或3或7 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解可求出a的范围，接着解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的值，进而可得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴； 解方程， 去分母得， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴或或， ∴或或， ∴符合题意的a的值可以为2，3，7， 故答案为：2或3或7． 【变式2】. （2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，由不等式组解集的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理不等式组，得，因为不等式组的解集为，故，结合关于y的分式方程有非负数解，即且，故，且，再解得实数m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵ ∴解得：， ∵不等式组的解集为， ∴； ∵ ∴去分母得：， 解得：y， ∵由分式方程有非负数解， ∴且， 即，且， 解得：，且， 综上所述：满足条件的m的取值范围是． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤成为解题的关键． （1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程求解即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， ， ， 是原方程的增根， ，解得． （2）解： 去分母并整理得， 方程的解为非负数， ，即， ， 又或时，该分式方程无解， 且， 且， 综上所述，的取值范围为且． 题型05分式方程的无解问题（求参数） 方法技巧：分两种情况讨论：①整式方程无解（如一次项系数为0且常数项不为0）；②整式方程的解均为增根，分别求解参数。 【典例5】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·湖南长沙·月考）关于x的分式方程无解，则 ； 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，将分式方程化简为整式方程，根据分式方程无解的条件，得到整式方程的解为分式方程的增根，代入求解a的值即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于x的整式方程总有解 ∴当关于x的分式方程无解时，关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或将代入整式方程，即可求出m的值． 【详解】解：整理得 去分母得： ∴， 整理得：， 当，整式方程无解； 解得：， 当分式方程的解为增根时，原方程无解， 将代入中，得：， 解得：m， 综上，或． 【变式3】. （25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 题型06裂项法解分式方程 方法技巧：利用裂项公式（如）拆分分式，消去中间项简化方程，求解后验根。 【典例6】. （2024八年级上·全国·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差； （1）根据规律即可完成； （2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 【变式1】. （24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 【变式2】. （24-25八年级下·江苏无锡·期中）我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 【答案】（1）是、不是、是；（2）见解析；（3）是，证明见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的运算，理解新定义是解题的关键； （1）根据“可拆分数”和“可拆分式”的定义，逐个判断，即可求解； （2）按照例题，计算 ，即可求解； （3）将拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，即可求解． 【详解】解：（1），是“可拆分数”， 不是“可拆分数”， 是“可拆分式”． 故答案为：是、不是、是 （2） ∴是“可拆分式” （3）答：是 证明： ∴始终为“可拆分式” 【变式3】. （25-26八年级上·全国·周测）我们把分子是1的分数叫作分数单位，有些分数单位可以拆成两个不同的分数的差，如．请用观察到的规律解下面的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是根据规律化简分式方程． 根据题意将原方程变形后解分式方程即可． 【详解】解：原方程化简为：． 即：． 方程两边同乘，得：， 解得． 经检验是分式方程的解， 故原方程的解为． 题型07列分式方程解决行程问题 方法技巧：根据“路程=速度×时间”梳理数量关系，设未知数后，用含未知数的代数式表示速度或时间，依据等量关系列方程。 【典例7】. （25-26九年级上·贵州遵义·期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 首先根据原计划速度为x米/分，实际速度比原计划快，即米/分，再根据提前5分钟到达，即原计划时间减实际时间等于5分钟列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意可列：, 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·山西朔州·期末）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 【变式2】. （辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 题型08列分式方程解决工程问题 方法技巧：总工作量常设为1，根据“效率=工作量÷时间”，结合甲、乙工作量之和等于总工作量列方程。 【典例8】. （2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 一、如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 二、B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，成立现代新型农业合作社，扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社计划租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天比每台A型号收割机每天多收割10亩，且每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同，求A，B两种型号收割机每台每天分别收割玉米的亩数． 【答案】A型号收割机每台每天收割玉米20亩，B型号收割机每台每天收割玉米30亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A型号收割机每台每天收割玉米x亩，则B型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同”列方程求解即可． 【详解】解：设A型号收割机每台每天收割玉米x亩，则B型号收割机每台每天收割玉米亩， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴． 答：A型号收割机每台每天收割玉米20亩，B型号收割机每台每天收割玉米30亩． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·周测）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择．若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成；若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍；若甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天． (1)乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是7000元，乙工程队每天的施工费用是4000元．为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 【答案】(1)乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【分析】（1）关键描述语是：“需要的天数是甲工程队的倍”；利用余下的任务甲工程队单独完成仍需要天条件列出等量关系式； （2）根据题意得出打通这条隧道的施工费用即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 故乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要（天）， （元）， 故打通这条隧道的施工费用是元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用． 题型09列分式方程解决销售问题 方法技巧：明确总价、单价、数量的关系，或利润、利润率的公式，根据题意找出等量关系（如两次购买数量之和、利润相等）列方程。 【典例9】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年；某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 【答案】每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，根据题意，列出方程求解即可． 【详解】解：设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：，          解得：，        检验：当时，，所以原分式方程的解为． ，       答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． 【变式1】. （23-24八年级上·甘肃临夏·期末）生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 【答案】(1)红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元 (2)销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）利用购进数量相等列方程求进价即可； （2）利用总盒数和总利润列方程组求销售数量即可． 【详解】（1）解：设红色礼盒进价为x元/盒，则蓝色礼盒进价为元/盒． 根据题意，， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元； （2）解：设销售红色礼盒a盒，蓝色礼盒b盒． ， 解得：， 所以销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒． 【变式2】. （25-26八年级上·吉林四平·期末）《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． (1)任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； (2)列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 【答案】(1)种花卉；；20 (2)； 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案，再求解即可； （2）任务二：根据完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，表示用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍， ∴表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 种花卉的单价为（元）； 故答案为：种花卉；；20； （2）解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【详解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 题型10分式方程的新定义问题 方法技巧：根据新定义的运算规则，将问题转化为常规分式方程，按解法步骤求解，注意验根和定义中的限制条件。 【典例10】. （25-26八年级上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程． 根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：∵ ， 当 时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； 当时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； ∴ 的值为1或3． 故选：B 【变式1】. （23-24八年级下·山东济南·期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键． （1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可； （2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出； （3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解； 【详解】（1）解： 8的倒数为，， 8的一种倒分解为． （2）解：的倒分解为：或或或 其中最大的倒分解， （3）的最大倒分解为： ① 当时，， 解得：经检验，是原方程的根， 当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去； ② 当时，， 解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0． 【变式2】. （25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北咸宁·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，．              ②，； (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算的理解和应用， 以及有理数的运算、分式的运算等知识点． （1）根据“隔一数对”的定义，需要分别计算和，然后比较这两个结果是否相等，如果相等，那么这组数就是“隔一数对”，如果不相等，就不是； （2）先根据新定义的运算分别计算和，然后再进行减法运算； （3）先根据“隔一数对”的定义，将转化为，因为连续的非零整数n，是“隔一数对”，所以，然后利用裂项相消法进行求和． 【详解】（1）解：根据题中的新运算定义， 对于①：，， ∵， ∴该组数不是“隔一数对”； 对于②：，， ∵， ∴该组数是“隔一数对”． 故选：②． （2）解：， ， ∴． （3）解：因为两个连续的非零整数都是“隔一数对”， 所以 ． 原式 ． 一、单选题 1．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，观察分母关系，将方程变形后乘以最简公分母去分母，得到等式，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 去分母可得：， 故选：D． 2．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，进而列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱，∴第一次每人分得元． ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元． ∵第二次每人分得的钱与第一次相同，∴可列方程为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程得到x关于m的表达式，根据解为负数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】解：方程， 两边乘以得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东聊城·月考）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程根的情况求参数，解分式方程，分式方程有增根时，增根为使分母为零的值，即，解分式方程得出，结合求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将原方程化为， 去分母可得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，分清分式方程无解的情况包括整式方程有增根或整式方程本身无解是解题的关键． 首先对分式方程进行求解，发现整式方程总是有解，因此只需考虑增根情况，求得增根进行求解m的值即可． 【详解】解：， ， 方程有增根时，代入得，解得：， ∴当时，分式方程无解， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·期末）将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ． 【答案】 【分析】该题考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可． 【详解】解：，分式方程的分母为和，最简公分母为，方程两边同时乘即可化为整式方程． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，将分式方程转化为一元一次方程是解本题的关键． 解分式方程需去分母转化为整式方程，求解后检验根是否使分母为零． 【详解】解： 解得， 检验：当时，分母，， 故是原方程的解． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃，根据“甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同”列出方程，即可作答． 【详解】解：设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃， 根据题意得：． 故答案为：． 9．（2019·四川雅安·一模）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．首先解不等式组，得到解集为，要求有且只有四个整数解，即，从而得到；再解分式方程，得到，要求解为非负数且，从而得到且；综合两者，整数 为，求和即可． 【详解】解：第一个不等式， 两边乘6得：， 化简得：， 第二个不等式， 化简得：， 因此不等式组的解集为：， 要求不等式组有且只有四个整数解，即，需满足， 解得：； 解分式方程， 方程化为， 即， 解得：（其中，故)， 要求解为非负数，即，故， 综合不等式组和分式方程的条件得：且， 整数为， 则和为：． 故答案为：1． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的方程的解是负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．由分式方程有意义可知，由方程的解是负数可知，表示出方程的解代入其满足的条件即可确定的取值范围 【详解】解：解方程，方程两边同乘以得， 解得， 由分式方程有意义可知，即， 可得，即， 由方程的解是负数可知，可得，即， 所以的取值范围是且． 故答案为且 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东德州·月考）解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解; ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 12．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中a从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，值为 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式混合运算的运算法则． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2） ， ，，， ，，， 当时，原式． 13．（25-26八年级上·全国·期末）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程 解：方程两边乘，得，…第①步 去括号，得，…第②步 移项、合并同类项，得，…第③步 … (1)以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第________步(填序号)，此步骤的做题依据是________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，等式的基本性质 (2)正确的解答过程见详解 【分析】本题主要考查分式方程的求解，分式方程去分母是解题的关键． （1）首先利用去分母计算分式方程，即可发现开始出错的是第①步，再判断依据为等式的基本性质； （2）正确的解答过程首先利用去分母计算分式方程，再去括号，移项、合并同类项计算得出解，再进行验证解是否符合即可． 【详解】（1）解：∵方程两边乘，得， ∴开始出错的是第①步； ∵此步骤的做题依据是方程两边同乘，方程两边依然相等， ∴运用的是等式的基本性质； （2）解：正确的解答过程如下： 方程两边乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 15．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）为提升农村饮水安全保障水平，陕西省某县启动农村供水主管道更新工程，计划对辖区内一条老旧供水管道进行翻新．工程采用合作施工模式，由甲、乙两支工程队共同参与．已知该供水管道全长96千米，甲工程队每天施工长度比乙工程队多1千米，且甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别施工的长度； (2)已知甲工程队每天施工费是乙工程队的倍，施工结束后，甲队获得工程款18万元，乙队获得工程款12万元，且甲队施工天数比乙队多3天，求甲、乙两个工程队每天的施工费． 【答案】(1)甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米 (2)甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的，列出方程，解方程即可； （2）设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据甲队施工天数比乙队多3天，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， （千米）， 答：甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米． （2）解：设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.3 可化为一元一次方程的分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程。 2.掌握分式方程的解法，能规范完成去分母、验根等步骤。 3.理解增根的含义，能判断增根并解决相关参数问题。 4.会列分式方程解决简单的实际应用问题。 5.体会转化思想，提升代数运算与建模能力。 教学重难点 重点 （1）分式方程的解法（去分母、验根）。 （2）增根的识别与检验。 （3）列分式方程解决实际问题。 （4）分式方程中参数问题的求解（由增根、无解等条件求参数）。 难点 （1）去分母时漏乘不含分母的项。 （2）增根的产生原因与相关参数的求解。 （3）分式方程无解的两种情况辨析。 （4）实际问题中等量关系的挖掘与分式方程的建立。 知识点01：分式方程的概念 1.定义：方程中含有 ，且分母中含有 ，这样的方程叫做 。 2.与整式方程的区别：分式方程分母含 ，整式方程分母 ；分式方程可通过去分母转化为整式方程求解。 【即学即练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：分式方程的解法 1.基本思路：将分式方程通过 转化为 ，求解后检验。 2.一般步骤：① （方程两边同乘最简公分母，不含分母的项也要乘）；②解转化后的 ；③ （将整式方程的解代入最简公分母，不为0则是原方程的解，否则为增根）；④写出结论。 【即学即练】 2．（25-26八年级上·青海海东·期末）解方程：． 知识点03：分式方程的增根 1.定义：去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的 ，这样的解叫做 ，不是原分式方程的解。 2.产生原因：去分母时消去了分母的限制条件，导致整式方程的解可能使 。 3.检验增根的方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母 ，则为增根。 【即学即练】 3．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 知识点04：分式方程的无解情况 1.整式方程无解：分式方程去分母后得到的整式方程 ，原分式方程也无解。 2.整式方程的解均为增根：整式方程有解，但所有解代入最简公分母 ，原分式方程无解。 【即学即练】 4．（25-26八年级上·广东江门·月考）已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 故选：D． 知识点05：分式方程的应用 1.列方程步骤：审（找等量关系）→设（未知数）→列（分式方程）→解（方程）→验（根的合理性）→答（写答案）。 2.常见类型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=效率×时间）、销售问题（利润=售价-进价）等。 【即学即练】 5．（25-26九年级上·云南昆明·月考）我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 题型01识别分式方程 方法技巧：紧扣“含分式+分母含未知数”两个条件，逐一判断，忽略分母含常数字母的方程。 【典例1】. （25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 题型02解分式方程 方法技巧：找出最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后代入公分母验根，排除增根。 【典例2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西渭南·月考）解分式方程：． 【变式3】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 题型03由分式方程的增根求参数的值 方法技巧：①先去分母得整式方程；②令最简公分母为0，求出可能的增根；③将增根代入整式方程，求解参数。 【典例3】. （24-25八年级下·四川巴中·月考）若关于x的方程有增根，则增根 ， ． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【变式2】. （24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【变式3】. （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 题型04由分式方程的解的情况求参数 方法技巧：①解整式方程，用参数表示解；②根据解的条件（正数、整数等）列不等式（组）；③排除使原方程分母为0的参数值。 【典例4】. （2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】. （24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【变式2】. （2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 题型05分式方程的无解问题（求参数） 方法技巧：分两种情况讨论：①整式方程无解（如一次项系数为0且常数项不为0）；②整式方程的解均为增根，分别求解参数。 【典例5】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【变式1】. （25-26八年级上·湖南长沙·月考）关于x的分式方程无解，则 ； 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程无解，求m的值． 【变式3】. （25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 题型06裂项法解分式方程 方法技巧：利用裂项公式（如）拆分分式，消去中间项简化方程，求解后验根。 【典例6】. （2024八年级上·全国·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【变式1】. （24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【变式2】. （24-25八年级下·江苏无锡·期中）我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·周测）我们把分子是1的分数叫作分数单位，有些分数单位可以拆成两个不同的分数的差，如．请用观察到的规律解下面的方程： ． 题型07列分式方程解决行程问题 方法技巧：根据“路程=速度×时间”梳理数量关系，设未知数后，用含未知数的代数式表示速度或时间，依据等量关系列方程。 【典例7】. （25-26九年级上·贵州遵义·期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·山西朔州·期末）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【变式2】. （辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 题型08列分式方程解决工程问题 方法技巧：总工作量常设为1，根据“效率=工作量÷时间”，结合甲、乙工作量之和等于总工作量列方程。 【典例8】. （2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【变式1】. （25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 一、如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 二、B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【变式2】. （25-26八年级上·陕西榆林·期末）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，成立现代新型农业合作社，扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社计划租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天比每台A型号收割机每天多收割10亩，且每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同，求A，B两种型号收割机每台每天分别收割玉米的亩数． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·周测）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择．若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成；若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍；若甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天． (1)乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是7000元，乙工程队每天的施工费用是4000元．为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 题型09列分式方程解决销售问题 方法技巧：明确总价、单价、数量的关系，或利润、利润率的公式，根据题意找出等量关系（如两次购买数量之和、利润相等）列方程。 【典例9】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年；某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 【变式1】. （23-24八年级上·甘肃临夏·期末）生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 【变式2】. （25-26八年级上·吉林四平·期末）《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． (1)任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； (2)列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 题型10分式方程的新定义问题 方法技巧：根据新定义的运算规则，将问题转化为常规分式方程，按解法步骤求解，注意验根和定义中的限制条件。 【典例10】. （25-26八年级上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【变式1】. （23-24八年级下·山东济南·期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 【变式2】. （25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北咸宁·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，．              ②，； (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 一、单选题 1．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 4．（25-26八年级上·山东聊城·月考）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．或 B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·期末）将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）方程的解为 ． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ． 9．（2019·四川雅安·一模）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的方程的解是负数，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东德州·月考）解方程 (1) (2)． 12．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中a从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 13．（25-26八年级上·全国·期末）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程 解：方程两边乘，得，…第①步 去括号，得，…第②步 移项、合并同类项，得，…第③步 … (1)以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第________步(填序号)，此步骤的做题依据是________； (2)请写出正确的解答过程． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 15．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）为提升农村饮水安全保障水平，陕西省某县启动农村供水主管道更新工程，计划对辖区内一条老旧供水管道进行翻新．工程采用合作施工模式，由甲、乙两支工程队共同参与．已知该供水管道全长96千米，甲工程队每天施工长度比乙工程队多1千米，且甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别施工的长度； (2)已知甲工程队每天施工费是乙工程队的倍，施工结束后，甲队获得工程款18万元，乙队获得工程款12万元，且甲队施工天数比乙队多3天，求甲、乙两个工程队每天的施工费． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $