第15章 分式单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第15章 分式 教学目标 1.理解分式、分式方程等核心概念，掌握分式有意义、值为零的条件。 2.熟练运用分式基本性质进行约分、通分，掌握分式四则运算及混合运算。 3.会解分式方程，能识别增根，列分式方程解决实际问题。 4.掌握整数指数幂运算及科学记数法，能进行数与科学记数法互化。 5.体会转化、整体、建模思想，提升代数运算与建模能力。 教学重难点 重点 （1）分式的概念、基本性质及分式四则运算。 （2）分式方程的解法（去分母、验根）与实际应用。 （3）整数指数幂运算及科学记数法表示绝对值较小的数。 （4）分式化简求值及相关参数问题。 难点 （1）分式方程增根的理解与相关参数求解。 （2）分式混合运算中符号、顺序的处理及技巧应用。 （3）实际问题中等量关系挖掘与分式方程建模。 （4）复杂分式化简求值（如整体代入、裂项相消）。 知识点01：分式的概念与相关条件 1.定义：形如（、是整式，含 且）的式子叫分式，整式和分式统称有理式。 2.有意义条件： （）；无意义条件： （）。 3.值为零条件：分子 且分母 （且）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 知识点02：分式的基本性质 1.基本性质：，（是不为零的整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身的符号，同时改变两处，分式值不变（如）。 3.约分与通分：约分是约去分子分母 ，结果为 ；通分是化为 ，最简公分母是各分母系数 与因式 的积。 【即学即练】 1．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 知识点03：分式的运算 1.乘除运算：乘法；除法（先因式分解再约分）。 2.加减运算：同分母；异分母 再 。 3.混合运算：先 ，再 ，最后 ；有括号先算 ，可灵活运用运算律。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 知识点04：分式方程 1.概念：分母 的方程叫分式方程。 2.解法：去分母转化为整式方程→解整式方程→ （代入最简公分母，不为0则为原方程解）。 3.增根：整式方程的解使原分式方程 ，不是原方程解，需检验排除。 4.应用：列方程解决行程、工程、销售等实际问题，步骤为审→设→列→解→验→答。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同求改造后每天生产的产品件数． 知识点05：整数指数幂与科学记数法 1.零指数幂：（），零的 无意义。 2.负整数指数幂：（，为正整数）。 3.运算性质：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方对整数指数幂均适用。 4.科学记数法：绝对值小于1的数表示为（，为左起第一个非0数字前0的个数）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 题型01识别分式与整式 方法技巧：紧扣分式定义，分母含字母（除外）且是整式的为分式，否则为整式，不化简原代数式直接判断。 【典例1】. （25-26九年级上·广西钦州·期末）下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·广东江门·月考）下列不是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列式子中，，，，5，，其中是分式的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02确定分式有意义、无意义的条件 方法技巧：有意义则列，无意义则列，分母为多项式时先因式分解，确保所有因式不为0。 【典例2】. （25-26八年级上·北京·月考）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 【变式2】. （25-26八年级上·河南信阳·月考）根据下列表格信息，用含的代数式表示可能为（   ）． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 * * 无意义 * ．．． A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 题型03求分式值为零的字母取值 方法技巧：列方程组，先求分子为零的解，再排除使分母为零的解。 【典例3】. （25-26七年级上·上海宝山·月考）已知时，分式的值为0，那么 ． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃·期末）若分式的值为0，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．6 【变式2】. （25-26八年级上·山东聊城·月考）如果分式的值为0，则的值应为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式3】. （25-26八年级上·天津南开·月考）分式的值为0，则 题型04分式基本性质的应用（变形、系数化为整数） 方法技巧：变形遵循“同乘/除不为0的整式”；系数为分数/小数时，乘最小公倍数或10的倍数化为整数，保持分式值不变。 【典例4】. （25-26八年级上·云南昭通·月考）分式的分子和分母同时乘以2，得到 ． 【变式1】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）如果把分式中的和同时扩大为原来的4倍，则调整后的分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的16倍 【变式2】. （25-26八年级上·江苏南通·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A．的值都扩大到原来的2倍 B．的值都扩大到原来的4倍 C．的值不变，的值扩大到原来的4倍 D．的值不变，的值扩大到原来的4倍 题型05分式的约分与通分 方法技巧：约分先因式分解，约去公因式（单项式取系数最大公约数和相同字母最低次幂）；通分先确定最简公分母，再同步变形分子。 【典例5】. （25-26八年级上·甘肃定西·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）（1）约分：．     （2）通分：和． 【变式2】. （25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： (1) (2) 【变式3】. （20-21八年级上·河北邢台·月考）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 题型06分式的混合运算 方法技巧：遵循“先乘方，再乘除，后加减”，有括号先算括号内；灵活运用运算律简化计算，避免除法分配律误用。 【典例6】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·青海海东·期末）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【变式3】. （25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 题型07整数指数幂的运算 方法技巧：零指数幂直接得1（底数≠0）；负整数指数幂转化为正指数幂（）；运用整数指数幂运算性质分步计算。 【典例7】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）计算： ． 【变式1】. （25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)解分式方程：． 【变式3】. （25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算、化简求值： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 题型08科学记数法（表示/还原绝对值较小的数） 方法技巧：表示时，满足，为左起第一个非0数字前0的个数；还原时，指数为则将小数点左移位。 【典例8】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）据统计，支持北斗三号系统的芯片累计出货量已超过10亿片，其中某型号芯片的工艺尺寸为23纳米（即），用科学记数法表示0.000000023正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25七年级下·广东佛山·期末）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 【变式2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，这个过程共用了，已知电磁波的传播速度为，求该时刻飞机与雷达间的距离． 【变式3】. （23-24七年级下·全国·课后作业）1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取） 题型09解分式方程 方法技巧：去分母（乘最简公分母，不漏乘）→解整式方程→验根（代入公分母，不为0则为解）→写结论。 【典例9】. （辽宁省大连市多校联考2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题）分式方程的解是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·假期作业）解方程： (1) (2) 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古兴安盟·期末）计算、解分式方程： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 题型10分式方程的增根与参数问题 方法技巧：增根问题：先去分母得整式方程，令公分母为0求增根，代入整式方程求参数；无解问题：分整式方程无解或解均为增根两种情况。 【典例10】. （25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【变式1】. （25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【变式2】. （25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有 个． 题型11分式方程的实际应用 方法技巧：审清题意找等量关系（行程、工程、销售等）→设未知数→列分式方程→解方→验根（兼顾方程解和实际意义）→答。 【典例11】. （25-26八年级上·全国·假期作业）在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【变式1】. （重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级上学期第四次自主作业数学试卷）重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【变式2】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）菠菜是藜科一年生草本植物，味甘、性平，归肝、胃、大肠、小肠经，具有解热毒，通血脉，利肠胃之功效．由于生物实验要求观察叶片表皮细胞结构，李老师上周花费30元购买了一批新鲜菠菜．本周实验时发现材料不足需补购，因市场变化，本周菠菜单价上涨了，李老师本周又花费45元购买菠菜，购得的菠菜比上周多2.5斤．问：李老师上周购买的菠菜每斤多少元？ 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 题型12分式的规律探究与新定义问题 方法技巧：规律探究观察分式分子、分母、指数的变化规律，归纳通用表达式；新定义问题按规则转化为常规分式运算或方程求解。 【典例12】. （22-23七年级下·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【变式1】. （24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【变式2】. （2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【变式3】. （25-26八年级上·河南郑州·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 一、单选题 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分式有意义，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）芯片作为制造业的核心技术，内部有着数以亿计的晶体管，使用体积小、功耗低．某公司上市的某款手机上采用了自主研发的手机芯片，其制程工艺为（5纳米），数据0.000000005用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）小李骑共享单车去图书馆，他有两条不同的路线可以选择．路线全程千米，经过闹市区，骑行较慢；路线比路线全程多千米，但可以沿河滨绿道骑行，平均车速比走路线时提高千米／小时．若走路线比走路线少用分钟，设走路线时的平均速度为千米／小时，则根据题意，可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）当分式的值为0时，的值是 ， 7．（22-23九年级上·上海·期中）如果，那么 ． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的方程无解，则的取值为 ． 10．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西钦州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·北京昌平·期末）京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 13．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 14．（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程： (1) (2) 15．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 16．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 17．（25-26八年级上·全国·假期作业）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有_____ ．（填字母） A． B．  C． 　 D． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 分式 教学目标 1.理解分式、分式方程等核心概念，掌握分式有意义、值为零的条件。 2.熟练运用分式基本性质进行约分、通分，掌握分式四则运算及混合运算。 3.会解分式方程，能识别增根，列分式方程解决实际问题。 4.掌握整数指数幂运算及科学记数法，能进行数与科学记数法互化。 5.体会转化、整体、建模思想，提升代数运算与建模能力。 教学重难点 重点 （1）分式的概念、基本性质及分式四则运算。 （2）分式方程的解法（去分母、验根）与实际应用。 （3）整数指数幂运算及科学记数法表示绝对值较小的数。 （4）分式化简求值及相关参数问题。 难点 （1）分式方程增根的理解与相关参数求解。 （2）分式混合运算中符号、顺序的处理及技巧应用。 （3）实际问题中等量关系挖掘与分式方程建模。 （4）复杂分式化简求值（如整体代入、裂项相消）。 知识点01：分式的概念与相关条件 1.定义：形如（、是整式，含字母且）的式子叫分式，整式和分式统称有理式。 2.有意义条件：分母不为零（）；无意义条件：分母为零（）。 3.值为零条件：分子为零且分母不为零（且）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 知识点02：分式的基本性质 1.基本性质：，（是不为零的整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身的符号，同时改变两处，分式值不变（如）。 3.约分与通分：约分是约去分子分母公因式，结果为最简分式；通分是化为同分母分式，最简公分母是各分母系数最小公倍数与因式最高次幂的积。 【即学即练】 1．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将x和y都扩大2倍后，代入分式计算并化简，得到新分式是原分式的一半，因此分式的值缩小一半． 【详解】解：x和y都扩大2倍， 则扩大后的分式为 ，而原分式为， 因此扩大后的分式是原分式的，即分式的值缩小一半， 故选：C． 知识点03：分式的运算 1.乘除运算：乘法；除法（先因式分解再约分）。 2.加减运算：同分母；异分母先通分再加减。 3.混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，可灵活运用运算律。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先将括号内通分后相减，括号外因式分解，然后除法转化为乘法，然后约分化简到最简，最后将m的值代入即可． 【详解】解：原式      ， 当时，原式． 知识点04：分式方程 1.概念：分母含未知数的方程叫分式方程。 2.解法：去分母转化为整式方程→解整式方程→验根（代入最简公分母，不为0则为原方程解）。 3.增根：整式方程的解使原分式方程分母为0，不是原方程解，需检验排除。 4.应用：列方程解决行程、工程、销售等实际问题，步骤为审→设→列→解→验→答。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同求改造后每天生产的产品件数． 【答案】400件 【分析】本题考查了分式方程的运用，设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由此列方程求解即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由题意可得： ， 解得， 检验：当时，原方程有意义， 是方程的解． 答：改造后每天生产的产品件数为400件． 知识点05：整数指数幂与科学记数法 1.零指数幂：（），零的零次幂无意义。 2.负整数指数幂：（，为正整数）。 3.运算性质：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方对整数指数幂均适用。 4.科学记数法：绝对值小于1的数表示为（，为左起第一个非0数字前0的个数）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的混合运算．将负整数指数幂转化为分式形式，然后进行分式的减法和除法运算，最后发现两部分相同，相减结果为0． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，然后计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 答：个这样的细胞排成的细胞链的长度为． 题型01识别分式与整式 方法技巧：紧扣分式定义，分母含字母（除外）且是整式的为分式，否则为整式，不化简原代数式直接判断。 【典例1】. （25-26九年级上·广西钦州·期末）下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫作分式，据此求解即可． 【详解】解：A、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； B、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； C、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； D、的分母含字母，是分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级上·广东江门·月考）下列不是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的识别，分母中必须含有字母的代数式才是分式，由此判断即可． 【详解】解：A．是分式，不合题意； B．分母中不含字母，不是分式，符合题意； C．是分式，不合题意； D．是分式，不合题意； 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各分母是否含字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母为，含字母，是分式； ，分母为2，不含字母，不是分式； ，分母为，不含字母，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，不是分式； ，分母为，含字母，是分式， ∴ 分式有2个， 故选：B． 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列式子中，，，，5，，其中是分式的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义， 分式的定义是分母中含有字母的式子，且分母不能为零.，根据此定义，逐一判断每个式子是否为分式． 【详解】解：∴分母含字母a，是分式； 分母为7，不含字母，不是分式； 是多项式，不是分式； 5是常数，不是分式； 是分式； 分母π是常数，不含字母，不是分式． ∴只有2个分式． 故选：B． 题型02确定分式有意义、无意义的条件 方法技巧：有意义则列，无意义则列，分母为多项式时先因式分解，确保所有因式不为0。 【典例2】. （25-26八年级上·北京·月考）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 根据分母不为零列式求解即可. 【详解】解：∵分式 有意义， ∴分母， 解得. 故答案为. 【变式1】. （25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·河南信阳·月考）根据下列表格信息，用含的代数式表示可能为（   ）． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 * * 无意义 * ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件以及分式求值，解题的关键是掌握分式的有关性质，理解表格中的数据． 根据表格数据，当时，且当时无意义，代入各选项验证即可． 【详解】解：由表格数据可得，当时，且当时无意义， 对于A：，且时无意义，选项符合题意； 对于B：，选项不符合题意； 对于C：，当时，无意义，当时，有意义，选项不符合题意； 对于D：，选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，根据分式有意义的条件逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，解得，不符合题意； B．，解得，符合题意； C．，解得，不符合题意； D．，x为任意实数，不符合题意． 故选：B． 题型03求分式值为零的字母取值 方法技巧：列方程组，先求分子为零的解，再排除使分母为零的解。 【典例3】. （25-26七年级上·上海宝山·月考）已知时，分式的值为0，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式值为零的条件．分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．代入，令分子为零解出a，即可作答． 【详解】解：∵已知时，分式的值为0， ∴， ∴， 解得， 此时分母，满足分式有意义的条件． 故答案为3． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃·期末）若分式的值为0，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0需分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子，且， 解得，且， ∴， 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·山东聊城·月考）如果分式的值为0，则的值应为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件． 分式的值为0需分子为0且分母不为0，解分子方程并排除分母为0的情况． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得或且， ∴． 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级上·天津南开·月考）分式的值为0，则 【答案】 【分析】本题主要考查分式的增根，确定分式在什么情况下值为0是解题的关键． 首先根据分式的值为0需满足分子为0且分母不为0，得到结果即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型04分式基本性质的应用（变形、系数化为整数） 方法技巧：变形遵循“同乘/除不为0的整式”；系数为分数/小数时，乘最小公倍数或10的倍数化为整数，保持分式值不变。 【典例4】. （25-26八年级上·云南昭通·月考）分式的分子和分母同时乘以2，得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个非零数，分式的值不变，据此进行求解即可． 【详解】解：分子乘以2得，分母乘以2得，因此得到的新分式为； 故答案为． 【变式1】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）如果把分式中的和同时扩大为原来的4倍，则调整后的分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的16倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键，将 和 同时扩大 4 倍后代入原分式，化简比较即可． 【详解】设原分式 ． ∵ 和 同时扩大为原来的 4 倍，即 ， ， ∴ 新分式 ． 化简，得 ． ∴ 调整后的分式的值保持不变． 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏南通·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质，检查每个选项的变形是否恒成立． 【详解】解：∵ 选项A: ，除非取特定值，否则不成立，∴ A错误; ∵ 选项B: ，变形正确，∴ B正确; ∵ 选项C: ，因为右边等于，与左边不同，∴ C错误; ∵ 选项D: ，∴ D错误． 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A．的值都扩大到原来的2倍 B．的值都扩大到原来的4倍 C．的值不变，的值扩大到原来的4倍 D．的值不变，的值扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的变化计算，准确地计算是解决本题的关键． 设，通过计算变化后的分式值，与原始值比较，即可判断． 【详解】解：设， A、∵的值都扩大到原来的2倍， ∴，不符合题意； B、∵的值都扩大到原来的4倍， ∴，符合题意； C、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； D、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； 故选B． 题型05分式的约分与通分 方法技巧：约分先因式分解，约去公因式（单项式取系数最大公约数和相同字母最低次幂）；通分先确定最简公分母，再同步变形分子。 【典例5】. （25-26八年级上·甘肃定西·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握知识点是解题的关键． 分子利用平方差公式因式分解，再与分母约分化简 【详解】解： ． 故选B． 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）（1）约分：．     （2）通分：和． 【答案】（1）；（2） 【详解】本题考查了分式的约分和通分． （1）先将原式的分子分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 解：（1）原式； （2），， 和的最简公分母是， ，． 【变式2】. （25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键； （1）根据平方差公式及分式的性质可进行化简； （2）根据平方差公式及分式的性质可进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】. （20-21八年级上·河北邢台·月考）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【答案】 分式的基本性质 五 【分析】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分． （2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果． 本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键． 【详解】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的基本性质． （2） ， 第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为． 故答案为：五；． 题型06分式的混合运算 方法技巧：遵循“先乘方，再乘除，后加减”，有括号先算括号内；灵活运用运算律简化计算，避免除法分配律误用。 【典例6】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、等式的基本性质、分式的代入求值——整体换元思想．掌握完全平方公式的应用及整体换元思想是解题关键．由已知等式变形得到 ，进而求 的平方，再逐步计算 和 即可． 【详解】解：∵ 且 ， ∴ 等式两边除以 得 ． ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·青海海东·期末）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并化简后代入计算即可． （2）先将括号里的式子通分进行减法运算，再计算分式的除法化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：原式 当时， 原式； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【变式3】. （25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小颖的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 题型07整数指数幂的运算 方法技巧：零指数幂直接得1（底数≠0）；负整数指数幂转化为正指数幂（）；运用整数指数幂运算性质分步计算。 【典例7】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减． 【详解】解： ． 故答案为：0． 【变式1】. （25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）11；（2） 【分析】本题考查的是零指数幂与负整数指数幂的含义，算术平方根的运算，分式的混合运算，熟记相关的运算法则是解本题的关键． （1）先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂和绝对值，再计算加减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)解分式方程：． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）按照运算法则，分别计算各部分，再进行加减计算即可； （2）用平方差公式和提公因式分解因式，计算括号里的减法后化除为乘计算即可； （3）去分母，移项合并同类项，系数化为1，最后进行检验即可． 本题主要考查有理数的乘方，负整数指数幂，分式的混合运算和解分式方程，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：两边同时乘得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 经检验，是原方程的解． 【变式3】. （25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算、化简求值： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)3 (2) (3)， 【分析】本题考查算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的意义，整式的混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键； （1）先根据乘方、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减； （2）先计算多项式除以单项式，平方差公式，再合并即可． （3）根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ， 当时，原式． 题型08科学记数法（表示/还原绝对值较小的数） 方法技巧：表示时，满足，为左起第一个非0数字前0的个数；还原时，指数为则将小数点左移位。 【典例8】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）据统计，支持北斗三号系统的芯片累计出货量已超过10亿片，其中某型号芯片的工艺尺寸为23纳米（即），用科学记数法表示0.000000023正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000000023用科学记数法表示为． 故选：C． 【变式1】. （24-25七年级下·广东佛山·期末）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 【答案】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，这个过程共用了，已知电磁波的传播速度为，求该时刻飞机与雷达间的距离． 【答案】飞机与雷达间的距离为． 【分析】本题考查科学记数法在实际问题中的应用，有理数乘除法的实际应用． 由题意可知，雷达发生电磁波到接收电磁波两个过程共用了0.0000524秒，并将结果用科学记数法表示，则一个过程所用的时间就是秒；接下来根据“路程速度时间”即可求出该时刻飞机与雷达之间的距离． 【详解】解：， ． 故该时刻飞机与雷达间的距离为． 【变式3】. （23-24七年级下·全国·课后作业）1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式和长度单位之间的换算，熟练掌握长度单位之间的换算是解题的关键，根据题意分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 一根头发的直径约为：，则一根头发的半径为：， ∴一根头发的横截面积为：， ∴万根头发的横截面约为：， 答：一根头发的直径大约是，一根头发的横截面积为，万根头发的横截面约为． 题型09解分式方程 方法技巧：去分母（乘最简公分母，不漏乘）→解整式方程→验根（代入公分母，不为0则为解）→写结论。 【典例9】. （辽宁省大连市多校联考2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算；通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并检验根的有效性． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当 时，分母 且 ，故 是原方程的解． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·假期作业）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 【变式2】. （25-26八年级上·内蒙古兴安盟·期末）计算、解分式方程： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式化简、解分式方程，涉及因式分解、分式乘法运算等知识，熟记分式乘法运算法则、解分式方程方法步骤是解决问题的关键． （1）先将分式分子分母因式分解，再由分式乘法运算法则约分化简即可得到答案； （2）先去分母，再解整式方程，最后验根即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 题型10分式方程的增根与参数问题 方法技巧：增根问题：先去分母得整式方程，令公分母为0求增根，代入整式方程求参数；无解问题：分整式方程无解或解均为增根两种情况。 【典例10】. （25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 因为分式方程有增根，得到，即， 将代入整式方程得，， 即， 解得，； （2）解：由（1）知 ：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，， 化系数为1，解得， 根据分式方程的解为正数，得到，且1， 解得：且． 【变式1】. （25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 【变式2】. （25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有 个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 题型11分式方程的实际应用 方法技巧：审清题意找等量关系（行程、工程、销售等）→设未知数→列分式方程→解方→验根（兼顾方程解和实际意义）→答。 【典例11】. （25-26八年级上·全国·假期作业）在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)；0.5 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为； 故答案为：；； （2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是． 【变式1】. （重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级上学期第四次自主作业数学试卷）重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【答案】(1)制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个 (2)8个 【分析】此题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，乙比甲多用4天，据此列方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，依题意得： 解得 制作一个甲款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 制作一个乙款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 答：制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个． （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，依题意得： 解得： 检验：当时是原方程的解． 乙每天增加个 答：每天生产的乙款传感器的增加的数量为8个． 【变式2】. （25-26八年级上·云南昭通·期末）菠菜是藜科一年生草本植物，味甘、性平，归肝、胃、大肠、小肠经，具有解热毒，通血脉，利肠胃之功效．由于生物实验要求观察叶片表皮细胞结构，李老师上周花费30元购买了一批新鲜菠菜．本周实验时发现材料不足需补购，因市场变化，本周菠菜单价上涨了，李老师本周又花费45元购买菠菜，购得的菠菜比上周多2.5斤．问：李老师上周购买的菠菜每斤多少元？ 【答案】2.4元 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元， 由题意得，， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：李老师上周购买的菠菜每斤2.4元． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 题型12分式的规律探究与新定义问题 方法技巧：规律探究观察分式分子、分母、指数的变化规律，归纳通用表达式；新定义问题按规则转化为常规分式运算或方程求解。 【典例12】. （22-23七年级下·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】. （24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 【变式2】. （2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·河南郑州·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方公式变形求值、勾股定理、分式的混合运算等知识点，理解新运算法则是解题的关键． （1）先按照新定义化简，然后将代入求值即可； （2）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ∴当时，； （2）由题意得，， ∴， ∵，且，正方形的面积为26， ∴，     ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分式有意义，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）芯片作为制造业的核心技术，内部有着数以亿计的晶体管，使用体积小、功耗低．某公司上市的某款手机上采用了自主研发的手机芯片，其制程工艺为（5纳米），数据0.000000005用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数；据此即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的化简和变形规则是解题关键． 根据分式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：A．，∴A错误； B．，∴B正确； C．，∴C错误； D．不能约分为，因为，∴D错误． 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的分式方程的解法、不等式的解集，掌握分式方程解法的一般步骤及分式方程有非负数解的解题技巧是解题关键．首先，解分式方程得到 ，然后，根据解是非负数得到 ，同时，分母 ，即 ，从而推导出 的取值范围． 【详解】∵ ， 两边同乘 （注意 ）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 分式方程的解是非负数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 又 ∵ 分母 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ 综上， 的取值范围为 且 故选：C． 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）小李骑共享单车去图书馆，他有两条不同的路线可以选择．路线全程千米，经过闹市区，骑行较慢；路线比路线全程多千米，但可以沿河滨绿道骑行，平均车速比走路线时提高千米／小时．若走路线比走路线少用分钟，设走路线时的平均速度为千米／小时，则根据题意，可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系式及注意单位统一是解本题的关键．根据时间、路程和速度的关系，路线的时间为小时，路线的时间为小时，路线比路线少用分钟即小时，因此路线的时间减去路线的时间等于小时即可得出答案． 【详解】解：由题意知若走路线的平均速度为千米/小时，则走路线的平均速度为千米/小时． ∵路线全程千米， ∴时间小时． ∵路线全程千米， ∴时间 小时． ∵路线比路线少用分钟，即小时， ∴，即． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）当分式的值为0时，的值是 ， 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为0．分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， 解得； 当 时，分母 ，满足条件， 故答案为：2． 7．（22-23九年级上·上海·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，设，（），代入式子后运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的方程无解，则的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过去分母将分式方程化为整式方程，根据方程无解的条件（整式方程无解或解为增根）求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 可得：， 整理可得：， 移项、合并同类项得：， 当即时，方程无解； 当时， 解得， 若解为增根则：， 可得：， 解得：； ， ； 当或时方程无解． 故答案为或． 10．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法运算，负整数指数幂，先把负整数指数幂化为分式的形式，再计算分式乘方，最后计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西钦州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式及实数的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算有理数的乘法及零指数幂，再相加减即可； （2）先利用多项式乘多项式法则及同底数幂的除法法则进行计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·北京昌平·期末）京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 13．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 去括号得，即， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， 是原方程的解． 15．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， 检验：当时，分母 ； （2） ， 当整式方程无解时，，， 当时，则， ， ， 综上，或． 16．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 17．（25-26八年级上·全国·假期作业）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有_____ ．（填字母） A． B．  C． 　 D． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， 分式方程， 解得， ∵， ∴是“关联数对”； 把代入方程， 解方程：，得， 计算， ∴不是“关联数对”； 把代入方程， 解方程：，此方程无解， ∴不是“关联数对”， 把代入方程， 解方程：，得， ， ∴不是“关联数对”， 故答案为：A； （2）解：∵是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $