专题02 分式方程应用题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题02 分式方程应用题 题型一：行程问题 题型二：工程问题 题型三：利润问题 题型四：浓度问题 题型五：配套问题 题型六：数字问题 题型七：分段计费与方案选择问题 题型一：行程问题 方法技巧：紧扣路程=速度×时间，设未知速度/时间，根据“路程相等”“时间差”列分式方程，验根排除负解及不合实际的速度值。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 2．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 题型二：工程问题 方法技巧：设工作总量为1（或最小公倍数），工作效率=1/工作时间，根据“合作效率和”“工作量差”列方程，根需符合工作时间为正的实际。 5．（2025·山东聊城·一模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 6．（25-26八年级上·河北张家口·月考）某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为 ． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． (1)若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． (2)若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 题型三：利润问题 方法技巧：利润率=（利润/进价）×100%，利润=售价-进价，根据“利润率关系”“售价调整后的利润差”列方程，验根确保进价、售价为正。 9．（25-26八年级上·云南昭通·期末）云南省昆明市的斗南花卉市场，是全国最大的鲜花交易中心，日交易鲜花高达500至600万枝、已知每束玫瑰的价格比每束康乃馨贵5元，用150元采买玫瑰的数量与用100元购买康乃馨的数量相同，求每束玫瑰的价格． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）工大附中某班组织学生去福利院慰问，在去某超市购买礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花元，并且花费元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等． (1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元； (2)当超市得知学生要购买礼品去福利院慰问，当即决定进行优惠，购买一个甲种礼品赠送一个乙种礼品，工大附中某班准备购买的乙种礼品的数量是甲种礼品数量的倍多个，且购买礼品的总费用不超过元，那么最多可购买甲种礼品多少个． 12．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： (1)A，B两种凉席每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 题型四：浓度问题 方法技巧：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/浓缩时溶质总量不变，根据“溶质相等”列方程，注意溶液质量单位统一。 13．（23-24七年级下·北京·月考）浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 15．（2024·云南昆明·一模）在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 16．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 题型五：配套问题 方法技巧：分析零件/产品配套比例，设生产效率或数量，根据“配套数量对应关系”列方程，根需满足生产数量为正整数。 17．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 18．（23-24八年级上·重庆大足·期末）某工厂加工生产 两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的 B零件的数量是 A零件数量的 ，并且生产240个 A零件所用的时间比生产同样数量的 B零件要少用5天． (1)求一名熟练工每天可以生产多少个 A零件； (2)该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个 A零件或3个 B零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产 A零件，其余工人全部生产 B零件，已知2个 A零件与3个 B零件刚好配套． 若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产 A零件，才能使得该工厂每天生产的 两种型号的零件刚好配套？ 19．（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样金额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 20．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 题型六：数字问题 方法技巧：设十位或个位数字为未知数，表示出原数与新数，根据数字间的比例、和差关系 21．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位数的千位数字与百位数字之差等于2，十位数字与个位数字之差等于4，则称这个四位数“差2倍数”，若四位数的千位数字与百位数字之差等于3，十位数字与个位数字之差等于6，则称这个四位数是“差3倍数”．则最小的差3倍数与最小的差2倍数的差是 ；若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和 ，若为整数，则此时的最大值为 ． 22．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果一个四位正整数M，满足千位数字与十位数字之和的两倍等于百位与个位数字之和，则称M为“共进退数”，一个“共进退数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定等于M的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和，，若为完全平方数，为整数，则满足条件的所有M中最小的数是 . 23．（24-25八年级下·重庆·月考）一个各数位上数字不完全相同且均不为零的四位正整数，若满足百位和十位数字之和是千位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二倍数”．将“二倍数”的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调得到一个新的“二倍数”，记为，并规定：，例如：当时，，是“二倍数”，则，则．已知两个“二倍数”（，，、都是整数），（，，，，且均为整数），满足是完全平方数，且为整数，则 ，的最小值是 ． 24．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 题型七：分段计费与方案选择问题 方法技巧：设关键量（如用量、时长）为未知数，分阶段列出计费关系式，用分式方程表示不同方案的费用或效果，对比方程解的大小，选择最优方案，验根需符合实际用量范围。 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？年费用=年行驶费用+年其它费用 26．（24-25八年级上·河南信阳·月考）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 27．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 28．（22-23七年级下·浙江温州·月考）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式方程应用题 题型一：行程问题 题型二：工程问题 题型三：利润问题 题型四：浓度问题 题型五：配套问题 题型六：数字问题 题型七：分段计费与方案选择问题 题型一：行程问题 方法技巧：紧扣路程=速度×时间，设未知速度/时间，根据“路程相等”“时间差”列分式方程，验根排除负解及不合实际的速度值。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 【答案】顺水航行的速度是． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是分析题意，找到等量关系列出方程. 设轮船在静水中的速度为，根据“轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间”，列出方程，即可求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：顺水航行的速度是． 2．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设小王原计划的平均速度为，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设小王原计划的平均速度为， 由题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小王原计划的平均速度为． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】(1)汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； (2)小明最多能买个哪吒手办． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米/时）． 答：汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； （2）解：设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为， 答：小明最多能买个哪吒手办． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 题型二：工程问题 方法技巧：设工作总量为1（或最小公倍数），工作效率=1/工作时间，根据“合作效率和”“工作量差”列方程，根需符合工作时间为正的实际。 5．（2025·山东聊城·一模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件，由此列式求解即可． 【详解】解：某工厂将生产线改造后比改造前每天多生产100件， ∴设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件， ∵改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， ∴改造后每天生产的产品件数为件， 故选：C ． 6．（25-26八年级上·河北张家口·月考）某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的关键描述语是：“结果少花3天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时． 根据题意，原计划每天挖x米，实际每天挖1.5x米，水渠总长360米．关键等量关系是原计划用时减去实际用时等于3天． 【详解】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为天，实际用时为天， 又∵少花3天完成任务， ∴， 故选A． 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． (1)若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． (2)若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷 (2)①；；②方案二所用时间少，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式的加减． （1）设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷，根据时间相同列方程求解即可； （2）①根据题意直接计算即可；②用作差法比较即可． 【详解】（1）解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷， 则有：， 解得． 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 乙型收割机：（公顷）， 答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷． （2）解：①方案一所用时间是：， 方案二：设共用了t天，由题意得， ， 解得． 故答案为：，， ②方案二所用时间少 理由：， 由题意知：，，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴方案二所用时间少． 题型三：利润问题 方法技巧：利润率=（利润/进价）×100%，利润=售价-进价，根据“利润率关系”“售价调整后的利润差”列方程，验根确保进价、售价为正。 9．（25-26八年级上·云南昭通·期末）云南省昆明市的斗南花卉市场，是全国最大的鲜花交易中心，日交易鲜花高达500至600万枝、已知每束玫瑰的价格比每束康乃馨贵5元，用150元采买玫瑰的数量与用100元购买康乃馨的数量相同，求每束玫瑰的价格． 【答案】15元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 每束玫瑰的价格为元，则每束康乃馨的价格为元，根据题意列方程，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：设每束玫瑰的价格为元，则每束康乃馨的价格为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义． 答：每束玫瑰的价格为15元． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 【答案】任务1：；任务2：5元；任务3：5010元 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用． 任务1：根据数量总价单价，列数代数式即可； 任务2：根据第二次的进货价有两种表示方法，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 任务3：根据数量总价单价，可求出两次购进葡萄的数量，再由利润销售收入成本，即可求出结论． 【详解】解：任务1：若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为， 故答案为：； 任务2：第一次进货数量为，则第二次的进货量为千克，第二次的进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：第一次葡萄进价是5元； 任务3：第一次进货数量为（千克）， 第二次进货数量为（千克）， 全部售出这种葡萄共盈利： （元）． 答：超市全部售出这种葡萄共盈利5010元． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）工大附中某班组织学生去福利院慰问，在去某超市购买礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花元，并且花费元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等． (1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元； (2)当超市得知学生要购买礼品去福利院慰问，当即决定进行优惠，购买一个甲种礼品赠送一个乙种礼品，工大附中某班准备购买的乙种礼品的数量是甲种礼品数量的倍多个，且购买礼品的总费用不超过元，那么最多可购买甲种礼品多少个． 【答案】(1)甲礼品元，乙礼品元 (2) 【分析】此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式． （1）设购买一个乙礼品需要x元，则甲礼品的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m个甲礼品，则实际需购买乙种礼品数量为个，根据总费用不超过2000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个乙礼品需要x元，则甲礼品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验x=60是原方程的根， ∴． 答：甲礼品元，乙礼品元； （2）设购买甲种礼品个，则赠送乙种礼品个，需要乙种礼品的总数量为个， 实际需购买乙种礼品数量为个， 总费用为， 解得：， 答：最多可购买甲种礼品3个． 12．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： (1)A，B两种凉席每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 【答案】(1)每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元 (2)有3种方案如下：①购进 A 种凉席个，B种凉席个；②购进 A 种凉席个，B种凉席个；③购进 A 种凉席个，B种凉席个 (3)赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. （1）设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元，由题意得：，即可求解； （2）设购进A种凉席个，则购进B种凉席个，由题意得：，即可求解； （3）设获利元，则，可推出当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大；设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 即可求解； 【详解】（1）解：设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； ∴每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元； （2）解：设购进A种凉席个，则购进B种凉席个， 由题意得：， 解得：； ∴有3种方案如下：①购进A种凉席个，B种凉席个；②购进A种凉席个，B种凉席个；③购进A种凉席个，B种凉席个； （3）解：设获利元，则， ∵， ∴当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大； 设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 整理得：； ∵两种凉席均有样品， ∴且； ∴， ∴， 即：赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个； 题型四：浓度问题 方法技巧：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/浓缩时溶质总量不变，根据“溶质相等”列方程，注意溶液质量单位统一。 13．（23-24七年级下·北京·月考）浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 15．（2024·云南昆明·一模）在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，代数式的求值等知识点， 依题意，直接代入公式求解即可得解； 依题意，先求得第一次漂洗后的洗衣液溶度，再求第二次漂洗后洗衣液的溶度看是否即可； 正确根据题意代入公式求解是解决此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入：， 解得：,经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； （2）解：第一次漂洗：把代入：，得, 第二次漂洗：把,代入：，得， ∵, ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 16．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 题型五：配套问题 方法技巧：分析零件/产品配套比例，设生产效率或数量，根据“配套数量对应关系”列方程，根需满足生产数量为正整数。 17．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 【答案】(1)安排名工人生产桌子，名工人生产椅子 (2)万元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （2）设去年的每套餐桌椅成本是万元，今年的成本为万元，根据题意列出分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排名工人生产桌子，名工人生产椅子， 由题意得：， 解得， 故， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套； （2）解：设去年的每套餐桌椅成本是万元，故今年的成本为万元， 根据题意得： 解得 经检验，是原方程的解， 答：去年的每套餐桌椅成本是万元． 18．（23-24八年级上·重庆大足·期末）某工厂加工生产 两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的 B零件的数量是 A零件数量的 ，并且生产240个 A零件所用的时间比生产同样数量的 B零件要少用5天． (1)求一名熟练工每天可以生产多少个 A零件； (2)该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个 A零件或3个 B零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产 A零件，其余工人全部生产 B零件，已知2个 A零件与3个 B零件刚好配套． 若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产 A零件，才能使得该工厂每天生产的 两种型号的零件刚好配套？ 【答案】(1)24个A零件 (2)名新工人生产A零件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用， （1）设一名熟练工每天可以生产个A零件，则一名熟练工每天生产的B零件数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设安排名新工人生产A零件，则安排名新工人生产B零件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设一名熟练工每天可以生产个A零件，则一名熟练工每天生产的B零件数量为个，根据题意得， ， 解得：（经检验，是原方程的解）， 答：一名熟练工每天可以生产24个A零件 （2）解：设安排名新工人生产A零件，则安排名新工人生产B零件，根据题意得， 解得：， 答：安排名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的B零件刚好配套． 19．（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样金额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 20．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 【答案】(1)安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名 (2)每个B牌修正带的单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名，根据“修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产个外壳或生产个齿轮”列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元，根据“用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多”列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名； （2）解：设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元， 由题可知：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每个B牌修正带的单价为元． 题型六：数字问题 方法技巧：设十位或个位数字为未知数，表示出原数与新数，根据数字间的比例、和差关系 21．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位数的千位数字与百位数字之差等于2，十位数字与个位数字之差等于4，则称这个四位数“差2倍数”，若四位数的千位数字与百位数字之差等于3，十位数字与个位数字之差等于6，则称这个四位数是“差3倍数”．则最小的差3倍数与最小的差2倍数的差是 ；若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和 ，若为整数，则此时的最大值为 ． 【答案】 1020 【分析】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是理解“差2倍数”和“差3倍数”的定义．依据题意，由已知，根据“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得：最小的“差2倍数”为2040，最小的“差3倍数”为：， ∴最小的差3倍数与最小的差2倍数的差是； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为7，9， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴时，存在最大值， 满足条件的有或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 其中最大， ∴的最大值为． 故答案为：1020；． 22．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果一个四位正整数M，满足千位数字与十位数字之和的两倍等于百位与个位数字之和，则称M为“共进退数”，一个“共进退数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定等于M的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和，，若为完全平方数，为整数，则满足条件的所有M中最小的数是 . 【答案】 【分析】此题考查了二次元一次方程的解，整式的加减运算、分式的化简等知识，M为“共进退数”，得到，根据题意得到，由M取最小值得到，千位上的a取1，则c 取2，，由为整数得到，，解得或或或，不合题意舍去，则或或，由于求M中最小的数，得到百位数字，，即可得到答案. 【详解】解：∵M为“共进退数”， ∴， ∴， ∵等于M的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和， ∴， ∵为完全平方数，求M中最小的数， 此时，千位上的a取1，则c 取2， ∴ 则此时 ∵为整数， ∴， 解得或或或 当时，放在前面不能组成两位数，所以舍去， ∴或或 ∵求M中最小的数， ∴百位数字， ∴， ∴中最小的数是， 故答案为： 23．（24-25八年级下·重庆·月考）一个各数位上数字不完全相同且均不为零的四位正整数，若满足百位和十位数字之和是千位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二倍数”．将“二倍数”的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调得到一个新的“二倍数”，记为，并规定：，例如：当时，，是“二倍数”，则，则．已知两个“二倍数”（，，、都是整数），（，，，，且均为整数），满足是完全平方数，且为整数，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，二元一次方程的解，整式的加减，分式的化简，等式的变形，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先利用定义和不等式性质得出，且，，，且，再得出 ，结合不等式的性质得出，根据是完全平方数，或，依次求解并取舍即可得；求出，化简 ，利用分离整数法得出 ，可得为整数，结合不等式性质得出，则，要使取最小值，则取最大值，则和要尽可能地大，即可得出最大值，即可求解． 【详解】解：由（，，，，且均为整数）是“二倍数”， 得，， ∴，且， 由（，，、都是整数）是“二倍数”， ∴，， ∴，且，，、都是整数， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴或， 当时， 即，得（不是整数，舍）， 当时， 即，得； 同理可得， 则 ， ∵为整数， ∴为整数， ∵， ∴， ∴， 得， ∴， 要使取最小值，则取最大值， ∵， ∴， 则和要尽可能地大， 又∵是各数位上数字不完全相同且均不为零的四位正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 24．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，从而可得的最大值，求解，又求出，再根据 是整数求出a的值，从而得出符合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值． 【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ∴，． ∵M可以被9整除，， ∴是9的倍数， 又∵，且b为自然数， ∴，且是奇数， ∴，即． 解得：， ∵为一个“两同和七数”， ∴当时，则， ∴的最大值为； 又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即． ∴， 又∵，且a为正整数， ∴，且是奇数， 又∵是整数， ∴或或1或3， 解得：或4或3或2， ∴或4113或3114或2115． ∴满足条件 M 的最小值是：． 故答案为：；． 题型七：分段计费与方案选择问题 方法技巧：设关键量（如用量、时长）为未知数，分阶段列出计费关系式，用分式方程表示不同方案的费用或效果，对比方程解的大小，选择最优方案，验根需符合实际用量范围。 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？年费用=年行驶费用+年其它费用 【答案】(1)燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； (2)行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； （2）解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 26．（24-25八年级上·河南信阳·月考）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）三；（5）方案三比方案二漂洗效果好，证明见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．解题的关键是理解题意． （1）计算出方案一漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （2）计算出方案二漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （3）计算出方案三漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （4）比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （5）先用字母表示出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： （1）方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （2）方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （3）方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （4）， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； （5）推广证明：方案三比方案二效果好，理由如下： 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ， 当，时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 27．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② =． ∵， ∴， ． ∴ ． ∴ ． 同理，可得 ． ∴ ． ∴方案C的最终过滤效果最好． 28．（22-23七年级下·浙江温州·月考）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个，②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个，其中方案②雪花总数最多，为89个． 【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被16整除，得出、，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个， 根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 把代入并解得：， ∵是整数， 所以m必须能被16整除， ∴，， 对应的采购方案为: ①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个， ②长管购买267个，赠89短管，购买短管2026个， 其中方案②雪花总数最多，为89个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $