专题01 分式运算化简求值及技巧性（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题01 分式运算化简求值及技巧性 题型一：简单条件代入求值（已知具体数值） 题型二：先化简再根据隐含条件求值（含分母不为零） 题型三：拆项法简化复杂分式加减 题型四：常值代换法求值（如） 题型五：整体代入法分式求值（含代数式关系） 题型六：倒数求值法 题型七：比例式/连等式条件求值（设法） 题型一：简单条件代入求值（已知具体数值） 方法技巧：先化简分式至最简形式，再代入已知数值，注意运算顺序和符号。 1．（25-26八年级上·北京·月考）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，以及分式的求值． 利用已知条件变形，得到 ，然后代入所求分式进行化简计算． 【详解】解：由，可得，即， 所以， 所以． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·福建泉州·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入中，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，以及分式的求值． 由已知条件 通分可得 ，再代入所求分式进行化简求值． 【详解】解：由 ，得 ，即 ． 代入 ，得 ． 故答案为． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ，即 ． 所求分式的分子为 ， 分母为 ． 所以 ． 故答案为：. 题型二：先化简再根据隐含条件求值（含分母不为零） 方法技巧：先化简分式，列分母的不等式确定参数范围，筛选有效数值代入求值。 6．（2025九年级下·西藏·专题练习）将分式化简，然后请你给x选择一个合适的值代入求值． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简：，再从，，1，2中选择合适的值带入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)，当时，值为 (2)， 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． （2）先整理分式，再运算乘法，然后运算减法，化简得，因为，得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ 依题意，当时，则； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·山东滨州·月考）先化简，再求值 (1)，其中，． (2)先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】(1)， (2)，当时，原式（或当时，原式） 【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并后再计算除法，根据零指数幂，负整数指数幂计算出的值，再代入求解即可． （2）根据分式的运算法则进行化简，再选择使分式有意义的值代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， ，∴， 当时，原式（或当时，原式．） 10．（23-24九年级下·上海·期中）先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，结合分母不为0以及，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴把代入，得． 题型三：拆项法简化复杂分式加减 方法技巧：分母因式分解，利用拆项，正负抵消后通分化简。 11．（23-24七年级上·重庆永川·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个非负数的式子的和为零，则它们均为零，据此求出a和b的值，代入原式进行化简，利用进行分数的“裂项”，进而可以求出式子的值． 本题考查相反数的性质、平方和绝对值的非负性、分数裂项等知识． 【详解】解：由题可知 ， 则，且， 即， 即． ∴原式 ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的裂项相消法，熟练掌握分式通分法则及裂项公式是解题的关键． （1）先确定最简公分母为，通分后合并分子再约分； （2）利用分式裂项公式拆分每一项，再通过抵消化简计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 14．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则 ，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求 ． 【答案】 1 【分析】本题考查分式的混合运算．由于，对任意自然数都成立， 因此把代入等式，即可求出a的值．设，分别把，代入等式，求出b，c的值，从而得到分式可裂项为两个分式的差，根据该规律将所求式子进行裂项求解即可． 【详解】解：∵，对任意自然数都成立， ∴当时，， ∴． 设， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 解方程组得， ∴， ∴ ． 故答案为：1；． 题型四：常值代换法求值（如） 方法技巧：利用已知常值代换分母（如），转化为同分母分式，合并后化简。 16．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 18．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：∵ ，，   ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 19．（24-25九年级上·福建莆田·月考）若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．令，，，由已知条件，则，将原式用，，表示，利用代数变换简化表达式即可． 【详解】解：∵ ，设，，，则， ∵ ， 且，同理，， ∴ ， 即， ∴ ， 对于所求式，， ，同理，， ， 同理， ∴ 原式 ． 故选：B． 20．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 题型五：整体代入法分式求值（含代数式关系） 方法技巧：由已知提炼整体，将所求分式转化为含该整体的形式，直接代入计算。 21．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知x为实数且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （1）首先两边同时除以可得，整理可得的值； （2）直接把两边同时平方，再展开可得的值，即可求解； （3）直接把两边同时平方，再结合的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 方程两边同时除以x得， ． （2）解：∵， ， ， ， ， （3）解：∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的变形与求值，熟练运用分式的变形技巧（如取倒数、完全平方公式的变形）是解答本题的关键． （1）利用分式的倒数变形，结合已知条件求出的表达式，进而求出目标分式的值； （2）通过对已知分式取倒数，结合完全平方公式的变形，逐步求出目标分式的值． 【详解】（1）解：由，得， 则， ． （2）解：由，两边取倒数得， 即， ， 对于，两边取倒数得， 故． 23．（24-25八年级下·广东深圳·期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． (2)计算： ． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 24．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解： ， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 题型六：倒数求值法（含型） 方法技巧：颠倒已知分式得倒数关系（如），结合完全平方公式变形求解。 26．（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【答案】(1)322 (2)11 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先把已知条件变形，得，已知条件取倒数得，根据完全平方公式变形求值得，再代入原式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 29．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知， ，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： (1)已知，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查代数式的求值技巧．熟练掌握完全平方公式变形求值，分式的性质， “倒数法”，是解题的关键． （1）利用完全平方公式直接求解； （2）仿照题干解题过程，通过取倒数并利用已知方程变形求解； （3）将方程转化为关于倒数的方程组，求和后取倒数． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵，且， ∴两边除以 x 得：． ∴． ∴ ． 对于， 取倒数得，． ∴． （3）解：由，且，两边除以 ，得． 由，两边除以 ，得． 由，两边除以 4xz， 得． 设 ， 则 ． 三式相加，得． ∴． 对于，分子分母同除以， 得． 题型七：比例式/连等式条件求值（设法） 方法技巧：设比例系数（如），用表示字母，代入分式消得结果。 31．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用比例关系对已知条件变形是解题的关键． 由比例关系可得a，c，e用b，d，f表示，代入所求表达式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为． 32．（25-26八年级上·山东·期中）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值． 解：设，则，，， 所以，所以． 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，仿照题例解答即可求解，读懂所给材料，正确利用参数法进行求解是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 即， 因为， 所以， 所以， 所以． 33．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． 34．（25-26八年级上·河北张家口·月考）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以 参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． 设，则，，，然后代入分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 35．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮和小莹在解答题目：“已知，求的值”时的对话． 小亮说：用n来表示m，代入要求的代数式可以求出它的值． 小莹说：把转化为，然后设，…… 请你结合上面的信息，完成下面的题目． (1)已知，则______． (2)如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由． (3)设互不相等的非零实数a，b，c，满足，求的值． 【答案】(1) (2)成立，过程见解析 (3)9 【分析】本题考查了分式的化简与求值，理解题意是解题的关键． （1）由题意得，再代入要求的代数式即可求值； （2）设，则，，分别计算和的值，再比较二者的大小即可得出结论； （3）设，则，整理得，由得，则有，因式分解得，再结合求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，推理过程如下： 设， 则，， ∴，， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∴ ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式运算化简求值及技巧性 题型一：简单条件代入求值（已知具体数值） 题型二：先化简再根据隐含条件求值（含分母不为零） 题型三：拆项法简化复杂分式加减 题型四：常值代换法求值（如） 题型五：整体代入法分式求值（含代数式关系） 题型六：倒数求值法 题型七：比例式/连等式条件求值（设法） 题型一：简单条件代入求值（已知具体数值） 方法技巧：先化简分式至最简形式，再代入已知数值，注意运算顺序和符号。 1．（25-26八年级上·北京·月考）若，则分式的值为 ． 2．（25-26九年级上·福建泉州·月考）若，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则的值为 ． 题型二：先化简再根据隐含条件求值（含分母不为零） 方法技巧：先化简分式，列分母的不等式确定参数范围，筛选有效数值代入求值。 6．（2025九年级下·西藏·专题练习）将分式化简，然后请你给x选择一个合适的值代入求值． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简：，再从，，1，2中选择合适的值带入求值． 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级上·山东滨州·月考）先化简，再求值 (1)，其中，． (2)先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 10．（23-24九年级下·上海·期中）先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值 题型三：拆项法简化复杂分式加减 方法技巧：分母因式分解，利用拆项，正负抵消后通分化简。 11．（23-24七年级上·重庆永川·期中）已知与互为相反数，求的值． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 13．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 14．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为 15．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则 ，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求 ． 题型四：常值代换法求值（如） 方法技巧：利用已知常值代换分母（如），转化为同分母分式，合并后化简。 16．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 18．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 19．（24-25九年级上·福建莆田·月考）若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 20．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型五：整体代入法分式求值（含代数式关系） 方法技巧：由已知提炼整体，将所求分式转化为含该整体的形式，直接代入计算。 21．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知x为实数且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 23．（24-25八年级下·广东深圳·期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． (2)计算： ． (3)已知，求的值． 24．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 25．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 题型六：倒数求值法（含型） 方法技巧：颠倒已知分式得倒数关系（如），结合完全平方公式变形求解。 26．（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 27．（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 28．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 29．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知， ，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 30．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： (1)已知，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，且，求的值． 题型七：比例式/连等式条件求值（设法） 方法技巧：设比例系数（如），用表示字母，代入分式消得结果。 31．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）若，则 ． 32．（25-26八年级上·山东·期中）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值． 解：设，则，，， 所以，所以． 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值． 33．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 34．（25-26八年级上·河北张家口·月考）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以 参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 35．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮和小莹在解答题目：“已知，求的值”时的对话． 小亮说：用n来表示m，代入要求的代数式可以求出它的值． 小莹说：把转化为，然后设，…… 请你结合上面的信息，完成下面的题目． (1)已知，则______． (2)如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由． (3)设互不相等的非零实数a，b，c，满足，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $