第15章分式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第15章分式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【详解】解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选：D． 2．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，考虑分母不为零的条件，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵方程，且， 两边乘得， ∴， 当 即 时解有效。 A．当时无解，故A错误； B．当时，，解可为0，故B错误； C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确； D．当且时解为正数，但时无解，故D错误． 故选：C． 3．若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式 ， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 4．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 5．化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 6．已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，当时，则，则可求出，，进而求出，据此可判断①；可求出，当时，，即；当时，，但是此时不确定的符号，据此可判断②． 【详解】解：当时，则， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴当时，，即； 当时，，但是此时不确定的符号，故不能判断的大小关系，故②错误； 故选：A． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和解分式方程等知识点，分式方程有增根时，增根为使分母为零的值，即．将方程化为整式方程后，代入增根求解． 【详解】∵方程， 去分母，两边乘以得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵增根为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（ ） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 9．以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质和分式的约分．通过代入具体数值或代数变形检验每个分式的化简是否正确，发现所有四个分式化简均错误． 【详解】①当时，左边，右边，右边左边，①错误． ②当，，时，左边，右边，右边左边，②错误． ③当，时，左边，右边，右边左边，③错误． ④ ，但右边，除非，否则不相等，④错误． 因此，所有四个分式化简均错误， 故选． 10．已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 11．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可． 本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故则满足条件的整数共有6个． 故④正确， 故选：B． 12．设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 【答案】A 【分析】利用等式的性质对进行变形，并凑出分子“”和“”，得到，最后移项从而得解． 【详解】解：两边同时乘以，得， ， ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，灵活运用分式的运算法则是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由得出，将变形为是解题的关键．由已知条件得出，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 15．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 16．已知，，则的值 0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法． 将通分后得到，代入得，由， 得到，即，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出的表达式，进而计算给定分式的值． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙、丙合作所需天数为， 所以， 整理得， 于是， 因此， 同理，，， 所以， 给定表达式 ． 故答案为：． 18．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为 ；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 8172 0 【分析】本题主要考查了新定义运算，分式化简，解题的关键是理解新定义．根据“开心数”的定义，即四位数满足十位与个位数字和的平方等于千位与百位数字组成的两位数，且各位数字互不相等且均不为零，首先寻找最大的“开心数”，需千位数字尽可能大，且满足条件的平方数；通过化简的表达式，并利用整除条件确定的值，进而计算的所有可能值，求其最大值与最小值的和即可． 【详解】解：设四位数，则“开心数”满足，且a，b，c，d互不相等且均不为零， ∵为两位数， ∴， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时，故， 此时， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，，时十位数字最大， 故，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ， 根据题意得：， ∴ ， 设， ∵， ∴， 则， ∵能够被9整除， ∴能被9整除， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能值为1，，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为， 最大值与最小值的和为． 故答案为：8172；0． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题8分）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂，解分式方程等知识点，掌握求解方法是解题的关键． （1）先计算乘除法和零指数幂，再计算乘除法即可． （2）根据解分式方程的方法步骤求解即可． 【详解】解：（1） = ． （2）， 两边同时乘以得：， 去括号得：， 解得：， 经检验，当时， ∴原分式方程的解为． 20．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，代数式的化简求值，涉及多项式乘除法、分式运算和负整数指数幂、零指数幂的计算． 先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 21．（本题8分）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 【答案】(1)B；C (2)每个类摊位的占地面积是，每个类摊位的占地面积是 【分析】本题考查了分式方程的实际应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据对题干的理解和分式方程的等量关系，进行分析，然后即可求解； （2）根据解分式方程的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即； 解法二：设可布置类摊位个，则可布置类摊位也为个， 即； 故答案为：B；C； （2）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即， 解得：， 检验，时，， ∴是分式方程的解， ∴； 即每个类摊位的占地面积为，每个类摊位的占地面积是； 22．（本题8分）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 23．（本题10分）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 24．（本题10分）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)2，2， (2)（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了求分式的值，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）把，，分别代入计算即可； （2）利用完全平方公式求出，然后根据非负数的性质可得出，故当，即时，，即可求解； （3）类似（2）判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：2，2，； （2）解：（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 证明：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2； （3）解：（为正整数）有最小值为2， 理由：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2． 25．（本题10分）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 【答案】(1)① (2)的值是或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“满分方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“满分方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令求出的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是或， 当时，， ∴①是“满分方程”，符合题意； 方程的解是， ， ∴②不是“满分方程”，不符合题意； 故答案为：①； （2）解：∵方程， ∴， 即或， 解得：或， ∴方程的解为或， 解一元一次方程得， 若， 则， 解得， 若， 则， 解得， 综上，的值是或； （3）解：方程， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ∵分母不能为 0 ， ，， 即． 26．（本题10分）正实数满足，且， (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键． （1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得，从而得，将所求分式通分后代入可得结论； （2）计算两边的差, 把（1）中代入并计算可得差，从而得结论． 【详解】（1）由等式 去分母得 ， ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴原式； （2）由（1）得:, 又∵为正实数, ∴ ， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章分式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 3．若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 4．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C． D． 8．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 9．以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 11．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，则 ． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 15．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 16．已知，，则的值 0．（填“”、“”或“”）． 17．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是 ． 18．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为 ；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题8分）（1）计算： （2）解方程： 20．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 21．（本题8分）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 22．（本题8分）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 23．（本题10分）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 24．（本题10分）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 25．（本题10分）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 26．（本题10分）正实数满足，且， (1)求的值； (2)证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $