第15章分式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第15章 分式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．4 D． 2．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．年月日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在米至米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成像．用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 6．下列式子从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．把分式中的a、b的值同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的10倍 D．保持不变 8．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且m≠3 D．且m≠3 11．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 12．若分式与分式的和为1，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 14．计算： ． 15．已知，，则的值是 ． 16．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 17．已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则 ． 18．已知是关于的方程，若方程有增根，则m的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（8分）解分式方程 (1) (2) 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得，……第一步 解得，……第二步 原分式方程的解是，……第三步 (1)小丽的解答过程从第__________步开始出错； (2)请写出正确的解题过程． 23．（10分）已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 24．（10分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 25．（10分）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 26．（10分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数x的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 分式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】分式值为0需分子为0且分母不为0解答即可； 本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握条件是解题的关键 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，解得， 当时，分母， ∴符合条件， 故选：B 2．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义：一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是多项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 3．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此需满足分母，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得，即． 故选：B． 4．年月日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在米至米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成像．用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 将小数转换为科学记数法，需确定小数点移动的位数和方向，然后即可求解； 【详解】解：∵ 的小数点向右移动7位得到4， ∴ ， 故选：D； 5．在，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，据此判断即可求解． 【详解】解∵ ，，，， ∴ ， 即， 故最大数为， 故选：A． 6．下列式子从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，左边，右边，不相等，故A不符合题意． B、当时，分式无意义，故B不符合题意． C、当时，左边，右边，不相等，故C不符合题意． D、分子和分母同除以2（），分式的值不变，故D符合题意． 故选：D． 7．把分式中的a、b的值同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的10倍 D．保持不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质． 将a和b同时扩大10倍后代入分式计算，比较新分式与原始分式的值． 【详解】解：设原始分式，新分式， ∵a和b同时扩大10倍，即，， ∴新分式． 即分式的值扩大到原来的10倍． 故选：C． 8．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，方程两边都乘以，得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 即原分式方程的解是． 故选：A． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 10．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且m≠3 D．且m≠3 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的特殊解．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，从而求得m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得且m≠3， 故选：C． 11．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解：先将分式方程化简，利用分母关系合并分式，然后求解方程，当解为增根（分母为零）时方程无解． 【详解】解： ， ∴． 当解为增根时，方程无解，即， ∴，解得． 故选：A． 12．若分式与分式的和为1，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可得方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵分式与分式的和为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当，， ∴是原方程的解，且符合题意， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 1 / / 【分析】本题考查零指数幂，积的乘方，单项式乘以多项式，分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据任何非零数的0次幂等于1，即可求解； （2）根据积的乘方法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则计算即可； （4）根据分式的乘方法则，分子和分母分别乘方计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂的运算，任何非零数的次幂都等于，即()；一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，即()．先分别计算零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的加减运算． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出是解题关键．先把所给等式的左边通分，再相减，可得，再根据等式性质可得，即可得出，再根据，即可求出结果． 【详解】解：∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 17．已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．根据定义求出至，可得每6个一循环，结合，即可解答． 根据序列定义计算前若干项发现序列每6项循环一次利用周期性质求 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 由此发现，每6个循环一次， ∵， ∴． 故答案为： 18．已知是关于的方程，若方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根． 分式方程有增根，即分母为零时的x值，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：∵ ∴，即 去分母，两边同乘，得 方程有增根，即分母为零，令，得增根 将代入整式方程，得， 解得 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式运算法则． （1）对分母变形，然后按同分母分式加法法则计算即可； （2）对括号进行通分化简，然后利用除以一个数等于乘以该数的倒数，进行约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．（8分）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． （2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】（1）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 解得：， 检验：时，， 故是原方程的解． （2）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 移项，合并同类项得， 解得：， 检验：时，， 故是增根，原方程无解． 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为；结果为． 【分析】本题考查了代数的化简求值，注意运算顺序． 先根据完全平方公式和平方差公式，进行计算，再把分子合并同类项、约分，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ∵ ，， ∴原式． 22．（8分）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得，……第一步 解得，……第二步 原分式方程的解是，……第三步 (1)小丽的解答过程从第__________步开始出错； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查解分式方程．熟悉通过找到最简公分母，去分母，去括号，移项、合并同类项等方法解分式方程是解题的关键． 首先去分母，方程两边每一项都乘最简公分母，再去括号，移项、合并同类项得到方程的解． 解分式方程后必须检验，确保分母不为． 【详解】（1）解：∵去分母时每一项都要乘最简公分母， ∴第一步中去分母得错误，应为， 故答案为：一； （2）解： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：当时，，， ∴原分式方程的解是． 23．（10分）已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 24．（10分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 25．（10分）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 【答案】(1)第一批哈密瓜每件进价是元 (2)第二批哈密瓜赚了元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元，根据水果店老板用元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）求出第二批哈密瓜的售价和件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批哈密瓜每件进价是元． （2）解：由（1）得：第二批哈密瓜的进价为（元），件数为（件）， 所以第二批哈密瓜的利润为：（元）． 答：第二批哈密瓜赚了元． 26．（10分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的变形与运算，因式分解等，掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑整或因式分解等方法是解题的关键． （1）参照范例求解即可； （2）参照范例得到，根据题意得到为整数，从而或，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴或， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $