专题02：因式分解与几何专练 讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以因式分解与几何的内在联系为核心，通过图形面积关系梳理知识脉络，用几何模型（如正方形剪拼、长方形拼图）呈现平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，构建“代数工具-几何应用”的知识框架，突出重难点的逻辑关联。 讲义亮点在于“数形结合”的练习设计，如通过正方形剪去小正方形求剩余面积（第1题）、用连续奇数平方差验证倍数关系（第2题），培养几何直观与运算能力。包含基础应用（如分组分解法）和培优拓展（如立体图形体积推导因式分解），基础生掌握方法，优生深化思维，助力教师实施分层教学与学生自主复习。

专题02：因式分解与几何专练（巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 因式分解与几何之间有着紧密的联系，因式分解作为代数工具，常用于解决几何问题，尤其是将几何问题代数化后简化计算或推导。因式分解将几何问题转化为代数问题，通过简化多项式揭示几何本质，是连接代数与几何的重要桥梁。在解决几何问题时，巧妙运用因式分解能提高效率，深化理解。 1．如图，在一块边长为 的正方形纸板四角， 各剪去一个边长为 的正方形，利用因式分解计算当 时，剩余部分的面积． 【答案】解： 根据题意得剩余部分的面积 ． 当 时， = 答： 当 时， 剩余部分的面积为 ． 【解析】【分析】由图可知，剩余部分面积=大正方形面积-4个小正方形面积。由正方形的面积=边长×边长。大正方形边长为acm.小正方形边长为bcm，可知，剩余部分面积=a2-4b2=a2-（2b）2=（a+2b）·（a-2b）cm2.然后把a=19.9、b=4.95分别代入，求出值即可. 2．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如： （1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢? （2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么? （3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积. 【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2， ∴42不能表示成两个连续奇数的平方差， ∵ ∴2024能表示为两个连续奇数的平方差； （2）解：是，理由如下： ∵ ∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数； （3）解： = 【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解； （2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解； （3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可. 3．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． （2）应用公式计算： （3）应用公式计算： 【答案】（1），，； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，， ∴ 所得到的公式为，故答案为：，，； 【分析】（1）观察图形可知：S1=大正方形的面积-小正方形的面积，S2=长方形的面积，然后根据两面积相等可得公式； （2）直接逆用（1）中的公式把原式每一项写成乘积的形式，从而可得，进而进行化简可得答案； （3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可． 4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3. （1）根据图2完成因式分解：　 　； （2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　 　；（用含的式子表示） （3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：根据题意， 得， 则． ， ． 【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b， ∴2a2+2ab=2a(a+b). 故答案为：2a(a+b). （2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab， ∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2， ∴大正方形的边长为a+2b. 故答案为：a+2b. 【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答； （2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长； （3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明. 5.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn =（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2） =（3a+2b）2-（5m-n）2 =（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n） （2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0 ∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是：a-b=0，a-c=0， 所以，a=b=c． 即：△ABC的形状是等边三角形． 【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状. 6．（2024八上·农安期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． （1）如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （2）如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． （3）将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）解：① ②由题意得：， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， （3）解：阴影部分的面积 ． 【解析】【解答】（1）解：根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则， 故答案为：； （2）①∵大长方形的面积，大长方形的面积=， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）根据正方形的面积公式，得到大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，即可得到答案； （2）①由大长方形的面积，大长方形的面积=，得到，即可得到答案； ②根据题意，求得，得到，结合进行计算，即可求求解； （3）根据正方形与三角形的面积公式，结合阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积，即可得到答案． 7．下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积： ① ； ②， 请据此 回答下列问题： （1） 因为 ，所以 　 　. （2）利用（1） 中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解 因式， 例： ① ． ② ． （请将结果补充出来） 请利用上述方法将下面多项式分解因式： +20 （写出分解过程）． 【答案】（1） （2）解： ②； . 【解析】【解答】解： (1)； 故答案为：. (2) ②； 故答案为：； 【分析】（1）利用等面积法即可求解； （2）根据第1问的结论，即可得解； （3）根据第1问的结论，即可得解. 8．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 【答案】（1）； 解：（2）根据图2可知：S图1长方形=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴， 根据题意可知：，， ， ，，， ， ； （3）；；； 【解析】【解答】解：（1）根据图1可知，S图1长方形=（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2， 所以，， 故答案为：； （3）根据图③和图4可知：长方体②的体积， 长方体③的体积 ， 由此可得： ， 故答案为：；；； 【分析】（1）根据图1长方形的面积=（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，可得； （2）根据图2可知：S图1长方形=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，即，利用整体代入计算即可； （3）结合图3和图4，可知长方体②的体积，长方体③的体积，由此可得，即可得出结论； 9．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． （1）【小试牛刀】 请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． （2）【自主探索】 请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． （3）【拓展迁移】 事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果． 【答案】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为 ， 又∵图3的面积又等于一个长为 ，宽为 的长方形面积， ∴ ； （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴同理可得 ； （3）解：观察可知 ， ∴我们可以把 看做是一个高为a，底面积为 的长方体的体积， 如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）图3的面积有两种表示方法，第一种看成由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成；第二种看成一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到一个等式； （2）多项式2a2+5ab+3b2可以看成一个图形的面积，有两种表示方法，第一种看成由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(2a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案； （3）先对多项式a3+4a2b+3ab2进行因式分解，提取公因式a，多项式a3+4a2b+3ab2就可以看成一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积，然后把底面积用两种方法表示，第一种看成由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案. 10．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式． （2）解决问题：如果，求的值． （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1）解： （2）解：， （3）解：设， 则． 这个长方形的面积为 【解析】【分析】(1)根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； (2)根据完全平方公式变形即可求解； (3)根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论. 11．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： （1）基础运用：把多项式进行因式分解． （2）知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】（1）解：； （2）解：． 【解析】【分析】（1）利用阅读材料利用十字相乘法分解因式即可； （2）直接利用十字相乘法分解因式即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02：因式分解与几何专练（巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 因式分解与几何之间有着紧密的联系，因式分解作为代数工具，常用于解决几何问题，尤其是将几何问题代数化后简化计算或推导。因式分解将几何问题转化为代数问题，通过简化多项式揭示几何本质，是连接代数与几何的重要桥梁。在解决几何问题时，巧妙运用因式分解能提高效率，深化理解。 1．如图，在一块边长为 的正方形纸板四角， 各剪去一个边长为 的正方形，利用因式分解计算当 时，剩余部分的面积． 2．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如： （1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢? （2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么? （3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积. 3．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． （2）应用公式计算： （3）应用公式计算： 4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3. （1）根据图2完成因式分解：　 　； （2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　 　；（用含的式子表示） （3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：． 5.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 6．（2024八上·农安期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． （1）如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （2）如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． （3）将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 7．下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积： ① ； ②， 请据此 回答下列问题： （1） 因为 ，所以 　 　. （2）利用（1） 中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解 因式， 例： ① ． ② ． （请将结果补充出来） 请利用上述方法将下面多项式分解因式： +20 （写出分解过程）． 8．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 9．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． （1）【小试牛刀】 请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． （2）【自主探索】 请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． （3）【拓展迁移】 事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果． 10．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式． （2）解决问题：如果，求的值． （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8和，且，求这个长方形的面积． 11．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： （1）基础运用：把多项式进行因式分解． （2）知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 学科网（北京）股份有限公司 $