7.1相交线精析精练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 7.1.1两条直线相交 知识点1、邻补角的定义及性质 1．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，O为直线上的一点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 5．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 6．如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 7．已知：直线、相交于点，平分，，．求、的度数． 8．如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 知识点2 对顶角的定义及其性质 9．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 12．如图，直线、相交于点，，．则 ． 13．如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 14．如图，直线、、相交于点． (1)图中的对顶角为________； (2)若，求和的度数． 15．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 16．如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 知识点3 邻补角对顶角的应用 17．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 18．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 19．如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． 20．当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 22．光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则 ． 23．据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．在图2的“小孔成像”实验中，线段与交于点O，若，则的度数为 ． 24．一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 25．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是 ． 易错点： 未给出图形，考虑不周出错 26．点O在直线上，，，则的度数为 ． 27．如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 1．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 3．如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 4．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线在直线的同侧，且．作的平分线，的平分线． (1)如图1，当射线重合时，依题意补全图形，并求出的度数； (2)如图2，，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 5．如图，直线、相交于点O，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 6．如图，是直线上一点，，在直线上方，在直线下方，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，若平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 7．如图，O是直线上一点，平分，． (1)若，求和的度数． (2)试猜想是否平分，并说明理由． 8．动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 1．如图1，为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的角的顶点放在点处，直角边在射线上，斜边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2的位置，使边在的内部且平分，则图2中的度数是____________． (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3的位置，使在的内部，则的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，旋转时间为秒．在旋转的过程中，当射线中任意一条射线是另外两条射线所夹角的平分线时，请直接写出符合要求的的值． 2．如图，已知直线， 相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 4．点在直线AB上． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，分别为的平分线，猜想的度数并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，为同一平面内的射线，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，，求的度数． 5．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 7.1两条直线相交（解析版） 知识点1、邻补角的定义及性质 1．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 2．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，邻补角．根据角平分线的定义求出，再由与互补即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，O为直线上的一点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确地计算相关角度是解题关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵O为直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴，即， 故答案为：B． 4．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 5．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 【答案】和 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 6．如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 7．已知：直线、相交于点，平分，，．求、的度数． 【答案】、的度数分别为， 【分析】本题考查几何图形中角度计算，角平分线的定义．根据平角的定义先求，，再根据角平分线的定义求． 【详解】解：，， ， ， 平分， ． 综上可得，、的度数分别为，． 8．如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再利用即可求解； （2）同理（1）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：同理（1），得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 知识点2 对顶角的定义及其性质 9．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 11．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 12．如图，直线、相交于点，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 13．如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，直线、、相交于点． (1)图中的对顶角为________； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． (1)根据邻补角及对顶角的定义求解即可； (2)根据对顶角及邻补角进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义可得的对顶角为， 故答案为：． （2）解：， ． ， ． 15．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义： （1）利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． （2）根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∵与是对顶角， ∵平分， ∴、的度数分别为、； （2）解：如图为各个角的度数： ，则其补角为， 故其补角有：． 故答案为：． 16．如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 知识点3 邻补角对顶角的应用 17．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 18．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 19．如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 20．当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角，如图，先根据邻补角的定义得，再由可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， 故选：C． 21．如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行， 故选：C． 22．光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．在图2的“小孔成像”实验中，线段与交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，根据对顶角的性质得出，结合已知可求出的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 24．一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了邻补角的性质．求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 25．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是 ． 【答案】/95度 【分析】比萨斜塔与地面所成的较小的角是，它与地面所成的较大的角与较小的角互补，因而与地面所成的较大的角是95度．此题考查了邻补角的定义．理解较小的角与较大角的含义及两者间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：比萨斜塔与地面所成的较大的角与较小的角是邻补角，且它与地面所成的较小的角是， ∴， 比萨斜塔与地面所成的较大的角是． 故答案为：． 易错点： 未给出图形，考虑不周出错 26．点O在直线上，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差关系，分两种情况讨论：、在直线同侧；、在直线两侧，然后利用平角的定义和角度的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点O在直线上， ∴， 当、在直线同侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当、在直线两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 27．如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线定义得出，根据，得出，然后再根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴可设，则， ∵， 即， 解得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）知，， ∴， ∵平分， ∴， 分两种情况： ①， ②， ∴． 即或． 1．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ． 2．如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，理由见解析． 【分析】本题考查的是一元一次方程的几何应用，对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，几何图形的角度运算，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键． （1）根据对顶角相等求出的度数，设，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ， ， 解得， ； （2）解：是的角平分线，理由如下： 由（1）得． ， 又平分， ， 又， ， 是的角平分线． 3．如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的性质，角平分线的定义． 根据余角的定义得到，根据对顶角的定义得到，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 4．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线在直线的同侧，且．作的平分线，的平分线． (1)如图1，当射线重合时，依题意补全图形，并求出的度数； (2)如图2，，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)；理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握角平分线的定义与角的和差关系得到角与角之间的关系是解本题的关键． （1）依题意补全图形，根据题意得到，求出，再根据角平分线的定义即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图；   ∵， ∴， ∴． ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴． （2）解：；理由如下： 如图，设， ∵， ∴． ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴， 即． 5．如图，直线、相交于点O，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义、邻补角的概念和性质． （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】（1）解：平分， ， ； （2）解：平分， ， ， 又平分， ， ． 6．如图，是直线上一点，，在直线上方，在直线下方，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，若平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，据此解答即可； （2）设，根据角平分线的性质得到及，进而得到，从而得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， ， ； （2）解：猜想：，理由如下： 设， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． 7．如图，O是直线上一点，平分，． (1)若，求和的度数． (2)试猜想是否平分，并说明理由． 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，准确计算是解题的关键． （1）根据，即可计算；根据角平分线的定义得到，结合，可求得，最后由，即可解答； （2）由题意可知，，结合平分，得到，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 8．动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，邻补角互补，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据结合图形可得，根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）先求得进而根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：，， ； （3）解：当时， ， 平分， ， ． 1．如图1，为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的角的顶点放在点处，直角边在射线上，斜边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2的位置，使边在的内部且平分，则图2中的度数是____________． (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3的位置，使在的内部，则的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，旋转时间为秒．在旋转的过程中，当射线中任意一条射线是另外两条射线所夹角的平分线时，请直接写出符合要求的的值． 【答案】(1) (2)是定值，且该定值为 (3)6或24或42或60 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的有关计算，熟练掌握角平分线的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角平分线定义进行求解即可； （2）根据图形得出，，然后再求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当平分和两条射线的夹角，且在上方时，当平分和两条射线的夹角，且在下方时，当平分和两条射线的夹角时，当平分和两条射线的夹角时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：是定值，且该定值为； 根据题意得：， ， ∴ ； （3）解：当平分和两条射线的夹角，且在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当平分和两条射线的夹角，且在下方时，如图所示： 此时旋转的角度为：， ∴； 当平分和两条射线的夹角时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当平分和两条射线的夹角时，如图所示： ∵， ∴旋转的角度为：， ∴； 综上，符合要求的的值为6或24或42或60． 2．如图，已知直线， 相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据邻补角的定义得，即可得出答案； （2）根据邻补角的定义得，可得，然后由对顶角相等得，最后由可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角的和差计算，邻补角的定义，对顶角相等，掌握邻补角的定义及对顶角相等是解题的关键． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 4．点在直线AB上． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，分别为的平分线，猜想的度数并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，为同一平面内的射线，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的和差关系，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解即可； （2）根据角的平分线的定义，以及角的和差关系即可求解； （3）分以下几种情况讨论：当在内部，在内部时；当在内部，在内部时；当在内部，在内部时；当在内部，在下方时；当在下方，在下方时；当在下方，在内部时，然后根据角的和差关系并结合，构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：， 理由：∵，分别为的平分线 ∴，， ∵， ∴， 即； （3）解：∵ ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴在内部，故不符合题意，舍去； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当在内部，在下方时，如图， 或 此时，不符合题意舍去； 当在下方，在下方时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去）， 综上，的度数为或． 5．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 【答案】（1）；（2）①80°；②． 【分析】（1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数； （2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°，进而可得∠AOE的度数； ②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得，再由①的思路可得答案． 【详解】解：（1）因为平分，， 所以，， 所以． 故答案为：； （2）①因为，， 所以， 所以， 所以． ②． 因为，， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 拓展 素养训练 基础 分点训练 中档 提分训练 学科网（北京）股份有限公司 $