15.2画轴对称的图形 课时2（课件）-2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 课时2 坐标平面中的轴对称 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1. 理解在平面直角坐标系中, 已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的变化规律. 2. 掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法. 学习目标 知识回顾 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的大小、形状完全相同. 轴对称变换. 轴对称变换的性质. ①新图形上的每一点都是原图形的某一点关于直线l的对称点； ②连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 画轴对称图形. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 知识回顾 (2) 将△ABC平移，使点A平移到原点O的位置，则平移后的三个顶点坐标分别是什么？ A B C A′ B′ C′ A′(0，0)， B′(-3，-1)， C′(-1，-4). 横坐标-3，纵坐标-4. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(3，4)，B(0，3)，C(2，0). (1) 画出△ABC； 新课导入 左图是一幅故宫的平面示意图、其中熙和门和协和门是关于中轴线所在的直线对称的，如果以太和门为原点，按照如图所示的方法建立平面直角坐标系，根据如图所示的协和门的坐标，你能说出熙和门的坐标吗? x y 午门 太和门 太和殿 弘义馆 体仁阁 熙和门 协和门 （4，－3） 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律 探究 在如图的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有怎样的规律. 已知点 A(2，-3) B(-1，2) C(-6，-5) D( ，1) E(4，0) 关于 x 轴的对称点           新课讲解 已知点 A(2，-3) B(-1，2) C(-6，-5) D( ，1) E(4，0) 关于 x 轴的对称点           A′(2，3)  B′(-1，-2)  C′(-6， 5)  D′(，-1) E′(4，0)  关于x轴对称的每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数. A B D E A′ B′ D′ E′ C C′ 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 A B D E C A′′ B′′ D′′ E′′ C′′ 已知点 A(2，-3) B(-1，2) C(-6，-5) D( ，1) E(4，0) 关于 y 轴的对称点           A′′(-2，-3)  B′′(1，2)  C′′(6， -5)  D′′(-，1) E′′(-4，0)  关于y轴对称的每对对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数. 新课讲解 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 归纳 简记为“横相同，纵相反” 简记为“纵相同，横相反” 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 关于非坐标轴对称的点的坐标规律（拓展） (1) 点(a，b)关于直线x =m 对称的点为(2m－a，b)； (2) 点(a，b)关于直线y =n 对称的点为(a，2n－b)； (3) 点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b). 拓展 关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值分别相同，这是因为一对对称点到对称轴的距离相等. 注意 新课讲解 例 1. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则剪纸上的点A(－4，2)关于y轴对称的点的坐标为( ) A. (－4，－2) B. (4，－2) C. (4，2) D. (－2，－4) 方法点拨：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 解：∵ y轴是图形的对称轴， ∴在平面直角坐标系xOy中，剪纸上的点A(－4 ，2)关于y轴对称的点的坐标为(4，2). C 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 例 A A. 关于轴对称 B. 关于 轴对称 C. 点和 重合 D. 以上都不对 2. 小红同学误将点的横、纵坐标次序颠倒，写成 ，另一学生误将点的坐标写成关于 轴对称的点的坐标，写成，则， 两点原来的位置关系是 ( ) 1. 在平面直角坐标系中，若点 关于轴对称的点的坐标是，则点 的坐标为 ( ) 新课讲解 练一练 D A. B. C. D. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 3. 已知点到轴、轴的距离分别是4和5，且点关于 轴对称的点在第四象限，则点 的坐标是_________. 新课讲解 练一练 2. 已知点与点关于 轴对称，则 的值为____. 新课讲解 知识点2 在平面直角坐标系中画轴对称图形 在平面直角坐标系中，我们可以利用前面的规律画出与一个图形关于 x轴或 y 轴对称的图形，对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点(如三角形的顶点)关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 例 3. 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形. 解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A'(5，1)，B'(2，1)，C'(2，5)，D'(5，4). A′ B′ C′ D′ 依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'. 新课讲解 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 . 1. 计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； 2. 描点——根据对称点的坐标描点； 3. 连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 步骤 所找的特殊点一定要能确定原图形，如多边形的顶点等，否则画出的图形与原图形不一定对称. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 例 解：(1)如图所示， 即为所作. ，， . 4. 如图， 三个顶点的坐标分别为 ，， . (1) 作出关于直线 （直线 上各点的横坐标都为2）对称的，并写出点，， 的坐标； (2)如图所示，即为所作. ，， . (2) 作出关于直线（直线上各点的纵坐标都为 ）对称的，并写出点，， 的坐标. A' C' B' A'' B'' C'' 新课讲解 练一练 解：如图所示. A′ C′ B′ A′′ B′′ C′′ 1. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新课讲解 练一练 2. 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(2，4)，C(3，-1). (1)在平面直角坐标系中，画出△ABC； (2)若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'，B'，C'的坐标. 解：(1) 如图所示， △ABC即为所作. A (0，4) B (2，4) C (3，–1) A' (0，–4) B' (2，–4) C' (3，1) (2) 如图所示，△ABC即为所作，A' (0，–4)，B' (2，–4)，C' (3，1). 课堂小结 画轴对称图形 点（x , y）关于x轴对称 点（x , y）关于y轴对称 在直角坐标系中画出已知图形关于某条直线成轴对称图形的方法 横坐标相同 纵坐标互为相反数 纵坐标相同 横坐标互为相反数 计算 描点 连接 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂小练 1. 分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： (-2，6)，(1，-2)，(1，3)，(-4，-2)，(1，0). 解：题中五个点关于x轴对称的点的坐标分别是： (-2，-6)，(1，2)，(1，-3)，( -4，2)，(1，0). 关于y轴对称的点的坐标分别是： (2，6)，(-1，-2)，(-1，3)，(4，-2)，(-1，0) 当堂小练 2. 如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，写出点B的坐标. 解：点B的坐标为(1，2). (1，-2) 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂小练 3. 若|a-2|+(b-5)2=0，则点P (a，b)关于x轴对称的点的坐标为________. (2，-5) 当堂小练 4. 已知点A(3x-1，2x+5)关于y轴对称的点在第一象限，求x的取值范围. 解：点A（3x-1，2x+5）关于y轴的对称点的坐标为A′（1-3x，2x+5）. ∵点A′在第一象限， ∴1-3x>0，2x+5>0，解得 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂小练 5. 已知点A(2a–b，5+a)，B(2b–1，–a+b)． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2025的值． 解：(1) ∵点A，B关于x轴对称， ∴2a-b＝2b–1，5+a-a+b＝0， 解得a＝-8，b＝-5. (2) ∵A，B关于y轴对称， ∴2a-b+2b-1＝0，5+a＝-a+b， 解得a＝-1，b＝3， ∴(4a+b)2025＝-1. 6. 点 的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中， 满足二元一次方程组 则点关于轴的对称点 的坐标为_________. 当堂小练 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 对接中考 1. 在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位长度后，得到的点P1关于x轴的对称点的坐标是 ( ) A. (1，1) B. (3，1) C. (3，－1) D. (1，－1) B 对接中考 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为 .若是关于直线对称的轴对称图形，则点 的坐标为__________. 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 拓展与延伸 1. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，以地面为轴，镜面侧面为 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是 ，此时对应的虚像的坐标是 ，则 ____. 拓展与延伸 C 2. 如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是 ，则经过第2025次变换后点 的对应点的坐标为 ( ) A. (5 , 2) B. (5 , −2) C. (−5 , −2) D. (−5 , 2) 内角和定理的教学重点应该放在如何概率化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解不等式基础的本质有助于更好地阐述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在切线性质中体现为能够灵活地识别。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 拓展与延伸 (1) 当时，直接写出点， 的坐标； 解：(1) ， . 13. 小燕对平面直角坐标系中的格点问题非常感兴趣，进行了深入探究.在平面直角坐标系中，轴上有一点，过点 画轴的垂线，轴上有一点，过点画轴的垂线 ，点关于直线的对称点为点，线段交直线于点 . (2) 如图，观察可知 内（不包含边界）的格点坐标为 . (2) 横、纵坐标都是整数的点叫作格点. ①当时，结合图形，直接写出 内（不包含边界）的格点坐标； ②若内（不包含边界）有且只有1个格点，直接写出 的取值范围. (3) 满足条件的的取值范围为或或或 . $