2.4 单摆 导学案 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案围绕单摆展开，核心知识点包括单摆的概念、回复力来源、周期公式及影响因素、模型拓展。通过“小球受力分析”“向心力与回复力辨析”等问题链导入，衔接简谐运动知识，搭建从受力分析到规律应用的学习支架。 资料以问题驱动引导科学探究，结合情境化例题（如秒摆、不同星球周期计算）培养科学思维，通过类单摆、等效摆长等模型拓展深化物理观念，习题设计层次分明，助力学生理解单摆本质，提升分析解决问题的能力。

4　单摆 [学习目标]　　1.知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源(重点)。 2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式(重难点)。 一、单摆及其回复力 如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A'间来回摆动，不计空气的阻力。 (1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？ (2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？ (3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？ 答案　(1)小球受重力和细线的拉力作用。 (2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。 (3)小球经过平衡位置时还有向心力，其合外力不为零。 1.单摆 (1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2.单摆的回复力 (1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)规律：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。 说明：在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。 例1　(2024·河北省高二联考)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 答案　C 解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 二、单摆的周期 1.单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。 2.单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 说明：①单摆的周期公式在摆角很小时成立。 ②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 例2　(2024·辽宁省名校联盟高二期中)图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是(　　) A.把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B.把摆角α变大(仍小于5°)，其他条件不变，则单摆的周期变大 C.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D.将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 答案　D 解析　根据单摆周期公式T＝2π可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角α无关，故A、B错误；其他条件不变，将摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为T，故C错误；其他条件不变，因为在赤道上的g比在两极的小，则单摆的周期将变大，故D正确。 例3　周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 答案　1 m　175 s 解析　根据单摆周期公式T＝2π可得l＝ 代入数据解得l＝ m＝1 m 秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为 它在月球上做50次全振动所用的时间为 t＝50T'＝50T＝50×2× s＝175 s。 三、单摆模型的拓展 1.类单摆模型 如图所示，在光滑弧面上来回滚动的小球(可视为质点)，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球运动可看成简谐运动，T＝2π。 在上类模型中，若将另一在O点小球与在A点的小球同时由静止释放，哪个小球先到达最低点O' 位置？ 答案　O点小球做自由落体运动，R＝g，得t1＝，A点小球做类单摆运动，T＝2π，第一次到达O' 用时周期，则t2＝，t1<t2，故O点小球先到达O'位置。 2.等效摆长及等效重力加速度 (1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 例4　如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 答案　(1)2π　(2)2π 解析　(1)根据题意可知，若小球以O'为圆心做简谐运动，所以摆长为l＝l0＋ 振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π (2)根据题意可知，若小球以O为圆心做简谐运动，摆长l'＝l0＋l0sin α＋ 振动周期为T2＝2π＝2π＝2π。 拓展　在(1)的前提下，若小球带电荷量为＋q，质量为m，空间分布竖直向下的匀强电场，电场强度E＝，小球摆动的周期T3又是多少？ 答案　π 解析　电场和重力场合成后等效重力加速度g'＝＝2g，则周期T3＝2π＝π。 学科网（北京）股份有限公司 $