9.3.2向量坐标表示与运算（3知识点+8考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.3.2向量坐标表示与运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作．其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．特殊向量的坐标，，． 2、点的坐标与向量坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点中间没有等号 意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量坐标与向量终点的坐标相同 （2025高三·全国·专题练习）设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点2：向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3、任一向量的坐标 ①设、，则 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． ②若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． （25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 知识点3：向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 2、两向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则． 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则． 【多选】（25-26高三上·广东汕头·期末）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 题型一：向量坐标运算的直接运用 【例1】（2025高二·贵州·学业考试）向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三·贵州贵阳·期中）已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三·北京·月考）已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用向量坐标运算求点的坐标 【例2】（2025高一·贵州遵义·月考）已知，，，则点的坐标为 【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高一·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型三：向量数量积的坐标表示 【例3】（25-26高三·河北邢台·开学考试）已知向量，则（    ） A．12 B． C．17 D． 【变式3-1】（25-26高三·湖南怀化·开学考试）已知向量，，则（    ）． A．0 B．2 C． D． 【变式3-2】（25-26高三·河北保定·月考）已知，，，若，则的值为 ． 【变式3-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A．-5 B．5 C．1 D．-1 题型四：利用坐标解决向量垂直 【例4】（25-26高三·甘肃兰州·期末）已知向量，若，则实数（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式4-1】（25-26高三·全国·月考）若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 【变式4-2】（内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三学期期末数学试题）向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【变式4-3】（25-26高三·河北·月考）已知向量.若，则（    ） A． B．2 C． D．7 题型五：利用坐标求解向量的模长 【例5】（25-26高三·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 【变式5-1】（25-26高三·重庆·月考）已知，，则 ． 【变式5-2】（2025高三·福建厦门·期末）已知向量，，若，则 ． 【变式5-3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 题型六：利用坐标求解向量的夹角 【例6】【多选】（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为钝角 【变式6-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025高一·福建龙岩·期中）若平面向量与的夹角是，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025高一·天津·月考）已知向量，且与的夹角为. (1)求的值; (2)求. (3)若与垂直，求实数的值. 题型七：用向量线性运算结果求参 【例7】（2025高三·浙江宁波·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【变式7-2】（2025高二·全国·开学考试）如图所示，在梯形中，与交于点，若，则 ．    【变式7-3】（2025高一·北京·月考）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ． 题型八：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例8】（2025高一·河北承德·月考）已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【变式8-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025高一·天津西青·期中）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 3．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．（25-26高三上·辽宁·期末）已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河北·月考）设，为平面直角坐标系内两点，若，则（   ） A．16 B． C．4 D． 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 11．（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 12．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 13．（25-26高二上·广东江门·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 14．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 15．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 16．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 17．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 18．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．    19．（25-26高二上·广东清远·期中）在△ABC中，已知与的夹角是90°，，，M是BC上的一点，且，且，则的值为 ． 20．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为 . 四、解答题 21．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 22．（25-26高二上·北京·期中）已知，，其中，． (1)求； (2)是否存在实数k，使得和垂直？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 23．（2025高三上·江苏·学业考试）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 24．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 25．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 26．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3.2向量坐标表示与运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作．其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．特殊向量的坐标，，． 2、点的坐标与向量坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点中间没有等号 意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量坐标与向量终点的坐标相同 （2025高三·全国·专题练习）设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由和，求出向量的坐标，再由点P在直线AB上，且，求出向量的坐标，进而求出点P的坐标． 【详解】∵，，∴． ∵点P在直线AB上，且，∴或， 故或，故点P的坐标为或. 故选：D． 知识点2：向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3、任一向量的坐标 ①设、，则 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． ②若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． （25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 知识点3：向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 2、两向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则． 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则． 【多选】（25-26高三上·广东汕头·期末）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案. 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 题型一：向量坐标运算的直接运用 【例1】（2025高二·贵州·学业考试）向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高三·贵州贵阳·期中）已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，求出，求出和即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 【变式1-3】（25-26高三·北京·月考）已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 题型二：利用向量坐标运算求点的坐标 【例2】（2025高一·贵州遵义·月考）已知，，，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 【变式2-2】（25-26高二·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 【变式2-3】（2025高一·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解. 【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 题型三：向量数量积的坐标表示 【例3】（25-26高三·河北邢台·开学考试）已知向量，则（    ） A．12 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 【变式3-1】（25-26高三·湖南怀化·开学考试）已知向量，，则（    ）． A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求得的坐标.再根据向量数量积的坐标运算法则，求得的值. 【详解】由题可知:,即，所以. ,即,所以. 所以． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高三·河北保定·月考）已知，，，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】先根据平面向量的加法得出，再根据平面向量的数量积公式计算求参数. 【详解】由，，得， 因为， 所以，即，解得或． 故答案为：或. 【变式3-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A．-5 B．5 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】可将各平面向量用坐标形式表示，进而求解 【详解】以网格中左下角一点为原点建立平面直角坐标系，则各向量可用坐标表示 易得，，. 因此， 故选：C 题型四：利用坐标解决向量垂直 【例4】（25-26高三·甘肃兰州·期末）已知向量，若，则实数（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，解得. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高三·全国·月考）若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 由，可得， 故选：B． 【变式4-2】（内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三学期期末数学试题）向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值. 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 【变式4-3】（25-26高三·河北·月考）已知向量.若，则（    ） A． B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】根据向量的线性坐标运算求得，进而利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：A 题型五：利用坐标求解向量的模长 【例5】（25-26高三·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26高三·重庆·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】先根据向量的加法坐标运算求出，再根据向量的模计算公式即可求解. 【详解】， ． 故答案为：. 【变式5-2】（2025高三·福建厦门·期末）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】由平面向量垂直坐标运算可得，再计算，进而可得. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 则，， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 题型六：利用坐标求解向量的夹角 【例6】【多选】（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为钝角 【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 所以，与不垂直，故B错误； 对于C，，，，， ，所以与夹角为，故C正确； 对于D，，与的夹角不为钝角，故D错误； 故选：AC． 【变式6-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 【变式6-2】（2025高一·福建龙岩·期中）若平面向量与的夹角是，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得且，利用向量的模长公式即可求解． 【详解】平面向量与的夹角是，和是相反向量， 存在且使，， 又，， ，则,． 故选：A． 【变式6-3】（2025高一·天津·月考）已知向量，且与的夹角为. (1)求的值; (2)求. (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件计算，利用向量的夹角公式计算可得结果. （2）计算的坐标，根据模长公式可得结果. （3）根据向量垂直的坐标公式计算可得结果. 【详解】（1）∵， ∴. ∵与的夹角为，， ∴，解得或， ∵，∴. （2）由（1）得，， ∴， ∴. （3）由题意得，. ∵与垂直， ∴，解得. 题型七：用向量线性运算结果求参 【例7】（2025高三·浙江宁波·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正六边形的特点建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，解方程组即可求解. 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以，所以， 解得，，所以. 故选：A. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】 【分析】将平移至相同起点，利用网格得向量的坐标，由向量的坐标运算求出的值即可. 【详解】如图，将平移至相同起点，且，，并构建直角坐标系xOy， 若每个单元格长为1，则. 又， 所以， 即可得 所以. 故答案为：. 【变式7-2】（2025高二·全国·开学考试）如图所示，在梯形中，与交于点，若，则 ．    【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：.    【变式7-3】（2025高一·北京·月考）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ． 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    易知， 则， 由可得，解得； 可得. 故答案为： 题型八：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例8】（2025高一·河北承德·月考）已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    【变式8-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 【变式8-3】（2025高一·天津西青·期中）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 2．（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 3．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．（25-26高三上·辽宁·期末）已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合模长的平方关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小． 【详解】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴， ∵，∴． 故选：C． 6．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】，，， 向量在向量上的投影向量为，则其坐标为． 故选：A. 8．（25-26高三上·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 9．（25-26高三上·河北·月考）设，为平面直角坐标系内两点，若，则（   ） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用向量运算的坐标表示及向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】，， 故－16. 故选：B. 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】利用数量积的坐标运算求得，即可判断B；代入向量夹角的余弦公式求夹角判断C；由投影向量定义计算求解即可判断D，对于A，先求出的坐标，然后由垂直关系的向量表示即可判断A. 【详解】因为，， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 因为，所以向量与的夹角为，， 向量在方向上的投影向量为， ，所以，所以， 故ABD正确；C错误. 故选：ABD 11．（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 12．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以，又，， 所以，所以， 所以向量与的夹角的余弦值为，故A正确；B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 13．（25-26高二上·广东江门·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用模长的计算公式，即可求解；对B，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对C，利用向量的夹角公式，即可求解；对D，根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以A正确， 对于B，因为，，则，则， 所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为在方向上的投影向量的坐标为，所以D正确， 故选：ACD. 14．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 15．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 16．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 【答案】 【分析】由向量垂直得数量积为0，求出，再计算即可得出结果. 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. 17．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 【答案】 【分析】根据投影向量公式计算求解. 【详解】，在方向上投影向量的坐标为． 故答案为：. 18．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．    【答案】17 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为， 所以点的坐标分别为，，， 过点作，垂足为， 因为， 所以点也是的中点， 因此， 所以由勾股定理可得， 因此点的坐标为， 所以. 故答案为：    19．（25-26高二上·广东清远·期中）在△ABC中，已知与的夹角是90°，，，M是BC上的一点，且，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】以为原点建系，设，根据条件即可得出之间的关系，化简即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 所以，即， 又，则，则， 所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据两向量垂直的坐标运算得解； （2）由得解. 【详解】（1）由，则，解得. （2）由，则与的夹角，故. 22．（25-26高二上·北京·期中）已知，，其中，． (1)求； (2)是否存在实数k，使得和垂直？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得和垂直，理由见解析 【分析】（1）根据模长公式得到方程，结合，求出； （2）利用垂直关系得到方程，求出答案. 【详解】（1）， 又，故， 又，解得； （2）存在，使得和垂直，理由如下： ， ， 解得. 23．（2025高三上·江苏·学业考试）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 24．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 25．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. 【详解】（1）设向量，. 是单位向量  ，解得， . （2），，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 26．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，求出的函数解析式，根据参数范围，求出结果； （2）根据向量垂直的性质，以及向量数量积的坐标表示，列出方程，根据判别式，说明是否有解. 【详解】（1） 如图所示，因为点是的中点，所以， 则， 可知， 则，因为，所以； （2）由（1）可得，， 所以， 当时，可知，即， 化简得，可知，所以方程无解， 即不存在实数，使得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $