专题17 相似三角形中的A8型、母子型、手拉手型、K字型、十字架型综合问题（积累运用+巩固提升6大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）九年级数学人教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：60min 完成时间：一月日 天气： 作业17相似三角形中的A8型、母子型、手拉手型、K字型、 十字架型综合问题 积累运用 一、“A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 图1 图2 (1)“A”字模型 条件：如图1，DEBC;结论：△ADE~△ABC~ADAB=AEAC=DEBC (2)反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE~△ACB=ADAC=AEAB=DEBC 二、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似. 图1 图2 图3 (1)“8”字模型 条件：如图1，AB‖CD:结论：△AOB-△COD台ABCD=OAOC=OBOD (2)反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB~△DOC≌ABCD=OAOD =OBOC AE BE AB (3)平行双“8”字模型 条件：如图3，ABCD;结论： DE CF CD 三、“母子”模型（供边角模型 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. 1/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D B 图1 图2 图3 (1)“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD: 结论：△ABD~△ACB,AB2=ADAC (2)双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90,CDLAB; 结论：△ACD~△ABC△CBD;CA?=ADAB,BC2=BD·BA,CD2=DADB (3)“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD~△ECA; 四、“手拉手”模型（旋转模型） 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不 变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的 旋转相似三角形。 手拉手相似模型 9 条件：如图，∠BAC=∠DAE=A,AD=4E=K;结论：△4ADE-△ABC,△ABD-△ACE;EC =k AB AC BD 五、“K”字模型（相似模型) 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从 而得到两个三角形相似. (I)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE D B C 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C F G 60c O B D E B B C 六、十字架模型 十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两 边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DEL4C,则DE-BC AC AB D D C A E B A E 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFLAC,则EF-BC AC AB D D A E A G E 如图3，在矩形ABCD中，若E、R、从、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFLMN,则EF=BC MN AB D F C D F N H 个 M M A E B B 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 题型1“A”字模型与反“A”字模型 3/16 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.如图，过ABC顶点C作直线与AB与及中线AD交于F、E,过D作DM∥FC交AB于M M (I)若SA AEF:S阳边形MDEF=2:3,求AE:ED的值； (②)求证：AE·FB=2AF·ED. 2.如图，D,E分别是AC,AB上的点，∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,AD=3,AB=5. B G 异的。 (2)求ADE与ABC的周长之比： (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. 题型2“8”字模型与反“8”字模型 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G. D (I)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE. 4.如图，AC是oABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线 于点G. 4/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F 0 B (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECF∽△EGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长 (3)在(2)的条件下，若S△MEF=3，求S西边形cDFE· 题型3“母子”模型（共边角模型 5如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且4=4D AC CE ∠BAD=LECA, B (1)求证：AC2=BC.CD: (2)若E是ABC的重心，求AC:AD的值. 6.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC; D 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 F,若4A-0=1,求5和5的值， BC DC ED FC (3)在Rt△ABC中，LABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于点 E,交直线4C于点R,若B-B BC DC =n,请直接写出 仁的所有可能的值（用含n的式子表示）， FC 题型4“手拉手”模型（旋转模型 7.【发现问题】 5/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)如图1，己知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量 关系是 (2)将图1中的aCDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F. ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中∠AFB的度数是一· (3)【探究拓展】如图3，若△CAB和aCDE均为等腰直角三角形，∠ABC=LDEC=90°，AB=BC, DE=EC,直线AD和直线BE交于点F,分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系，并说明理 由. 8.(1)如图①，△ACB和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：BD=AE. (2)如图②，∠ACB=∠DCE=90°，LABC=LEDC,BC=2AC,试探究线段BD与线段AE的关系，并 加以证明. (3)如图③，∠ACB=90°，AC=3BC,AD=6,CD=V10,求BD的最大值 图① 图② 图③ 题型5“K”字模型（相似模型） 9.【感知】 如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°，易证： △DAP∽△PBC(不要求证明). 【探究】 如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC. (1)求证：△DAP∽△PBC; (2)若AD=2,AB=10,BC=8,求AP的长， 【应用】 如图3，在ABC中，AC=BC=8,AB=12.点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP,作 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LCPE=LA,PE与边BC交于点E. (3)当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长 D 图1 图2 图3 1O.(I)如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED∽△BFE, ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长， (2)如图②，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点A、B重合）， 连结CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为多少？ A E B E 图① 图② 题型6十字架模型 11.(25-26九年级上江苏无锡阶段练习)【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该 点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则▣ABCD是垂中平行四边 形，E是垂中点. 图1 图2 【应用】 (①I)如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AF=√5，CE=2,则AE= AB= (②)如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AB=BD,试猜想AF与CD的数量关系，并加以证 明； 12.(23-24九年级上·河南洛阳·期末)小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简 明的结论.下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D G 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，E为AB上一点，连结DE,过点A作AG⊥DE于点F,交BC于点G,则 AG与DE的数量关系是 (2)①如图2，在矩形ABCD中，AB=nBC,M、N为AB、CD上的点，连结MN,过点D作DE⊥MN于点 F,交BC于点E.小明发现，过点M作MG⊥CD于点G,可以得到MN与DE的数量关系.这个数量关 系是什么？请说明理由， ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于 ③应用上述结论解决问题；如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB的中点，连结 CD,过点B作CD的垂线BE,交直线AC于点E,垂足是点F,直接写出BE的长度. 2能力培优练 一、单选题 如图，4DB中，BCDE,R=,S拉c=16,则Se为( B D E A.40 B.35 C.25 D.20 2.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置 和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图， 当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂0A=120cm,阻力臂OB=40cm,BD=25cm, 则AC的长度是() Q B D 甲 乙 A.80cm B.75cm C.50cm D.45cm 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，ABC和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE以A为中心顺时针旋转，点M 为射线BD,CE的交点.若AB=√3，AD=1,则下列结论错误的是() E B A.BD=CE B.BD⊥CE C.当点E在BA的延长线上时，MC=3-√3 D.在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为) 二、填空题 4.如图，AB与CD相交于点E,点F在线段BC上，且ACI‖EF DB,若BE=5,BF=3,AE=BC,则 BD 的值为 AC D 5.如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA的 延长线于点F,CD=6,则AF= B G A 6.【模型构建】如图1，己知∠B=∠C,如果∠AED=∠B,那么△ABE∽△ECD,我们把这种图形叫做“一 线三等角” 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD,LB=90°，BC=6,点E在边BC上，BE=4,P、Q 分别是边AD、BE的中点.如果∠AED=60°，且AE=DE,那么PO的长为 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D A◇ E B O E C 图1 图2 三、解答题 7.已知：如图，在ABC中，LACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. D (I)求证：△ACD∽△CBD. (2)若AD=3,BD=6,求CD的长. 8.如图，线段AB∥CD,AD与BC交于点E. B A (I)求证：AE·CE=DE·BE; (②)过点E作EF∥AB,交AC于点F,如果AB=8,EF=3,求CD的长 9.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1，使 正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. G DH D 图1 图2 (I)求证：△AEF∽△ABC; (2)求这个正方形零件的边长： (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=60mm时，这个矩形的面积是多少？ 10.(2025山东济南模拟预测)如图 10/16 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业17 相似三角形中的A8型、母子型、手拉手型、K字型、十字架型综合问题 1、 “A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 二、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 三、“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3） “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 四、“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 五、“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 六、十字架模型 十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1“A”字模型与反“A”字模型 1.如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 2.如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 题型2“8”字模型与反“8”字模型 3.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 4.如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3“母子”模型(共边角模型) 5.如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 题型4 “手拉手”模型(旋转模型) 7.【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 8.（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 题型5“K”字模型（相似模型） 9.【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 10.（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 题型6十字架模型 11.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12.（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 一、单选题 1．如图，中，，，，则为（   ） A．40 B．35 C．25 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，由相似三角形的性质可知，结合，进一步即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 故选C 2．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 3．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 【答案】C 【分析】证明即可判断A，根据三角形的外角的性质得出B，证明得出，即可判断C；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断D． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A说法正确； 设， ∴， ∴， ∴，故B说法正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故C说法错误； 如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故D说法正确， 故选：C． 二、填空题 4．如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点，交的延长线于点，，则 ．    【答案】9 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 先根据正方形的性质和已知得出，进而根据勾股定理求出，再证明，根据相似得出，列比例式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ． 为的中点， ， ∴在中，由勾股定理得， 四边形是正方形，， ， ， ． ， 解得， ∴． 故答案为：9． 6．【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形，利用反证法得出，根据示例得出，然后根据对应边成比例，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形． 假设， ∵， ∴， ∴， 满足， ∴正确， 又， 根据“一线三等角”模型，， ， 在中，假设，则， 由勾股定理可得，, ， ，，． 过点P作的垂线，G为垂足，则 是的中点， 是梯形的中位线，，，， ， 故答案为：． 三、解答题 7．已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 8．如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 9．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、矩形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（1）类似，证明，则，求出，与（2）同理，证明四边形是矩形，即，再求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 10．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 11．如图1，在中，，，D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：①当时，的值为______； ②当时，的值为______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请根据图2的情形进行说明； (3)问题解决：当旋转到A，D，E三点共线时，请直接写出线段BD的长． 【答案】(1)①，② (2)无变化，理由见解析 (3)BD的长为或． 【分析】此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，三角形中位线，勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用． （1）根据三角形的中位线定理，结合勾股定理和旋转的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形的知识，可以得到仍然成立，结合两边与夹角，可以得到，由此可以得到的值； （3）根据题目可知要分：在的上方和在的下方两种情况进行分析，进而结合前面得到的的值，便可以解答本题． 【详解】（1）解：①当时， ∵中，，，， ∴． ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②当， ∴，， ； 故答案为：； （2）解：当时，的大小没有变化，，证明如下： 如图2，由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ， 在图1中，∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ； ∴在图3中，； 由（2），可得：， ； ②如图4，连接， 同理可得， ； 综上所述，的长为或． 12．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，已知在中，，于点，，，则的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．根据直角三角形斜边上的高线把直角三角形分得的两个三角形与原三角形相似，得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】中，，于点， ∴ 又∵， ， ， ，， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，为边的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先利用得到，根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，根据相似三角形的性质即可得出，然后利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵，为边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，设，由相似三角形的性质可得，，进而可得，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合）， ∴， 故选：． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作，延长交于点，分别证明和，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】如图，过点作，延长交于点， 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知的面积为是其角平分线，过中点的线段交于点、交于点，若，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据“两角相等的两个三角形相似”可得，即可得出相似比，进而得出面积比，然后结合得出答案． 【详解】解：∵是的角平分线，是的角平分线，且点O是线段的中点， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，中，，，，以C为顶点作第1个正方形，使点E在斜边上，依此规律分别作出第2个，…第n个正方形，则第2026个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似去求线段长，并根据所计算的结果寻求规律解决问题．利用相似可依次求出图中第1、2、3个正方形的边长，从而根据边长存在的规律，得出第2026个正方形的边长． 【详解】解：令第1个正方形的边长为，则由可得， ，即，解得 令第2，3，4……个正方形的边长分别记为：…… 同理可得，， ， ， …… 观察发现，后一个正方形的边长是前一个正方形的倍， 则有． 所以第2026个正方形的边长为：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，，，，试在边上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】或1或6 【分析】本题考查相似三角形的性质，由题意可知以A、B为对应顶点，可分为两种情况，即和；分别根据相似三角形的对应边成比例进行讨论，再把已知的数据代入计算即可求得的值． 【详解】解：∵， 若， 则， 即， 解得， 若， 则， 即， 解得或6， ∴存在三个点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似， 当时，； 当或6时，， 故答案为或1或6． 8．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)已知．若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）设，由等边对等角得，由三角形外角性质得，进而得，则得证； （2）先根据题目数据计算，再由（1）得，结合得，由相似三角形对应变成比例得，进而得到关于的等量关系式，计算可得，注意验证计算结果． 【详解】（1）解：平分， ， 设， ， ，， 是的一个外角， ， 即， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， 又， ， ， ， 即， 解得或（线段长度不能为负，舍去）， 的值为． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设． (1)当四边形为正方形时，求x的值； (2)求矩形的最大面积． 【答案】(1) (2)最大面积为5 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质．利用相似确定线段的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，则，由，证明，则，即，计算求解即可； （2）设，则，，同理（1），则，即，解得，，由，二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴x的值为； （2）解：设，则，， 同理（1）， ∴，即，解得，， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积为5． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． （1）由即可证明结论； （2）由可得，由角平分线的性质可得，可证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）由求得，作于点，作于点，由角平分线的定义求得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：∵，点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 作于点，作于点， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1， 在中，，作，垂足为点D． (1)求证：； (2)如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． （1）通过两角相等证明，根据相似三角形的性质得证； （2）①证明，由相似三角形对应线段成比例的性质和矩形的性质得证； ②设，则，由（1）可得，．证明四边形 是矩形，则，进一步得到，根据①中的比例式计算出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①证明：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②设，则， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 解得，， ∴． 13．（25-26八年级上·山东济南·期末）在直角中，． (1)【基础回顾】 在图1中，点D、E分别在边上，且，求的值； (2)【模型建构】 图1中保持不动，将绕点A顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，连接，则（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)【综合探究】 在图2中，延长交于点F，交于点G，连接，探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，先根据勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）先证明，根据相似的性质即可解题． （3）由（2）得得到，可证明可得，再结合，易证，最后根据相似三角形的性质结合等角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：，不变，理由如下， 在图1中，∵， ∴，，，即， 在图2中，由旋转的性质知， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）[基础巩固] （1）如图1，在中，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； [尝试应用] （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长； [拓展提高] （3）在中，，，以B为直角顶点作等腰直角，点D在线段上，点E在线段上．若，直接写出_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）延长交的延长线于点T，过C作于点M，结合等边三角形的判定及性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解； （3）过点E作与交于点F，使，结合等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，同理可证，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点T，过C作于点M． ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解： ．理由如下： 如图，过点E作与交于点F，使， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；能添加恰当的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）【感知】如图①，在正方形中，E、F分别在边、上，于点O．猜想线段与的数量关系为_______； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形中，若点E、F、G、H分别在边、、、上，于点O，求证：； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是_______； 【答案】感知：；（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 感知：根据正方形的性质结合已知条件证明，根据全等三角形的性质可得答案； 探究：（1）过点作交于点，过点作交于点，证明四边形是矩形， 得到，同理可得，则，证明，即可证明； （2）过点H作于点Q，过点G作于点P，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：感知：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：（1）如图所示，过点作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图所示，过点H作于点Q，过点G作于点P， 同理可证明， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $