专题16 反比例函数与几何图形综合问题（积累运用+巩固提升5大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）九年级数学人教版

画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：60min 完成时间：月日 天气： 作业16 反比例函数与几何图形综合问题 积累运用 一、三角形 ·面积：双曲线上点与原点围成三角形面积为k2。 ·特殊三角形：用距离公式（等腰）、向量点积=0（直角）列方程，结合y=k求解。 二、平行四边形 ·核心方法：对角线中点重合公式。 ·设三点，可秒求第四点。 三、矩形 ·先满足平行四边形，再加： -对角线相等，或 ·邻边垂直 四、菱形 -先满足平行四边形，再加： ·邻边相等，或 ·对角线垂直 五、正方形 ·同时满足：对角线中点重合、相等、垂直。 -常利用旋转90°的坐标关系快速求解。 通法：设点(tk),几何条件转方程，结合y=k消元，分类讨论解之。 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 巩固提升练 题型1反比例函数与三角形的综合问题 1如图，三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB∥x轴，点C在x轴上，反比例函数y=(x>0)经过AB 的中点D,交边BC于点E,已知点C(2,0). 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)点B的坐标为 反比例函数解析式为； (2)连接DE,求BDE的面积. 2.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边BC在x轴上，点B,C的坐标分别为(-2,0)，(6,0)， 反比例函数y=(x>0)的图象交AC于点A,D. BO C (1)求k的值： (②)将ABC沿x轴向左平移t(>0)个单位长度，当反比例函数y=《(x>0)的图象与三角形至少有一个公 共点时，求t的取值范围. 题型2反比例函数与平行四边形的综合问题 3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数y=k≠0，X>0)的 图象上，己知点C的坐标为(5,4)，平行四边形ABCD的面积为12. (1)求反比例函数的解析式 (②连接BD,点E为边BC与反比例函数y=k≠0，x>O)图象的交点，点P为x轴上一动点，若点E为BC 3 的中点，SPBE=弓SABD,求P点的坐标。 2 4.如图1，已知A-1,0),B(0,-2),平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F,且点 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E0,2)为D中点，双曲线y=k(k为常数，k≠0)经过C、D两点. VA N 图1 图2 图3 (1)求k值： (2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=人(k为常数， k0)图像丁点M,交反比例函数y=六x<0的图像于点N,当FM=FN时，求G点坐标。 3 ③)点P在双曲线y=《上，点Q在y轴上，若以点小、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满 x 足要求的所有点Q的坐标-· 题型3反比例函数与矩形的综合问题 5如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y=《 的图象经过点E, 10 与AB交于点F. E B C O (I)若点B坐标为(-6,0)，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式： (②)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式 6.如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上.顶点B的坐标为4,3)， 反比例函数y=的图像分别交边4B、BC于D、E,交对角线OB于F. 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B(4,3) H B C D A 图1 图2 BD (1)若点F是OB的中点，则k= BE (2)如图2，点B的坐标为m,n),试探寻线段DE与AC的位置关系，并说明理由. 题型4反比例函数与菱形的综合问题 7,如图，菱形0ABC的顶点0为原点，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点B的坐标为(4,8)，点C在 y轴正半轴上，点M为OA的中点. M (1)求反比例函数的解析式； (②)尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N(保留作图痕迹，不写作法)： (3)求点N的坐标. 8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与双曲线y=二(x>0)相交于点A,点C在x轴的正半轴上， 点B(2,-3),连接A0,OB,BC,CA,四边形A0BC是菱形 (1)求m和k的值： (2)设点P是x轴上的点，且S△4oP=S菱形4oBc,求点P的坐标。 题型5反比例函数与正方形的综合问题 4/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.如图，四边形ABCD为正方形.点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(0，-4，反比例函数y=的图象经 过点D. B (I)点A的坐标为 (②)求反比例函数关系式， 10.已知正方形ABCD的三个顶点Am-3,-4),84-m,6),C恰好落在反比例函数y=的图象上，如图所 示 B D (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线BC的解析式； (3)连接BO,CO,求aBC0的面积. 20 能力培优练 一、单选题 1.(25-26九年级上全国假期作业)如图，反比例函数y=←在第一象限内的图象与矩形0ABC的两边相交 于D,E两点，CE=2AD=6.若矩形OABC的面积为8，则k的值是() 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y-x B D O A衣 A.6 B.8 C.10 D.12 2.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，点A是射线y=3 x(x≥0)上一点，过点A作AB1x轴于点B, 以AB为边在其右侧作正方形ABCD,过点A的双曲线y=冬交CD边于点E,则 X 瓷的值为() E B 3 5 A. B. 2 2 c D.1 二、填空题 3.(25-26九年级上广东深圳月考)如图，在平面直角坐标系中，点4是反比例函数y=(k≠0)图象上的 一点，过点A作AB⊥y轴于点B,点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D,若OD是ABC的中 位线，△OCD的面积为3，则k的值是 B 4.(25-26八年级上上海期末)如图，已知菱形0ABC,顶点C在x轴上，反比例函数y=《(x>0)的图像 经过顶点A(3,4),OB与反比例函数的图像交于点D.点D的坐标是一· 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 5,(25-26九年级上河南平顶山期末)如图，在ABC中，AC=BC,AB1x轴，垂足为A.反比例函数 y=《(x>0)的图象经过点C,交AB于点D.已知AB=6,BC=5, (1)若OA=8,求k的值； (2)连接0C,若BD=BC,求0C的长. 6.(25-26九年级上辽宁大连期末)已知：如图，一次函数y=x-2的图象与x轴交于点A,与反比例函数 y=二(x>0)的图象交于点B(4,n),以OA,AB为邻边构造口OABC. (1)求反比例函数的解析式： (2)求口OABC的面积. 7.(25-26九年级上·福建三明·期末)如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将x轴 所在的直线绕着原点0按逆时针方向旋转α度角后得到的图形.若它与反比例函数y=5的图象分别交于 第一、三象限的点B,D,己知点A(-m,0),C(m,0. 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 (1)无论a取何值，四边形ABCD的形状一定是 (2)当点B的坐标为(p,I,四边形ABCD是矩形时，试求p和m的值. (③)试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出点B的坐标；若不能，请说明理由， 8.(25-26九年级上·甘肃白银·期末)已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴 的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为3,6)，反比例函数y=”(x>0)的图象经过AB的中 点D,且与BC交于点E,顺次连接O,D,E. A B (I)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于aODE的面积，求点M的坐标 (3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O,D,E,N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出 N的坐标；若不存在，请说明理由. 9.(25-26九年级上·山东聊城月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点O与坐标原点重合， 点C的坐标为0,3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB,AM=2MO, 一次函数y=+b的图象过点D和M,反比例函数y=”的图象经过点D,与BC的交点为N. B D A MO (I)求反比例函数和一次函数的表达式： (2②)当x<0时，根据图象直接写出c+b>”的解集： 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标. 10.(25-26九年级上辽宁丹东·期末)【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD=16,AB=12, 对角线AC,BD相交于点E, 【构建联系】 (1)如图1，若将矩形ABCD向右平移3个单位长度，使得双曲线y=(x>0)经过点E,求该双曲线的解 析式. E A A 图1 图2 【深入探究】 (2)如图2，若将矩形ABCD向右平移t(>O)个单位长度，使过点E的双曲线y=(x>0)分别与AD,BC 交于点F,G.连接EG, ①若AF-AE=4,求点G的坐标. ②若△AEF是以AE为腰的等腰三角形，请直接写出t的值. 创新题型练 一、 单选题 1.(25-26九年级上江西九江·月考)如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象 限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，过点A,点C分别作x轴的垂线，垂足 分别为M和N.有以下结论：①ON=OM② AM k ③阴影部分面积是，(k,+k)④若四边形0ABC 是菱形，则图中曲线关于y轴对称.其中正确的结论有（) 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图，矩形OACE的顶点A,E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为 AC的中点，反比例函数y=m(m>O)的图象经过点B,且与EC交于点D,连接OD,OB,DB.若 △ODB的面积为3，则下列结论：①AOB与△DOE的面积一定相等；②△BDC的面积为1；③m=4;④ D为CE的中点，其中正确的结论是() E A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 3.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形OABC的顶点A在x轴上， 点C在y轴上，正方形DEFG的边DE在BC上，AB=EF,反比例函数y= =k(k≠0)的图像经过点B, 阴影部分的面积为8，则k的值为一· 4.(25-26九年级上江苏南通月考)如图，正方形0ABC的顶点0是坐标原点，4，C分别在，y轴的正半 轴上，反比例函数y=k(k>0)的图象与边AB,BC分别交于点P,Q,边OA上的点R满足QR1OP. 10/14 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 反比例函数与几何图形综合问题 一、三角形 - 面积：双曲线上点与原点围成三角形面积为 |k|/2。 - 特殊三角形：用距离公式（等腰）、向量点积=0（直角）列方程，结合xy=k求解。 二、平行四边形 - 核心方法：对角线中点重合公式。 - 设三点，可秒求第四点。 三、矩形 - 先满足平行四边形，再加： - 对角线相等，或 - 邻边垂直 四、菱形 - 先满足平行四边形，再加： - 邻边相等，或 - 对角线垂直 五、正方形 - 同时满足：对角线中点重合、相等、垂直。 - 常利用旋转90°的坐标关系快速求解。 通法：设点（t,k/t），几何条件转方程，结合xy=k消元，分类讨论解之。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1反比例函数与三角形的综合问题 1.如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 2.如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 题型2反比例函数与平行四边形的综合问题 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 4.如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； （2）由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 题型3反比例函数与矩形的综合问题 5.如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，利用数形结合思想是解题的关键． （1）结合矩形的性质可得点A的坐标为，点E的坐标为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可设点E的坐标为，可得点F的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B坐标为， ∴， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴， ∴，点A的坐标为， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得：； 设经过A、E两点的一次函数的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴经过A、E两点的一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数 的图象经过点E，， ∴可设点E的坐标为， ∴点F的横坐标为， ∵反比例函数 的图象经过点F， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 6.如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，平行线的判定等知识点，解决此题的关键是理解题意，灵活运用所学知识； （1）先求出点F的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据反比例函数的性质分别表示出点D和点E的坐标，再得到线段之比相等即可得到答案； 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 题型4 反比例函数与菱形的综合问题 7.如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ，四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 8.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 题型5反比例函数与正方形的综合问题 9.如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据、两点坐标，得出，再结合正方形的性质，即可得到点A的坐标； （2）根据正方形性质先求出点D坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解得k值，继而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：点B的坐标为，点C的坐标为， ，， ， 四边形为正方形． ，轴， ； （2）解：四边形为正方形， ，轴， ， 将的代入反比例函数得：， ， 反比例函数的解析式为： 10.已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键． 设点的坐标为，则点的坐标为，把点的坐标代入，得到反比例函数的解析式为，结合正方形的性质，得到，，，求出线段和线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点是射线上一点，过点作轴于点， ∴点的坐标为， ∵过点的双曲线交边于点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为3，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，． ∵的面积为，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，菱形的性质，勾股定理，求函数解析式等知识点． 先利用待定系数法求出反比例函数解析式，由得，又因为四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的解析式为， 点是反比例函数与正比例函数的交点， 联立解析式， 解得或， ， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题． （1）先把点代入求出n，然后再代入求出k即可； （2）过点作直线轴于，分别求出，的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 解得：， 则点的坐标为， 将点代入， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：过点作直线轴于， ∵点的坐标为， ∴， 由一次函数可得， 当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·福建三明·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，． (1)无论取何值，四边形的形状一定是_____． (2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值． (3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)， (3)四边形不能是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像是一个中心对称图形． （1）由于反比例函数的图像是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则，又，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形的形状； （2）把点代入的图像上，即可求出p，根据矩形对角线相等，可求出m的值； （3）假设四边形为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知，且与互相平分，又在x轴上，所以应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，即可得答案． 【详解】（1）解：点B与点D关于点O成中心对称，则，又， 四边形的形状一定是平行四边形； （2）点在的图像上， ， ， ， 又点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点， 点B、 D关于原点O成中心对称， ， 四边形为矩形，且， ， ； （3）点A、C的坐标分别为， 四边形的对角线在x轴上， 又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点， 对角线与不可能垂直， 四边形不能是菱形． 8．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接． (1)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点E的坐标为； (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据矩形性质，以及线段的中点坐标特点得到点D的坐标，将其代入反比例函数解析式求解，即可求出m的值，再求出当时的函数值，即可得到点E的坐标； （2）利用割补法求出，设点M的坐标为，根据的面积等于的面积，建立方程求解，即可解题； （3）根据四点顺次连接构成平行四边形，分三种情况，①当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作轴于点，②当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作轴于点，延长交的延长线于点，③当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作垂直于的延长线于点，结合平行四边形性质，全等三角形性质与判定，以及坐标与图形分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， 点B坐标为，D为的中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数为， 当时，， 点E的坐标为； （2）解：点B坐标为，点D的坐标为，E的坐标为， ； 点M为y轴正半轴上一点， 设点M的坐标为， 又的面积等于的面积， ， 解得， 点M的坐标为； （3）解：存在， 四点顺次连接构成平行四边形， ①当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， ， 延长至，使得， ， 过点作轴于点，有， ， ， 即， ， ， ， ； ②当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， ， 过点作轴于点，延长交的延长线于点， ， ， ， ； ， ③当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， 过点作垂直于的延长线于点， 由②同理可证， ， ； 综上所述，N的坐标分别为或或． 9．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边、上，且，，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与的交点为N． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的解集； (3)若点P在直线上，且使的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，反比例函数的解析式以及一次函数图象与性质, （1）首先根据正方形性质得到的坐标，再根据和求出D和M的坐标，最后代入一次函数和反比例函数中求解出解析式； （2）根据图像写出解集即可； （3）首先求解出N点坐标,之后求出梯形的面积，再列出的面积表达式，最后根据面积相等求解出P点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ，解得，， 即，代入反比例函数，得，解得， ， ， ，解得，即， 在一次函数上， ，解得， ， 所以反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）由图可知：当时，的解集为； （3）连接， 在反比例函数中，令，，解得，即， 根据题意得：四边形为梯形，则面积为， 点P在直线上，设， ，即， 解得或， 所以或． 10．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接， ①若，求点G的坐标． ②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①；②t的值为6或． 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，据此求解即可； （2）①由题可得，由题设条件可知，则，，可得，解得，求出k值，点，据此求解即可； ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：、、，据此分别求解即可． 【详解】解：（1）由题设条件可知， ∴，， ∵对角线，相交于点E， ∴点E为的中点， ∴， 把代入，得， 解得． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 由题设条件可知，则，， ∵反比例函数的图象经过点E、F， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，此时点F与点D重合， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，设， ∵将矩形ABCD向右平移t（）个单位长度， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得， ∵， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，t的值为6或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：①  ②  ③阴影部分面积是  ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． ①作轴于点E，轴于点F，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有；②再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；③由， ，得到；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线关于y轴对称． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，如图， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形、是矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则，， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， 故③错误； 若是菱形，则， 而， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴两双曲线关于y轴对称，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故C正确． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得，设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：， 即：，②正确； ∴，故③正确； 故选：D 二、填空题 3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．设与交于点M，先证，推出，则阴影部分的面积等于，再根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设，与交于点M， 四边形是矩形， ，，， 正方形的边在上，， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积， ， 又在的图象上， ， 故答案为：16． 4．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为 ； （）若的面积为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，进而根据正方形的性质可得，即可求解； （）过作于，可得四边形是矩形，即得，进而可证，得到，即得到，解方程即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）过作于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，边在坐标轴上，且点 A 的坐标是，反比例函数经过边的中点D， 与边交于点E， 连结； (1)求出函数的解析式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出的解析式； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：矩形的顶点 ，， 点D是边中点， ． 把代入得： 解得：． 函数解析式为． （2）证明：点E在边上， E点纵坐标为3， 把代入得：， ， ． ， ， ． 矩形中，，， ． ． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，四边形是平行四边形，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，轴，轴，垂足为，． (1)求反比例函数解析式； (2)若点为边的中点，求的长和点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平行四边形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到的纵坐标，代入解析式求出点的横坐标，进而得到的长，进而求出的长，根据平行四边形的性质，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，． (1)求的值； (2)过点作直线，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． （1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解； （2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，设，则． ∵点在函数的图象上， ∴，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． （2）∵由（1）得四边形是矩形， ∴，， ∵，． ∵设直线解析式， ∴， 解得． ∴直线解析式． ∵设直线解析式， 又∵， ∴， ∵点在直线上， ∴代入点 解得． ∴直线解析式． 8．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得两交点的坐标，进而根据函数图象，即可求解． （3）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， ∴ 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； ∴ （2）解：联立 解得：或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点分别为， 根据函数图象可知，等式的解集为或 （3）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 9．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、，点在轴正半轴上，点，，连接、、、，四边形为菱形． (1)求两函数的关系式． (2)根据图象直接写出：当取何值时，反比例函数值不小于一次函数值． (3)设点是轴上一动点，且的面积等于菱形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的关系式为， 一次函数的关系式为 (2)当或 时，反比例函数值不小于一次函数值 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的关系式，一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，掌握待定系数法的一般步骤、理解菱形的四条边相等以及面积公式是解题的关键． （1）根据菱形的性质确定点的坐标，运用待定系数法求出反比例函数、一次函数的关系式即可． （2）观察图象写出反比例函数值不小于一次函数值时的取值范围即可． （3）根据菱形的面积公式求出菱形的面积，设点的坐标为，表示出的面积，然后列出关于的方程，解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 反比例函数的关系式为， 四边形为菱形，， 点的坐标为， 将点，代入中得： ， 解得， 一次函数的关系式为； （2）解：由图象可知，当或 时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）解：如图，连接交x轴于点E，由题意得，，， 菱形的面积为， 设点的坐标为，则： ， ， ， 点的坐标为或． 10．（23-24九年级上·广西南宁·月考）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 11．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． (1)求m，n的值； (2)写出不等式的解集为____________； (3)①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； (4)记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2)或 (3)①，② (4) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可； （2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围． 【详解】（1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得． （2）由（1）得：，则， 由图象可知：或， （3）①把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为， ②点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上， （4）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 则无实数根，整理得：， ， 当时，，， ∵的函数图象开口向上， ∴的解集是． ∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为，双曲线经过的中点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)已知双曲线． ①若与矩形只有一个交点，求的值； ②在①的条件下，作直线轴，分别交，于点，，连接，，判断的面积是否为定值，并说明理由； ③若将与矩形围成的阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) ① ②的面积是定值，理由见解析 ③ 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，矩形的性质，掌握好反比例函数系数k的意义是解题关键． （1）先求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出，再令，求出点的坐标； （2）①结合图象可知，过点，将点代入求出； ②设直线为直线，求出点P和点Q的坐标后，表示出的面积，可以判断出结果； ③求出阴影区域内所有整点的坐标，将它们的横、纵坐标的乘积按从小到大排列，寻找的位置，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点与坐标原点重合， 又∵顶点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点的坐标为， 将，，代入双曲线得， ，即， ∴， 令，则，解得，， ∴点的坐标为， （2）①∵与矩形只有一个交点， ∴过点， 将，，代入得， ，即； ②的面积是定值，理由如下： 设直线为， ∵作直线，分别交，于点，， ∴点坐标为，点坐标为， ∴， 为定值； ③设点为阴影区域内任意一个整点， 由题意可知，、都是整数，且，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 一共13个整点， 将这13个整点的横、纵坐标的乘积从小到大排列得， ， 将阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成， 数列的第6个数和第7个数都是4，第8个数是5， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $