专题15 二次函数中最值、特殊三角形、特殊四边形、特殊角度综合问题（积累运用+巩固提升14大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 二次函数中最值、特殊三角形、特殊四边形、特殊角度综合问题 一、线段、周长、面积最值问题 1. 核心思想 将目标量表示为二次函数（或可求最值的函数），用配方法或顶点公式求最值。 2. 关键技巧 -线段最值： 若为铅垂/水平线段 → 直接坐标差表示函数。 若为斜线段 → 先化成长度平方（去根号），或转化为“垂线段最短”、“对称点连线最短”（将军饮马）。 -周长最值： 通常先固定一部分边长，将动点所在边的两端点关于动点所在直线对称，转化为“两点之间线段最短”。 -面积最值（最常用）： 铅垂高法：S = (水平宽) ×(铅垂高) 水平宽 = 两定点横坐标差绝对值，铅垂高 = 动点到两定点所在直线的竖直方向距离差。 设动点横坐标为 t，面积表达式化为二次函数求顶点。 二、特殊三角形（直角、等腰） 1. 直角三角形 判断：斜率乘积为-1（需讨论竖直线情况）。 步骤：设动点P(t, at2+bt+c)，分三种情况：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°，各列点积方程求解t。 2. 等腰三角形 判断：两线段长相等。 步骤：设动点P，分三种情况讨论： 1. AP = AB（AB为定边） 2. BP = AB 3. AP = BP（此时P在AB的中垂线上） 用两点距离公式列方程（可平方去根号），注意排除重合点。 三、特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形） 1. 核心工具：对角线中点公式（用于平行四边形） 若ABCD为平行四边形，则 = , = ;已知三点可秒求第四点坐标。 2. 分类 - 平行四边形：仅用对角线中点重合即可。 - 菱形：平行四边形 + 邻边相等（或对角线垂直）。 - 矩形：平行四边形 + 对角线相等（或一内角为直角）。 - 正方形：菱形 + 对角线相等（或矩形 + 邻边相等）。 技巧：先按平行四边形确定点，再用附加条件列方程。 四、特殊角度（45°、90°、角相等） 1. 45°角问题 - 用夹角公式（直线斜率k1, k2）：tan45°=1= - 或构造等腰直角三角形，利用“横平竖直”的等长关系列方程。 - 或转化为“一线三等角”相似（K型图）比例求解。 2. 两角相等问题 若∠1 =∠2，且非平行线所得，则用上述夹角公式正切值相等列方程。 五、统一解题流程 1. 设参：动点坐标设为(t, at2+bt+c)。 2. 翻译：将几何条件转为代数方程（距离、斜率、点积、中点等）。 3. 分类：根据顶点顺序、边角位置等讨论可能情况。 4. 解方程：注意舍去不合题意的解。 5. 检验：代回几何条件验证。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1二次函数中求线段最值的问题 1.（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用，解题关键是能够熟练运用数形结合的数学思想解决问题． （1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为． 2.（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 题型2二次函数中求线段和最值的问题 3.（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． (1)求出点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1)，，， (2)5 【分析】（1）令，分别求出，，； （2）过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， （2）由（1）知，，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值． 4.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 题型3二次函数中求周长最值的问题 5.（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标； （）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 6.（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 题型4 二次函数中求面积最值的问题 7.（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于D，E两点（点D在点E的右侧），M为直线上的一动点，设点M的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出的长，可得，再根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把和点代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴，, ∵M为直线上的一动点，点M的横坐标为， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴面积的最大值是． 8.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 题型5二次函数中的等腰三角形存在性问题 9.（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求出，，点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、； (2)或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 10.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 题型6二次函数中的直角三角形存在性问题 11.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 12.（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 题型7二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 13.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 14.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 题型8二次函数中的平行四边形存在性问题 15.（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先判断出点是直线与对称轴的交点，即可得出结论； （3）设出点坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ， ， 是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点，关于抛物线对称轴对称，且的值最小． 直线与对称轴的交点即为点， 当时，， ； （3）解：设， ，，， 当为对角线时，与互相平分， ，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ， 即：满足条件的点的坐标为或或． 16.（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 题型9二次函数中的矩形存在性问题 17.（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 18.（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 题型10二次函数中的菱形存在性问题 19.（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 20.（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 题型11二次函数中的正方形存在性问题 21.（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 22.（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 题型12二次函数中的等角存在性问题 23.（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 24.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 题型13二次函数中的倍角存在性问题 25.（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 26.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； （3）解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 题型14二次函数中的特殊角存在性问题 27.（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 28.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 1.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)为时，的最大值为3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、求二次函数的最值： （1）将A和C的坐标代入二次函数解析式列方程组求解即可； （2）求出直线的解析式，设出P点和H点的坐标，表示出，利用二次函数性质求出其最大值即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线解析式为， 将代入，得，解得， 则直线解析式为． 设，，则， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为3， 当时，， ∴， ∴为时，的最大值为3． 2.（25-26九年级上·山东·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）求解抛物线的对称轴为直线，可得，当共线时，最小，即，求解直线为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：. （2）解：当时，， 解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， . （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当共线时，最小，即， 当时，， ∴， ∵， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴. 3.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为第一象限内抛物线上的动点，于点，轴交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)设点的横坐标为，试用含的式子表示线段的长； (3)求的周长的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)； (3)的周长最大值为． 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数图象的性质以及解直角三角形． （1）先求得，，，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设点的坐标为，点的坐标为，列式计算求得线段的长； （3）判断是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得的周长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， 设点的坐标为， ∵轴交于点， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值， 最大值． 4.（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 5.（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 6.（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 7.（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 8.（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 9.（2025·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 10.（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 11.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点关于的对称点，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 12.（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （3）解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 1．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)①点P的坐标为或；②最大值为 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式得到点C坐标，然后设点P坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，再设点Q坐标为，则点D坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，点A坐标为，与在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∴． 设点P坐标为， ∵， ． ∴． 当时， ， 当时， ． ∴点P的坐标为或． ②设直线的解析式为， 将代入， 得． 解得． ∴直线的解析式为． 设点Q坐标为， 则点D坐标为． ∴． 当时，有最大值． 2．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越小，推出时的函数值小于时的函数值，即可得到答案； （3）先求出点D的坐标，进而根据三角形面积计算公式推出点F的纵坐标，进而可求出点F的坐标； （4）连接，由对称性可得，则当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点B的坐标代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时，， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴； ∵的面积为7，且点F在x轴上方， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴点F的坐标为或； （4）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 4．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 6．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 8．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 9．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 10．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得； （3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵． ∴顶点． （2）解：如图，由（1）知，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点， 点在抛物线上，且横坐标为， ∴代入中，得， ，， 设直线的解析式为，∵， ∴， 解得：，∴直线， 令，得，∴． ， ， 即的面积为； （3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点． 设直线的解析式为,把，代入，得 , ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 轴， ， ∴， 又， ， ． ， 化简，得， 解得或0（舍） 由（2）知当时，， ． 即在第一象限内的抛物线上存在点，使． 11．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 12．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 限时练习：60min 完成时间：月」 日 天气： 作业15二次函数中最值、特殊三角形、特殊四边形、特殊角度综合问题 积累运用 一、 线段、周长、面积最值问题 1.核心思想 将目标量表示为二次函数（或可求最值的函数），用配方法或顶点公式求最值。 2.关键技巧 线段最值： 若为铅垂/水平线段→直接坐标差表示函数。 若为斜线段一先化成长度平方（去根号），或转化为“垂线段最短”、“对称点连线最短”（将军饮马）。 周长最值： 通常先固定一部分边长，将动点所在边的两端点关于动点所在直线对称，转化为“两点之间线段最短”。 面积最值（最常用）： 铅垂高法：S=专（水平宽）×（铅垂高） 水平宽=两定点横坐标差绝对值，铅垂高=动点到两定点所在直线的竖直方向距离差。 设动点横坐标为t,面积表达式化为二次函数求顶点。 二、特殊三角形（直角、等腰） 1.直角三角形 判断：斜率乘积为-1（需讨论竖直线情况）。 步骤：设动点P(tat+b什c),分三种情况：∠A=90°、∠B-90°、∠P=90°，各列点积方程求解t。 2.等腰三角形 判断：两线段长相等。 步骤：设动点P,分三种情况讨论： 1.AP=AB(AB为定边) 2.BP=AB 3.AP=BP(此时P在AB的中垂线上) 用两点距离公式列方程（可平方去根号），注意排除重合点。 三、特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形） 1.核心工具：对角线中点公式（用于平行四边形） 若4BCD为平行四边形，则整：=，兴-势：已知三点可秒求第四点坐标。 2 2 2.分类 -平行四边形：仅用对角线中点重合即可。 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·菱形：平行四边形+邻边相等（或对角线垂直）。 -矩形：平行四边形+对角线相等（或一内角为直角）。 ·正方形：菱形+对角线相等（或矩形+邻边相等）。 技巧：先按平行四边形确定点，再用附加条件列方程。 四、特殊角度(45°、90°、角相等〉 1.45°角问题 ·用夹角公式（直线斜率，：m45=1念引 ·或构造等腰直角三角形，利用“横平竖直”的等长关系列方程。 ·或转化为“一线三等角”相似(K型图)比例求解。 2.两角相等问题 若∠1=∠2，且非平行线所得，则用上述夹角公式正切值相等列方程。 五、统一解题流程 1.设参：动点坐标设为(t,aP+bt什c)。 2.翻译：将几何条件转为代数方程（距离、斜率、点积、中点等）。 3.分类：根据顶点顺序、边角位置等讨论可能情况。 4.解方程：注意舍去不合题意的解。 5.检验：代回几何条件验证。 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 巩固提升练 题型1二次函数中求线段最值的问题 1.(25-26九年级上·安徽毫州阶段练习)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)， 与y轴交于点C,顶点为D. 备用图 (1)请求出点A,C,D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE长度的最大值. 2.(25-26九年级上安微阶段练习)如图，抛物线y=ax2+br+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 2/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直线1与抛物线交于A-6,0),D(-1,5)两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m, 过点P作PE垂直于AD于点E. (1)求抛物线的函数表达式： (②)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； 题型2二次函数中求线段和最值的问题 3.(25-26九年级上重庆长寿阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴 交于点A,B,与y轴交于点C,点P在线段BC上. AO B (1)求出点A,B,C的坐标； (2)求PA+P0的最小值， 4.(25-26九年级上·江苏苏州阶段练习)如图，已知抛物线的对称轴1为直线x=1,抛物线与y轴交于点C ,与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为-1,0)，点C的坐标为0,3)，P是对称轴上的一个动点。 VA B (1)求抛物线的解析式： (2)当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. 题型3二次函数中求周长最值的问题 1 5.(24-25九年级上甘肃武威阶段练习)如图，抛物线y=二x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于 3/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C点，且A-1,0). VA D (①)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长 6.(2025·甘肃武威一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点， A (1)求该抛物线的解析式； (2)求(1)中抛物线的对称轴及顶点坐标： (3)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△OAC的周长最小？若存 在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型4二次函数中求面积最值的问题 7.(25-26九年级上·天津南开阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0) 和点B(4,0),且与直线1：y=-x-1交于D,E两点（点D在点E的右侧)，M为直线1上的一动点，设点 M的横坐标为t. (I)求抛物线对应的函数解析式， (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0<t<4,求△NED面积的最大值. 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(24-25九年级上·甘肃武威期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A3,0、C(-1,0). (1)求二次函数的解析式： (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标： (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标. 题型5二次函数中的等腰三角形存在性问题 9.(2425九年级上·广东广州期中)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. B (I)求出A,B,C点的坐标： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△BCQ是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的Q点坐标； 若不存在，请说明理由， 10.(25-26九年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为 A(-1,0,另一个交点为B,与y轴的交点为C(0,-3),其顶点为D,对称轴为直线x=1. D (1)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积； (3)在y轴上是否存在一点M,使CDM为等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说 明理由. 题型6二次函数中的直角三角形存在性问题 5/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(25-26九年级上湖北襄阳·阶段练习)如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x轴相交于点A ,B(点A在点B的右侧)与y轴相交于点C(0,-3), (①)求抛物线的解析式： (②)判断。BCM是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形ABMC的面积. 12.(25-26九年级上·安微阶段练习)如图，抛物线的顶点为D,其坐标为1,4)，抛物线交x轴于A,B两 点，交y轴于点C,已知OC=3. B (1)求抛物线的表达式： (2)连接CD,BD,判断△BCD的形状； (3)若点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值 题型7二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 13.(25-26九年级上湖南长沙阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B(2,0). B 衣 (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标： (2)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标， 14.(25-26九年级上·安微合肥阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于A(-1,0), 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B两点，与y轴交于点C(O,-4),作直线BC,若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P 作x轴的垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F. 备用图 (①)求该抛物线的表达式； (②)若PE=PF,求此时点P的坐标； (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标. 题型8二次函数中的平行四边形存在性问题 15.(25-26九年级上·黑龙江·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴分 别交于点A、B、C,直线y=-x+4经过点B,与y轴交点为D,M3,-4是抛物线的顶点】 IM (1)求抛物线的解析式. (2)已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小.求点N的坐标 (3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 16.(25-26九年级上·广东阶段练习)如图，直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线 y=a(x-h)的顶点为A,且经过点B. (1)求该抛物线对应的函数解析式， 7/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9 2)若点Cm,-2 在该抛物线上，求的值. (3)若点D(-4,n)在抛物线上，求S。4D· (④)在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 题型9二次函数中的矩形存在性问题 17.(2025青海西宁，中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ax2-4axa<0),点A的坐标是(-1,0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A. (1)直接写出！点的坐标和抛物线的对称轴： (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A,P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 18.（2025江苏·二模)如图，己知二次函数y=mx2-2mx-3(m是常数，m>0)的图象与x轴分别相交于点 A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线1.点C关于1的对称点为D,连接AD,点 E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE. (I)①线段AB的长为 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (②)设M是该函数图象上一点，点N在1上，探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由 题型10二次函数中的菱形存在性问题 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(2025湖北二模)如图.二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标 为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M.交抛物线于点N. ()求这个二次函数的解析式： (②)若点P在线段A0上运动（点P与点A,点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值.并求出此时点P的 坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形.请直接写出 所有满足条件的点Q的坐标。 20.(25-26九年级上广东·阶段练习)如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0), 另一个交点为A,且与y轴相交于C点. AO B 备用图 (1)求m的值及C点坐标. (②)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标， (3)连接BC,在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大，若存在，求出此 时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 题型11二次函数中的正方形存在性问题 21.(24-25九年级上·福建莆田阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4在抛物线y=ax2上，过点 A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛物线 于E,F两点. 9/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求抛物线对应的函数解析式： (②)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长. 22.(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a(x-2)2+k 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. (①)求此抛物线的函数解析式； (②)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长。 题型12二次函数中的等角存在性问题 23.(25-26九年级上·福建福州阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,顶点为D.其中A-3,0),D(-1,-4 VA 图1 图2 (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接BC,在第三象限内抛物线上找点E,使LABE=∠OCB,求点E的坐标. 24.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，二次函数y=-x2+(m-1x+m(m是常数，且m>0)的 图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C, 10/22