第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷）数学沪教版选择性必修第二册

第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的驻点为 ． 【答案】0 【分析】求出函数的导数，令，求得，则函数的驻点为0. 【详解】因为， ， 令，得，而， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0. 2．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 3．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 4．设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，， 则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线的导函数为，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. 5．若函数是偶函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为函数是偶函数，即对任意的，， 即， 所以， 故，所以，故， 所以，，则切点为，切线斜率为， 因此曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 6．若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点处相切，点称为它们的切点：①两条曲线在点处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点P处的切线斜率相等（若曲线可导）.已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为 . 【答案】或 【分析】法一：利用导数可求得切线方程为，设圆心，利用点到直线的距离可得与的关系式，结合进而可得，可求得结论.法二：利用导数求得切线的斜率，进而求得的参数方程，利用参数方程可求得的值. 【详解】法一：由切线，即， 设圆心，则，所以或.    注意到. 若，则代入（1）整理得； 若，则代入（1）整理得. 综上. 法二：由， 所以可得的参数方程， 设圆心，则或. 故答案为：或. 7．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，求导判断单调性，求出最小值，进而求得范围. 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 8．若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数为分段函数，时函数为，时函数为. 需通过导数分析两段函数的单调性，结合极小值的定义确定的范围。 【详解】（1）当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1. （2）当时，函数，求导得. ①若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值; ②若，令，解得。由于，仅考虑. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为 故答案为： 9．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知可得，则可知若不等式恒成立，则，解得，再根据可知函数在上单调递增，不等式恒成立. 【详解】由已知，则， 又，所以若任意，恒成立， 则，解得， 又当，， 则当时，，即恒成立， 所以此时函数在上单调递增，即恒成立， 综上所述， 故答案为：. 10．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得，令，则直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 令，其中，则直线与函数的图象有两个公共点， ，由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为， 当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 11．设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 12．已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设可得，设，，可得，进而得到函数在上单调递减，进而可将问题转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导函数几何意义和直线垂直的条件得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 14．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，有以下两个命题：①在上单调递减；②在区间上有3543个零点，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题， ②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】利用导数研究的单调性，结合奇函数性质判断①；根据函数的对称性，结合伸缩平移变换，确定函数的奇偶性；利用对称性确定函数的周期性可判断②. 【详解】命题①：由题意知时，， 令， 在恒成立，所以单调递减， 又，所以时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上单调递减，故①正确； 命题②：因为的图象关于直线对称， 所以将的图象向右平移个单位， 得，该函数图象关于轴对称， 将的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得， 图象关于轴对称，因此为偶函数，所以关于对称， 故， 又有是奇函数，所以， 所以，即是周期为的周期函数， 因为，结合单调性和关于对称可得， 在区间上有2个零点，且是定义域为R的奇函数，所以有， 因此在区间上有3个零点， 所以在区间上有个零点，故②错误； 故选：A. 15．已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论，得出相对应的单调性，再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，， 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，的图像如下所示： 即与x轴有3个交点，不妨依次设为，，， 则当或时，即， 当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意； 综上可得实数a的取值范围为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系，对参数a的取值进行分类讨论，再结合极小值定义并检验即可得出结论. 16．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，解，即可得解； （2）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离在上恒成立，结合函数的单调性求出的取值范围； （3）由参变量分离法可知对任意的恒成立，利用导数结合隐零点法求出函数在其定义域上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 令，解得或（舍去）， 所以函数的驻点为； （2）因为， 所以， 又函数在为单调增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，即的取值范围为； （3）不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为，，故存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 因为，则，因为，则， 令，，则， 所以函数在上单调递增， 由可得，故，可得， 所以， 所以，即实数的取值范围. 18．设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）代入，对函数求导判断单调区间即可． （2）根据导函数的几何意义，以及切线方程的性质，求解即可． （3）对原不等式分离参数，再构造新函数，结合新函数的导函数判断函数单调性，求出函数最大值，求出参数范围即可． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. （2）因， 故曲线在点处切线的方程为． 设直线与曲线相切于点，且， 则，且，解得． （3）由题意得，化简得． 设，则． 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 函数在处取得极大值，也是上的最大值，可知． 因此a的取值范围为． 19．已知函数，正常数，记． (1)当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，都有． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可； （2）对求导得，将既存在极小值也存在极大值转化为方程在上有两个不同的正实数根即可求解； （3）利用（1）的结论得到，再令进行累加，即可得证. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，理由如下： 当时，，定义域为，则， ，且，，当且仅当时取等号， 函数在区间上单调递增； （2），定义域为， 则，设， ，的符号由分子决定， 函数既存在极小值也存在极大值等价于方程在上有两个不同的正实数根， ，解得，实数a的取值范围是； （3）由（1）知，当时，，即， 令， 则，即， 将到累加得，， 即， ，得证. 20．已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 【答案】(1)单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究其单调性即可. （2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可. （3）将问题转化为证明对任意恒成立，参变分离得对任意恒成立，令，即证，，多次求导求得的单调区间，即可求解的最小值，令，，利用导数求得最小值，即可证明. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递减. （2），，其中满足，，， 令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以在上存在极大值点，且. （3）由（2）知在上的最大值为. 要证，使得对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 即证对任意成立，又， 所以即证对任意恒成立， 即证，其中. 令，， 因为，，， 所以. 令，， 则， 则在上单调递增，又，， 则，使， 解得，所以. 当时，，即，所以函数在区间上单调递减； 当时，，即，所以函数在区间上单调递增. 所以函数在时取到极小值，也是最小值， . 令，， 则， 即在上单调递减，， 又， 即当时，， 所以，使得对任意恒成立，命题得证. 21．已知连续函数和，设，集合． (1)若指数函数的图像过点，且，求； (2)若，，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围，并判断是否属于，请说明理由； (3)若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是．求证：“”的充要条件是“”． 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的解析式代入计算求解得出，再解指数不等式得出； （2）构造函数，再根据导数得出函数单调性及极值，结合新定义得出即； （3）根据充分条件及必要条件定义应用导数结合切线及单调性计算证明即可. 【详解】（1）设，由题意可知，则， 所以， 由，得， 即； （2）因为，所以， 设，因为，所以在上是增函数， 所以，又因为在区间上存在极值点， 所以，解得，由得，则， 所以， 因为，所以，所以，即； （3）已知，则当时，， 因为是连续函数且，所以， 所以是得一个极大值点，故， 又，于是， 所以函数在处的切线方程是． 代入化简得，即，充分性成立； 已知，又函数在处的切线方程是， 即， 于是，所以，， 因为，又因为函数是上的减函数， 所以函数是上的减函数， 当时，， 所以是在上单调递减，则， 当时，， 所以是在上单调递增，则， 所以，必要性成立； 综上，“”的充要条件是“”． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的驻点为 ． 2．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 3．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 4．设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 5．若函数是偶函数，则曲线在处的切线方程为 . 6．若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点处相切，点称为它们的切点：①两条曲线在点处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点P处的切线斜率相等（若曲线可导）.已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为 . 7．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 8．若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 9．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 10．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 11．设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 12．已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 14．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，有以下两个命题：①在上单调递减；②在区间上有3543个零点，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题， ②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 15．已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18．设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 19．已知函数，正常数，记． (1)当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，都有． 20．已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 21．已知连续函数和，设，集合． (1)若指数函数的图像过点，且，求； (2)若，，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围，并判断是否属于，请说明理由； (3)若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是．求证：“”的充要条件是“”． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $