第五章 导数及其应用（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

第五章 导数及其应用 教学目标 1. 熟练掌握导数及其应用全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，解决复杂问题的能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）导数的单调性问题； （2）导数的极值与最值问题； 2. 难点 （1）导数的单调性含参数问题； （2）导数的极值与最值含参数问题。 考点01 导数的概念及意义与几何意义 1、平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 3、导数的定义 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 4、导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【题型1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 【题型2】一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导可得，结合题意，当代入，即可求得答案. 【详解】因为，则， 故， 即该质点在时的瞬时速度为， 故选：C 【题型3】已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 【题型4】已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：D. 【题型5】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 【题型6】设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 考点02 基本初等函数的导数以及四则运算（复合函数） 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 (为常数) 2.导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【题型1】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 【题型2】下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 【题型3】已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 【题型4】若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由导数的定义和运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【题型5】求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)10； (2)y＝e2x+1； (3)y＝ln (3x－2)． (4)y＝e2x+1sin x； (5)f(x)＝； (6)f(x)＝． [解]　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9． (2)函数y＝e2x+1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1． (3)函数y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝． (4)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1． (5)f(x)＝，f′(x)＝． (6)f(x)＝，f′(x)＝． 考点03 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 2.导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【题型1】下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A利用导数判断单调性即可；选项B利用导数判断；选项C.设，转化为对勾函数判断；选项D根据定义域判断. 【详解】A.,当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增.故在(0, +∞)上不单调，故A错误. B. 由，得，当时，，所以递减，故错误； C. 对于，设，当时，， 由对勾函数知：在上递增，故正确； D. 对于，由，解得或，所以函数的定义域为或，故错误； 故选：C 【题型2】已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 【题型3】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导确定其单调性，得到，再结合中间值即可求解. 【详解】由已知，， ， 令， 则， 即在时，单调递增， 则，即 所以， 故选：B. 【题型4】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，令即可求解函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， ∴. 令，解得或， 即函数的单调增区间是. 故选：D. 【题型5】函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解. 【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在， 两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故， 即为奇函数，排除CD， 由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B， 故选：A 【题型6】函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 【题型7】设函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性确定函数值域情况，进而可得参数范围. 【详解】由，可知， 则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立； 当时，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由得， 故答案为：. 【题型8】已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，可得在上恒成立，问题转化为在上恒成立，推理即得a的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 【题型9】已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，得到，得到方程，求得的值，再将代入切线方程，求得，得出，求得的值； （2）当时，，利用二次函数的性质，求得，求得，得出函数的单调性，求得，得出不等式，即可求解； 【详解】（1）由函数，可得， 则，所以， 因为在处的切线方程为， 可得，解得， 将代入切线方程，可得， 即，解得，所以. （2）当时，， 因为函数的图像象开口向上，对称轴为， 所以， 又因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，可得， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. 【题型10】已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）求导，根据导数与函数单调性列不等式求解即可； 【详解】（1）当时，，，即切点为， ，，即在处切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为； （2） 若在上单调递减， 则在上恒成立，即， 因为在单调递增， 在单调递增， 所以在单调递减， 当时，， 所以实数的取值范围为； 【题型11】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 考点04 利用导数研究函数的极值与最值 1.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 【题型1】已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 【题型2】函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】求得，得到函数的单调性，结合极小值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，即为函数的极小值点. 故选：B. 【题型3】已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 【题型4】函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 【题型5】已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程问题转化为函数图象交点问题，分情况讨论的表达式，利用导数分析的单调性和极值点，画出函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】，因为，所以, 令， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 当时，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以在处取到极大值， ，且， 方程有三个不相同的实根，即函数与函数有3个不同的交点， 由图可知，. 所以实数的取值范围为. 故选：. 【题型6】若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】，则， 由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根， 记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以. 故选：A 【题型7】设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆柱体积公式列出其表达式，然后求导判断单调性，求出最大体积，进而可求得结果. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得. 所以，所以圆柱的体积为. 求导得，当，即时，；当，即时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 而球的体积为，所以. 故选：B. 【题型8】若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上有解,即，令, 构造函数和，利用导数研究单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的不等式在上有解， 则在上有解, 即， 令,则， 设，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则 令，解得：， 令，解得：，则在上单调递增， 令，解得：，则在上单调递减， 所以， 则， 故选：C 【题型9】已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 【题型10】已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1． 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）利用导数可判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1），依题意，，解之得：； （2）令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 【题型11】已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 【题型12】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； 【详解】（1）由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. （2）由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【题型13】已知函数． （1）当时，试求的单调区间； （2）若在内有极值，试求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；（2）a∈（e，+∞） 【分析】（1）首先求得定义域为，求导后，通过证明恒成立可知导函数符号由的符号决定，从而可求得函数的单调区间；（2）将在内有极值转化为在内有零点，即有解，令，，利用导数可求得，从而可验证出时在内有零点，从而得到结果. 【详解】（1）由题意知，定义域为： 当时， 则： 令，则 当时，；当时， 在上单调递减；在上单调递增     即：对任意的，恒成立 当时，；当时， 的单调递增区间为：；单调递减区间为： （2）若在内有极值，则在内有零点 由，得：，则 设，，则恒成立 在上单调递减     当时，在内有解 设，则 当时，    在上单调递减 又，    在上有唯一解 当时，；当时， 当时，在内有唯一极值 当时，在上单调递增，不存在极值 综上所述： 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据极值所在区间求解参数取值范围.根据极值所在区间求解参数的关键是能够将问题转化为导函数在区间内有零点的问题，进而可转化为交点类问题来进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 导数及其应用 教学目标 1. 熟练掌握导数及其应用全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，解决复杂问题的能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）导数的单调性问题； （2）导数的极值与最值问题； 2. 难点 （1）导数的单调性含参数问题； （2）导数的极值与最值含参数问题。 考点01 导数的概念及意义与几何意义 1、平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 3、导数的定义 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 4、导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【题型1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【题型2】一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【题型3】已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【题型4】已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【题型5】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【题型6】设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 考点02 基本初等函数的导数以及四则运算（复合函数） 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 (为常数) 2.导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【题型1】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【题型3】已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【题型4】若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型5】求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)10； (2)y＝e2x+1； (3)y＝ln (3x－2)． (4)y＝e2x+1sin x； (5)f(x)＝； (6)f(x)＝． 考点03 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 2.导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【题型1】下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【题型4】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【题型5】函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A．B．C．D． 【题型6】函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【题型7】设函数，若，则实数的取值范围是 . 【题型8】已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【题型9】已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； 【题型10】已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； 【题型11】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； 考点04 利用导数研究函数的极值与最值 1.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 【题型1】已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【题型2】函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 【题型3】已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4】函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【题型5】已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6】若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型7】设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【题型8】若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型9】已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【题型10】已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【题型11】已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【题型12】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； 【题型13】已知函数． （1）当时，试求的单调区间； （2）若在内有极值，试求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $